高等数学11-5,6 傅里叶级数

1、fourier series,第五、六节 傅里叶(fourier)级数,一、问题的提出 二、三角函数系的正交性 三、函数展开成傅里叶级数 四、正弦级数或余弦级数 五、周期为2l的函数的傅里叶级数 六、傅里叶级数的复数形式 七、小结,上一节详细研究了一种重要的函数项级数,幂级数,下面研究另一种重要的函数项级数,这种级数是由于研究周期现象的需要而,产生的,它在通讯、电工、力学和许多学科中,都有很重要的应用,傅里叶,级数,1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数,大胆地采用了,历史朔源,三角级数表示函数,在自然界和人类的生产实践中,周而

2、复始的现象、周期运动是常见的,谐函数,简谐波,简谐振动,正弦型函数,一、问题的提出,如矩形波,不同频率正弦波,除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象,逐个叠加,分解,设想,反映在数学上,谐波分析,或再利用三角恒等式变形为,即,三角级数,为简便计,先来讨论以 为周期的函数 f(x,解决上述问题起着关键作用的是,三角函数系的正交性(orthogonality,三角函数系,二、三角函数系的正交性,正交性,orthogonality,1.傅里叶系数 (fourier coefficient,两边积分,则,希自己证明,傅里叶系数,由这些系数作成的三角级数,称为函数 f(x)(诱导出)

3、的傅里叶级数,f(x),f(x)的傅里叶级数不见得收敛,即使收敛,级数的和也不一定是 f(x,不能无条件的,下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们,所以,把符号“,它的傅里叶级数收敛,记为,当 f(x)满足什么条件时,并收敛于f(x)本身,换为“,2. 狄利克雷(dirichlet)充分条件,收敛定理,逐段光滑,当x是f (x)的连续点时,当x是f (x)的间断点时,当 时,傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系,由定理可知,1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,常说把 f (x)在 上展开成傅氏级数,2) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等,幂级数的条件低得多,的区域,设函数 f (x)

4、以 为周期, 且,其傅氏级数在 处收敛于(,练习,解,可以将f (x)展开为傅氏级数,因为,所以,其傅氏级数在 处收敛于(,设函数f(x)以 为周期,且,北方交大考题 95级, (6分,为周期的傅氏级数的和函数s(x)在 上的,解,s(x),练习,表达式,周期函数的傅里叶级数解题程序,并验证是否满足狄氏条件,画图目的: 验证狄氏条件,由图形写出收敛域,易看出奇偶性可减少求系数的工作量,2) 求出傅氏系数,3) 写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f (x,1) 画出 f (x)的图形,解,u(t)的图象,计算傅里叶系数,奇,奇,将其展开为傅氏级数,并按狄利克雷定理写出此级数的和,例,为周期的矩形

5、脉冲的波形,偶,故u(t)的傅里叶级数为,由于u(t)满足狄利克雷充分条件,所以,得,解,傅里叶系数,例1,将 f (x) 展开为傅里叶级数,f (x) 的图象,故 f (x)的傅里叶级数,由于f (x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理得,上有定义,3) f(x)可展为傅氏级数,作 法,对于非周期函数,如果 f (x)只在区间,上有定义,并且满足狄氏充要条件,也可展开成,傅氏级数,1) f (x) 在,周期延拓,级数收敛于,周期延拓,解,例2 将函数,展开为傅氏级数,作周期延拓，验证条件,傅里叶系数,偶函数,奇函数,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,98 (a,填空题 (3分,

6、已知级数 则级数 的和,等于,解,所以,练习,由奇函数与偶函数的积分性质,系数的公式,易得下面的结论,和傅里叶,此时称傅里叶级数为,sine series,正弦级数,sine series and cosine series,四、正弦级数和余弦级数,它的傅里叶系数为,此时称傅里叶级数为,将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数,是非常有用的,是否有奇偶性,cosine series,余弦级数,它的傅里叶系数为,解,所给函数满足狄利克雷充分条件,奇函数,设 f (x)是周期为 的周期函数,它在,例3,上的表达式为,将 f (x)展开成傅氏级数,f (x)的图形,正弦级数,解,函数的图形如图,电学上称

7、为,偶函数,例4,展为傅里叶级数,锯齿波,余弦级数,例 在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电转换为直流电.已知电压,t为时间,试将e(t)展为傅氏级数,解,在整个数轴上连续,偶函数,所给函数满足狄利克雷充分条件,n为奇数,n为偶数,n=1时也对,奇延拓,偶延拓,两种,正弦级数,偶函数,奇函数,余弦级数,因而展开成,因而展开成,上有定义,作法,3. f(x)可展开为傅氏级数, 这个级数必定是,得到 f (x)的正弦级数 的展开式,偶函数,的奇函数,正弦级数,余弦级数,余弦级数,其实也不必真正实施这一手续,满足收敛定理的条件,1. f (x)在,2. 在开区间,内补充定义,得到定义在,上的函数

8、f(x,使它成为 在上,解,1) 求正弦级数,奇延拓,正弦级数,分别展开成正弦级数和余弦级数,例5,2) 求余弦级数,会指定到底展成余弦级数,还是正弦级数（不唯一,余弦级数,偶延拓,上有定义的函数,设函数,1) 把f (x) 展开为正弦级数,2) 求级数的和函数s(x)在,解,练习,1,上的表达式,级数的和函数s(x)的周期为,如图所示,从图上看更明显,2) 求级数的和函数s(x)在,上的表达式,解,解,五、以2l为周期的傅氏级数,代入傅氏级数中,则有,则有,典型例题,解,解,解,试 题 链 接,六、复数形式的傅里叶级数,基本概念(三角级数、三角函数系的正交性,函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、 傅里叶级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和,傅里叶级数的意义 整体逼近,七、小结,函数