寒假作业之中考压轴题答案

1、/ ABC=90 ，即 AB 丄 BC，且 OP / BC BD 丄 OP/ OBP=90- BD2=OD PD(射影定理) AD=BD= . OD PD 、7 OA= x OD2 AD2 一 1 72 2 O O的半径为2. 2【2013 昆明 22题】已知：如图， AC是O O的直径，BC是O O的弦，点P是O O外一点，/ PBA= / C。(1) 求证：PB是O O的切线；(2) 若 OP / BC,且 OP=8, BC=2，求O O 的半径。解：(1)连接OB。/ AC是O O的直径/ ABC=90/ OBA+ / OBC=90/ OB=OC/ OBC= / C/ OBA+ / C=

2、90/ PBA= / C/ PBA+ / OBA=90/ OBP=90 OB 丄 PB PB是O O的切线(2 )令OP与AB交于点D/ OP / BC , OA=OC , BC=21 AD=BD , OD= BC=12/ OP=8 PD=OP- OD=7【2013 重庆 25题】如图，对称轴为直线 x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（-3，0）。（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。 若点P在抛物线上，且 S“oc=4S boc，求点P的坐标； 设点Q是线段AC上的动点，作 QD丄x轴交抛物线于点 D，求线段QD长

3、度的最大值。解：（1）由题意知，点 A、B关于直线x=-1对称点A的坐标为（-3, 0）点B的坐标为（1 , 0）（2）抛物线过点 A、B，且a=1抛物线的解析式为y=（x+3）（x-1）= x2+2x- 3当 x=0 时，y=-3点C的坐标为（0, -3）过点P作PH丄OC于点H。 Spoc= - OC1PH , Sboc= OC OB2 点Q在线段AC上 -3v mv 0 QD丄x轴，即QD / y轴点 D 的坐标为(m, m2+2m-3)- QD= - m- 3- (m2+2m- 3)=-m2- 3m3 2 9=-(m+ ) +2439.当m=-时，QD长度最大，最大值为 一24y又 S

4、poc=4S boc PH=4OB=4- Xp=4 或-4/当 x=4 时，y=(4+3)(4-1)=21当 x=-4 时，y=(-4+3)(-4-1)=5点P的坐标为(4, 21)或(-4, 5) 设直线AC的解析式为y=kx+b，贝U3k b 0k1解得b 3b3直线AC的解析式为y=-x-3设点Q的坐标为（m, -m-3）【2013 杭州 23题】如图，已知正方形 ABCD的边长为4，对称中心为点 P,点F为BC边上一个动点，点 E 在AB边上，且满足条件/ EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积为 Si.(1 )求证：/ APE= / CFP;(2)设四边

5、形CMPF的面积为S2, CF=x, y=1。S2 求y关于x的函数解析式和自变量 x的取值范围，并求出 y的最大值; 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求 y的值。解：（1）过点P作PG丄AB于G, PH丄BC于H。/ AC是正方形ABCD的对角线/ HPC= / HCP=45/ EPF=45/ APE+ / HPF=180 - / EPF- / HPC=90/ PHF=90/ CFP+ / HPF=90/ APE= / CFP（2：P是正方形ABCD的对称中心，边长为 4 y= =S21616x2x2x_88xx PH=GP=2, AP=CP=2、2/ CF=x Spfc= CF

6、 PH=x2- S2=2S pfc=2x/ APE= / CFP, / PAE= / PCF=45 APE CFP点F在BC边上，点E在AB边上，且/ EPF=45 2/F_ 8CFx x18- SaAPE=-2x Saabc=AB BC=82- S 四边形 BFPE=Sa ABC - Sa APE- SPFC=8- - xx- S1=2S 四边形bfpe=16-【2013 合肥 22题】某大学生利用暑假 40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到了一种成本 20元/件的新p=50- x型商品在第x天销售的相关信息如下表示。销售量p (件)1当 K xw 20 时，q=30+ x 2销售单价q

7、 (元/件)525 当 21 w x 2 2时，CD所在直线于O O相交，设另一交点为 E,连接AE. 当D为CE中点时，求 ACE的周长； 连接OD，是否存在四边形 AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ED的值；若不存在，请说明理由。解：(1)连接OD。/ AB是O O的直径，AB=4 OA=OB=OD=2 OD2=4/ OA=CD CD=2 CD2=4/ OC=2.,2OC2=8t oc2=od2+cd2 ODC是直角三角形，且/ ODC=90 OD 丄 CD CD是O O的切线(2 连接OE、OD。/ D为CE的中点 DE=CD/ CD=OA=2 , OA=OD=OE D

8、E=OD=OE=2 ODE是等边三角形DOE= / ODE=60/ CD=OD=2DOC= / OCD/ ODE= / DOC+ / OCD=60 / DOC= / OCD=3过点D作DF丄OC于F则 OF=CF=OD cos/ DOC=2 X=2、一 2+2、_3+6存在四边形AODE为梯形。由题意知，当OD / AE时，四边形AODE为梯形。 由对称性知，存在两个这样的梯形，即在 AC的上下 方各一个。/ OD / AE / DOC= / EAO/ ODC、 AOE是等腰三角形又 OA=OE=OD=CD=2 ODC AOE OC=AE设 OC=AE= m(m 2、2 )，则 AC= m+2

9、OD OCOD/ AEAE AC2m即 m2-2m- 4=0mm 2 解得m=、.5 1或5 1(舍去) AE= .51DOC= / EAO= / OCD CE=AE ED=CE - CD=AE - CD= .5 1 - 2=、百 1 AE ED=( . 5 1 )( 5 1 )=4 OC=OF+CF=2、3/ DOC=30 , / DOE=60AOE=90 AE= x OA2 OE24 4 = 2、2 ACE 的周长=AE+DE+CD+OC+OA=22 +2+2+2 、3 +2【2013 广州 25题】已知抛物线yi=ax2 bx c(a 0,a c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经

10、过第三象限。(1) 使用a、c表示b;(2) 判断点B所在象限，并说明理由；(3) 若直线y2=2x+m经过点B ,且于该抛物线交于另一点C( ,b 8)，求当x 1时yi的取值范围。a解：(1)T抛物线过点 A ( 1, 0) a+b+c =0-b=- a- c(2) 点B在第四象限。理由如下： 当 y1=0 时，ax2+bx+c=0c由韦达定理得，a/ c- X1 X2M 1抛物线过点A (1, 0) 1是方程的根，令X1=1- X2 工 1抛物线与x轴有两个交点T抛物线不经过第三象限抛物线开口向上，即a 0顶点B在第四象限c(3) 点C( ,b 8)在抛物线上ab+8=a ( )2+ b

11、 c + c ac) c2 caa-(aa22cc b=-8 a+c=8c点C(,b 8)在直线y2=2x+m上a2c m=-ab 4ac b2 顶点B的坐标为(-巴,b )2a 4a416即B (c)，且在直线 y2上aa1682c c二 - aaa由解方程组得:a 4a 2或c 4c 6 a丰c a=2, c=6抛物线的解析式为 y1=2x2- 8x+6易知A (1, 0)和C ( 3, 0)是抛物线与x轴的交点，顶点B坐标为(2, -2) 抛物线开口向上当x 1时，y1的取值范围为y1-2【2013 福州 22题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是yi=ax2+bx（a 0）（1）

12、对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1, 1）时，a=;当顶点坐标为（m, m）, m 0时，a与m之间的关系式是 （2） 继续探究，如果0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（kz 0）上，请用含k的代数式表示b;（3） 现有一组过原点的抛物线，顶点 A1, A2,，An在直线y=x上，横坐标依次为1, 2,，n （ n为正整 数，且nW 12 ），分别过每个顶点作X轴的垂线，垂足记为B1,B2,，Bn,以线段AnBn为边向右作正方形 AnBnCnDn, 若这组抛物线中有一条经过 Dn,求所有满足条件的正方形边长。解：（1）当顶点为（1, 1）时，贝U有-=1, a+b =12a二 a= -1当

13、顶点为（m, m）时，贝V有- =m, am2+bm=m2a消去b后即得：am+仁0（2）由抛物线顶点坐标公式可得，过原点的抛物线的bb2顶点坐标为（,）2a4a顶点在直线 y=kx（kz 0）上2a 4a* a 工 0, b工 0.b=2k（3）顶点An在直线y=x上.由可知，b=2抛物线解析式为y=ax2+2x由题意可设，An坐标为（n, n）,并设点Dn所在 的那条抛物线的顶点坐标为（m, m）1由（1）可知，a=-m1这条抛物线的解析式为y=- x2+2xm四边形AnBnCnDn是正方形，AnBn丄X轴，且CnDn 在AnBn右侧点 Dn的坐标为（2n, n）1 2 n=（2n）2+2

14、 x 2nm得 4n=3m m、n都是正整数，且 mW 12, nw 12 n=3或6或9满足条件的正方形的边长为3或6或9【2013 海南 23题】如图1，点P是正方形ABCD的边CD上的一点(点 P与点C、D不重合)，点E在BC 的延长线上，且 CE=CP，连接BP、DE。(1) 求证： BCP DCE ;(2) 如图2，直线EP交AD于点F，连接BF、FC ,点G是FC与BP的交点。 当CD=2PC时，求证：BP丄CF; 当CD=n PC (n是大于1的实数)时，记 BPF的面积为Si, DPE的面积为S2,求证：Si=(n+1)S2.解：(1)v ABCD是正方形 BC=DC，/ BC

15、P= / DCE=90/ CE=CP BCP DCE ( SAS)(2/ CD=2PC P是CD的中点 PD=PC/ PDF= / PCE=90，/ FPD= / EPC PDF也厶 PCE / FPD= / CPE=45 PDF是等腰直角三角形 DF=DP=(n - 1)m11 Sapdf= DF DP= (n- 1)2m222 AF=AD - DF=nm - (n- 1)m=m S = 1 _ 1 1Sabf= AB AF= nm m=2 2 2g1 S 梯形 ABPD = (AB+DP) AD2nm2 DF=CE DF=CP/ BC=CD，/ BCP= / CDF=90 BCP CDF

16、/ PBC= / FCD/ PBC+ / BPC=90 / FCD+ / BPC=90 / CGP=901= nm+(n - 1)m nm21=-(2n2- n) m22- S1= S BPF= S 梯形 ABPD - S ABF-Sa PDF111=(2n2- n) m2 nm2 (n- 1)2m22221=1 (n 2-1 ) m22 BP 丄 CE 因为CD=n PC,不妨设 PC=m= (n -1)( n+1) m22 S1=( n+1)S2AFD图1图2则 CE=m , CD=AD=AB=nm , DP=(n-1)mSmpe= - DP CE2G 112S2= (n- 1)m m=

17、(n- 1)m222/ CP=CE PCE是等腰直角三角形【2013 昆明 23题】如图，矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy中，点A在x的正半轴上，点 C在y轴的正半 轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O、A两点，直线AC交抛物线于点 D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3） 若点M在抛物线上，点 N在x轴上，是否存在以 A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)由题意得，A (4, 0), C (0, 3) , B (4, 3)抛物线经过O、A两点 可设抛物线的解析式为y=ax（x-

18、4）抛物线的顶点在 BC边上由抛物线和矩形的对称性可知，顶点E为BC的中点,点E坐标为（2, 3）将点E坐标代入解析式可求得抛物线的解析式为（2）设直线AC的解析为一 3 2 y=- x2+3x4y=kx+b，则4k b解得 k=- 3，b=3直线AC3的解析式为y=-x+34于点M 当M N3=AD时，四边形 ADN 3M 是平行四 边形。过点D作DH丄x轴于H，过点 M 作M 丄x轴 于K，易证得厶AHD N3KM 9 M K=DH= , N3K=AH=34/点M 在x轴下方9点M 的纵坐标为-一4由-? /+3x =- 9 得 x=2+ 丿7 或 2-i. 744当x=2+J7时，M N3工AD，故舍去点M 的坐标为（2-