点直线与圆的位置关系

1、点直线与圆的位置关系一、选择题：1. （ 2017海南3分）如图，AB是O O的直径，直线 PA与O O相切于点 A , PO交O O于点C,连接BC .若/ P=40则/ ABC的度数为（ ）A . 20 B. 25 C. 40 D . 50 【考点】切线的性质.【分析】禾U用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角/PAO的度数,然后利用圆周角定理来求/ ABC的度数.【解答】解：如图， AB是O O的直径，直线PA与O O相切于点A ,:丄 PAO=90 .又/ P=40 ,/ PAO=50 ,丄/ ABC= / PAO=25 .【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切

2、线垂直于经过切点的半径.2. （2017山东潍坊3分）如图，在平面直角坐标系中，O M与x轴相切于点A （ 8, 0）,与y轴分别交于点B （0, 4）和点C （ 0, 16）,则圆心M到坐标原点O的距离是（A. 10 B. 8 二C. 4 Td. 2 T【考点】切线的性质；坐标与图形性质.【分析】如图连接BM、OM , AM，作MH丄BC于H，先证明四边形 OAMH是矩形，根据 垂径定理求出 HB，在RT AOM中求出0M即可.AM，作MH丄BC于H. AM 丄 OA , OA=8 ,/ OAM= / MH0= / HOA=90 ,四边形OAMH是矩形，AM=OH ,/ MH 丄 BC ,

3、HC=HB=6 , OH=AM=10 ,在 RTA AOM 中，OMfu= . ；亠：一=2 | .故选D .3. （2017湖北荆州3分）如图，过O O外一点P引O O的两条切线PA、PB ,切点分别是A、B, OP交O O于点C,点D是优弧丄“上不与点A、点C重合的一个动点，连接 AD、CD，若/ APB=80 ,则/ ADC的度数是（A . 15 B. 20 C. 25 D . 30 【分析】根据四边形的内角和，可得/ BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案.【解答】9由四边形的内角和定理，得 / BOA=360 - 90 - 90 - 80 =100 , 由二=二，

4、得 / AOC= / BOC=50 .由圆周角定理，得/ ADC=/ AOC=25 ,2故选：C.【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出L-?1是解题关键，又利用了圆周角定理.、填空题1. （2017黑龙江哈尔滨3分）如图，AB为OO的直径，直线I与O O相切于点C, AD丄I,E,连接OC、BE .若 AE=6 , OA=5，则线段DC的长为_4【考点】切线的性质.【分析】0C交BE于F,如图，有圆周角定理得到 / AEB=90，加上AD丄I，则可判断BE / CD , 再利用切线的性质得 0C丄CD ,则0C丄BE ,原式可判断四边形 CDEF为矩形，所以CD=EF , 接着利用勾股

5、定理计算出 BE，然后利用垂径定理得到 EF的长，从而得到 CD的长.【解答】解：0C交BE于F,如图， AB为O 0的直径，/ AEB=90 ,/ AD 丄 I, BE / CD ,CD为切线，0C 丄 C D, 0C 丄 BE ,四边形CDEF为矩形， CD=EF,在 Rt ABE 中，BE=叮= =8,/ 0F 丄 BE, BF=EF=4 ,CD=4 .故答案为4.2. （2017内蒙古包头3分）如图，已知 AB是O 0的直径，点C在O 0上，过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若/ A=30 , PC=3,则BP的长为一_.切线的性质.【考点】【分析】【解答】解: / OA=

6、OC ,/ A=30 ,在RT POC中，根据/ P=30 , PC=3，求出OC、OP即可解决问题./ OCA= / A=30 ,/ COB= / A+ / ACO=60 , PC是O O切线，/ PCO=90 , / P=30 ,/ PC=3, OC=PC?tan30 = , PC=2OC=2 二, PB=PO - OB=二故答案为 一3. （2017湖北随州3分）如图（1）, PT与O Oi相切于点T, PAB与O Oi相交于A、B两点，可证明 PTA PBT,从而有PT2=PA?PB.请应用以上结论解决下列问题： 如图（2）,PAB、PCD 分别与 O 02 相交于 A、B、C、D 四

7、点，已知 PA=2, PB=7 , PC=3,则 CD.3T【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质.【分析】如图2中，过点P作O O的切线PT ,切点是T,根据PT2=PA?PB=PC?PD,求出PD即可解决问题.【解答】 解：如图2中，过点P作O O的切线PT,切点是T.2T PT =PA?PB=PC?PD,/ PA=2 , PB=7, PC=3 , 2X7=3XPD, PD=145 CD=PD - PC= : - 3=.4. (2017四川攀枝花) 如图， ABC中，/ C=90 AC=3 , AB=5 , D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的O O和AB、BC均相切，则OO的半径

8、为.【考点】切线的性质.【分析】过点0作OE丄AB于点E, OF丄BC于点F.根据切线的性质，知 0E、OF是O O 的半径；然后由三角形的面积间的关系(abo +Sa bod =Sa abd =S ACD ) 列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可.【解答】解：过点 0作OE丄AB于点E, OF丄BC于点F. AB、BC是O O的切线，点E、F是切点， OE、OF是O O的半径； OE=OF ;在厶 ABC 中，/ C=90 , AC=3 , AB=5 ,由勾股定理，得BC=4 ;又 D是BC边的中点， Sa ABD=SA ACD ,又 T Sa abd =S ABO +s BOD ,解得

9、OE=, O O的半径是丄故答案为：.【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.5. （2017四川南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm）,直线I是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm .【分析】根据已知条件得到CM=30 , AN=40，根据勾股定理列方程得到 OM=40 ,由勾股定理得到结论.【解答】解：如图，设圆心为 O,连接AO , CO,直线I是它的对称轴， CM=30 , AN=40 ,2 2 2 2-CM +OM =AN +ON ,o22o

10、-30 +OM =40 + （70 - OM ）,解得：OM=40,0C=-C 上 U=50,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.故答案为：50.【点评】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，根据题意画出图形， 利用数形结合进行解答是解答此题的关键.5.（2017黑龙江齐齐哈尔 3分）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边 CD相切于点D，则/ C= 45 度.【考点】切线的性质；平行四边形的性质.【分析】连接OD，只要证明 AOD是等腰直角三角形即可推出 / A=45，再根据平行四边 形的对角相等即可解决问题.【解答】解；连接OD .CD是O O切线，OD 丄 CD ,

11、 四边形ABCD是平行四边形， AB / CD , AB 丄 OD ,/ AOD=90 ,/ OA=OD , / A= / ADO=45 , / C=Z A=45 .故答案为45.三、解答题1. (2017湖北随州8分)如图，AB是O O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD丄OA 交弦AB于点E,连接BD，且DE=DB .(1)判断BD与O O的位置关系，并说明理由；(2 )若 CD=15 , BE=10 , tanA=，求 O O 的直径.【考点】 直线与圆的位置关系；垂径定理；相似三角形的判定与性质.【分析】(1)连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明/ OBD=90，即可证明BD是O

12、 O的切线；(2)过点D作DG丄BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG= BE=5，由两角相等的三角形相似， ACEDGE，利用相似三角形对应角相等得到sin/ EDG=sinA=.一，在RtA EDG中，利用勾股定理求出 DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果.【解答】(1)证明：连接OB ,/ OB=OA , DE=DB ,/ A= / OBA , / DEB= / ABD ,又 CD 丄 OA ,/ A+ / AEC= / A+ / DEB=90 ,/ OBA+ / ABD=90 , OB 丄 BD , BD是O O的切线；(2)如图，过点 D作DG丄BE于G,/ DE

13、=DB , EG= BE=5,2 ，/ ACE= / DGE=90 , / AEC= / GED ,/ GDE= / A , ACE s DGE , sin / EDG=sinA= ，即 CE=13 ,DE 5在 Rt ECG 中， DG= i T - fl I =12，/ CD=15 , DE=13 , DE=2,/ ACE s DGE ,.AC_CE， AC= : ?DG丄,GE 5O O 的直径 2OA=4AD=.2. (2017湖北武汉8分)如图，点C在以AB为直径的O O上，AD与过点C的切线垂直, 垂足为点D , AD交O O于点E .(1) 求证：AC平分/ DAB ;连接BE交

14、AC于点F，若【考点】切线的性质；考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理, 圆心角，弧，弦之间的关系的应用【答案】略；(2) 7【解析】(1)证明：连接 0C,贝 y 0C 丄 CD，又 AD 丄 CD ,二 AD / 0C,./ CAD = Z OCA,又 OA= OC ,aZ OCA = Z OAC,./ CAD = Z CAO , a AC 平分/ DAB .29(2) 解：连接 BE交OC于点H，易证OC丄BE,可知/ OCA=Z CAD ,4 COS / HCF = 4 ,5设 HC = 4,FC = 5,贝U FH = 3.又厶 AEFCHF ,设 EF = 3

15、x,贝U AF = 5x, AE = 4x,a OH = 2xBH = HE = 3x+ 3OB = OC = 2x+ 4在厶OBH中，(2x)2+( 3x+ 3) 2=( 2x+ 4) 2化简得：9x2+ 2x- 7= 0，解得：x=-(另一负值舍去)9.AF 5x 7 FC 一 5 一9 3. (2017江西8分)如图，AB是O O的直径，点P是弦AC上一动点(不与 A , C重合)，过点P作PE丄AB，垂足为E,射线EP交于点F,交过点C的切线于点D .(1) 求证：DC=DP ;(2) 若/ CAB=30，当F是云的中点时，判断以 A , O, C, F为顶点的四边形是什么特殊 四边形

16、？说明理由.【考点】 切线的性质；垂径定理./ B= / ACD，由 PE丄 AB ,【分析】(1)连接BC、OC,禾U用圆周角定理和切线的性质可得 易得/ APE= / DPC= / B，等量代换可得 / DPC= / ACD，可证得结论;(2)由/ CAB=30易得 OBC为等边三角形，可得 / AOC=120，由F是盘的中点，易得 AOF与厶COF均为等边三角形，可得 AF=AO=OC=CF，易得以A , O , C, F为顶点的四 边形是菱形.【解答】(1)证明：连接BC、OC, AB是O O的直径，/ OCD=90 ,/ OCA+ / OCB=90 ,/ OCA= / OAC , /

17、 B= / OCB ,/ OAC+ / B=90 ,CD为切线，/ OCD=90 ,/ OCA+ / ACD=90 ,/ B= / ACD ,/ PE 丄 AB ,/ APE= / DPC= / B,/ DPC= / ACD , AP=DC ；(2)解：以A , O , C, F为顶点的四边形是菱形； / CAB=30 ,B=60 , OBC为等边三角形，/ AOC=120 ,连接OF, AF , F是，的中点，/ AOF= / COF=60 , AOF与厶COF均为等边三角形， AF=AO=OC=CF ,四边形OACF为菱形.D4. (2017辽宁丹东10分)如图，AB是O O的直径，点 C

18、在AB的延长线上，CD与O O 相切于点D , CE丄AD，交AD的延长线于点 E.(1)求证：/ BDC= / A ;(2 )若 CE=4, DE=2，求 AD 的长.【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质.【分析】(1)连接OD，由CD是O O切线，得到/ ODC=9，根据AB为O O的直径，得到/ ADB=90，等量代换得到/ BDC= / ADO，根据等腰直角三角形的性质得到/ ADO= / A，即可得到结论；(2)根据垂直的定义得到 / E= / ADB=90，根据平行线的性质得到 / DCE= / BDC，根据CE AE相似三角形的性质得到-二.，解方程即可得到结论.Ct【解答

19、】(1)证明：连接OD ,CD是O O切线，/ ODC=90 , 即 / ODB+ / BDC=90 ,/ AB为O O的直径，/ ADB=90 ,即 / ODB+ / ADO=90 ,/ BDC= / ADO ,/ OA=OD ,/ ADO= / A ,/ BDC= / A ；(2) / CE 丄 AE ,/ E= / ADB=90 DB / EC,/ DCE= / BDC ,/ BDC= / A ,/ A= / DCE ,/ E= / E, AEC sCED , ec2=de?ae , 16=2 (2+AD ), AD=6 .5. (2017四川南充)如图，在 Rt ABC中，/ ACB=

20、90 , / BAC的平分线交 BC于点O,OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆.(1) 求证：AB为O O的切线；1(2) 如果 tan/CAO=，求 cosB 的值.【分析】（1）如图作0M丄AB于M,根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明.（2 ）设BM=x , OB=y，列方程组即可解决问题.【解答】解：（1）如图作0M丄AB于M ,/ 0A 平分/ CAB , 0C 丄 AC , 0M 丄 AB ,OC=OM , AB是O O的切线，（2 ）设 BM=x , OB=y，贝卩 y2 - x2=i，珊BC/ cosB= JU,j y+1二 x2+3x=y2+y，由可以得

21、到：y=3x - 1 ,（ 3x - 1） 2 - x2=i ,u c x= 1, y= 1,【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线， 学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型.6. （2017四川内江）（10分）如图9，在Rt ABC中，/ ABC = 90 AC的垂直平分线分别与AC, BC及AB的延长线相交于点 D , E, F .O O是厶BEF的外接圆，/ EBF的平分 线交EF于点G,交O O于点H，连接BD, FH .(1)试判断BD与O O的位置关系，并说明理由;当AB= BE= 1时，求O O

22、的面积;在的条件下，求CCF图9答案图HG HB的值.考点切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。(1) 直线BD与O O相切.理由如下：如图，连接 OB ,T BD是Rt ABC斜边上的中线，二 DB = DC ./ DBC = Z C./ OB = OE， / OBE = Z OEB = Z CED ./ C+Z CED = 90/ DBC + Z OBE = 90 BD与O O相切；3分(2) 连接 AE .I AB= BE = 1 , AE = 2 ./ DF 垂直平分 AC , CE= AE= .2 . BC = 1+2 .4 分/Z C+Z CAB

23、= 90 Z DFA +Z CAB = 90 Z CAB=Z DFA.又Z CBA =Z FBE = 90 AB= BE, CAB FEB . BF = BC= 1+2 .5 分 EF2= BE2+ BF2= 12+ (1 + .2 )2= 4 + 2 2 .6 分 Soo= 1 nEF2= 2 +血兀7分42/ AB= BE ,Z ABE = 90 AEB = 45 ./ EA = EC,.Z C= 22.5 . 8 分/ H = Z BEG = Z CED = 90 22.5 = 67.5 ./ BH 平分/ CBF，/ EBG = Z HBF = 45/ BGE = Z BFH = 67

24、.5BG = BE= 1, BH = BF = 1+2 . GH = BH BG= , 2 .10分 HB HG = 2 X(1 + 2)= 2 + Q .3. (2017四川宜宾)如图1 ,在厶APE中，/ PAE=90, PO是厶APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G .(1 )求证：直线PE是O O的切线；(2)在图2中，设PE与O O相切于点H，连结AH，点D是O O的劣弧，.一上 一点，过点D作O O的切线，交PA于点B ,交PE于点C,已知 PBC的周【分析】(1 )作OH丄PE ,由PO是/ APE的角平分线，得到/ APO= / EPO , 判断出 PAO P

25、HO ,得到OH=OA ,用圆心到直线的距离等于半径”来得 出直线PE是O O的切线；(2)先利用切线的性质和 PBC的周长为4求出PA=2 ,再用三角函数求出 OA , AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG , AE=2EH ，用勾股定理求出EG , 最后用切割线定理即可.【解答】证明：(1 )如图1,作OH丄PE,/ OHP=90 ,/ PAE=90 ,/ OHP= / OAP , PO是/ APE的角平分线，/ APO= / EPO ,在 PAO和 PHO中Z0HP=Z0AP“ ZOPHZOPA,OP=OP PAO PHO , OH=OA , OA是O O的半径， OH是O O的半径

26、，/ OH 丄 PE,直线PE是O O的切线.(2)如图2,连接GH ,图/ BC , PA , PB 是 O O 的切线， DB=DADC=CH PB+PC+BC=4 , PB+PC+DB+DC=4 PB+AB+PC+CH=4 PA+PH=4 , PA , PH是O O的切线， PA=PH , PA=2 ,由（1）得， PAO PHO , / OFA=90 , / EAH+ / AOP=90/ OAP=90 , / AOP+ / APO=90/ tan / EAH=,2 tan / APO=0A_ 1 OA= PA=1 ,2 AG=2 ,/ AHG=90 ,/ tan / EAH=c，.EG

27、_ EH_ GH_ 1.= ；=,：=：， EH=2EG , AE=2EH AE=4EG / AE=EG+AG , EG+AG=4EGi 2 EG= AG=,33 EH是O O的切线，EGA 是O O的割线， EH2=EGX EA=EG 0,2PFi=x+ - 2,X/ PM / x 轴2 PM=PE+ME=PE+EF=x+- 2, PM=PFi,同理，PF22= ( x+2) 2+ (+2) 2= (x+2) 2,北22PF2=x + +2, PN=x+2因此 PF2=PN, PF2- PFi=PN - PM=MN=4 ,(3) PF1F2的内切圆与F1F2, PFi, PF2三边分别相切于

28、点 Q, R, S,rPR=PSj.Q?pf2 pfi=qf2 QF1=4 二 FgQ又 QF2+QFi=FiF2=4QFi=2 .，: 2, Q0=2 ,T B（，）， 0B=2=0Q ,所以，点Q与点B重合.图1【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合在一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容， 对学生的综合能力要求较高， 一定要注意将所学 知识贯穿起来.6. ( 2017湖北荆门8分)如图，AB是O 0的直径，AD是O0的弦，点F是DA延长线 的一点，AC平分/ FAB交O

29、0于点C,过点C作CE丄DF，垂足为点E.(1)求证：CE是O 0的切线；(2 )若 AE=1 , CE=2，求 O 0 的半径.【考点】切线的判定；角平分线的性质.【分析】(1)证明：连接 C0,证得/ 0CA= / CAE，由平行线的判定得到 0C / FD，再证得0C丄CE ,即可证得结论；(2)证明：连接 BC,由圆周角定理得到 / BCA=90，再证得 ABCACE，根据相似三角形的性质即可证得结论.【解答】(1)证明：连接CO ,/ OA=OC ,/ OCA= / OAC ,/ AC 平分 / FAB ,/ OCA= / CAE , OC / FD,/ CE 丄 DF , OC 丄

30、 CE, CE是O O的切线；(2)证明：连接BC ,在 RtACE 中，AC=j 7d.n=-,/ AB是O O的直径，/ BCA=90 ,/ BCA= / CEA ,/ CAE= / CAB , ABCACE ,型=璧厂=，匚.出-， AB=5 , AO=2.5，即O O的半径为2.5.7. ( 2017湖北荆州10分)如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形 OABC是平 行四边形，/ FAB=15，连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于 点D，延长AF交直线CD于点H .(1)求证：CD是半圆O的切线；(2 )若DH=6 - 3，求EF和半径OA的长.【分析】

31、(1)连接OB，根据已知条件得到 AOB是等边三角形，得到/ AOB=60，根据 圆周角定理得到/ AOF= / BOF=30，根据平行线的性质得到 OC丄CD，由切线的判定定理 即可得到结论；(2)根据平行线的性质得到/DBC= / EAO=60，解直角三角形得到 BD=BC=丄AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2 -：，根据直角三角形的3DH AD卞性质即可得到结论.【解答】解: (1)连接OB ,/ OA=OB=OC ,四边形OABC是平行四边形， AB=OC , AOB是等边三角形，/ AOB=60 ,/ FAD=15 ,/ BOF= 30,/ AOF= / B

32、OF=30 , OF 丄 AB ,/ CD / OF, CD 丄 AD ,/ AD / OC ,0C 丄 CD, CD是半圆O的切线;(2 )T BC / OA ,/ DBC= / EAO=60 , BD=_BC=AB ,2 2 AE=_AD ,3/ EF / DH , AEF ADH ,DH AD/ DH=6 - 3 =, EF=2 -，/ OF=OA , OE=OA -( 2- ,)，/ AOE=30 ,:=飞匚-厂 _ 一丄:.-解得：OA=2 .【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 OB构造等边三角形是解题的关键.&( 2017

33、湖北荆州10分)如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形 OABC是平 行四边形，/ FAB=15，连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于 点D，延长AF交直线CD于点H .(1)求证：CD是半圆O的切线；(2)若DH=6 - 3厂，求EF和半径 OA的长.【分析】(1)连接0B，根据已知条件得到 AOB是等边三角形，得到/ AOB=60，根据 圆周角定理得到/ AOF= / BOF=30，根据平行线的性质得到 OC丄CD，由切线的判定定理 即可得到结论；(2)根据平行线的性质得到/ DBC= / EAO=60，解直角三角形得到 BD=BC=AB，推2 2出AE=AD

34、，根据相似三角形的性质得到 一-求得EF=2 -厂，根据直角三角形的3 DH AD性质即可得到结论.【解答】解: (1)连接OB ,/ OA=OB=OC ,四边形OABC是平行四边形, AB=OC , AOB是等边三角形，/ AOB=60 ,/ FAD=15 ,/ BOF=30 ,/ AOF= / BOF=30 , OF 丄 AB ,/ CD / OF , CD 丄 AD ,/ AD / OC ,OC丄CD, CD是半圆O的切线；(2)T BC / OA ,/ DBC= / EAO=60 , BD= BC= 1 AB ,2 2 AE=AD ,3/ EF / DH , AEF ADH ,：-二匸

35、，DH=6 - 3, EF=2 -，/ OF=OA , OE=OA -（ 2-），/ AOE=30 ,.；讦：=厂OA OAr解得：OA=2 .【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 OB构造等边三角形是解题的关键.9. (2017青海西宁10分)如图，D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA= / CBD.(1) 求证：CD是O O的切线；AD 9(2) 过点B作O O的切线交CD的延长线于点E, BC=6，二-.一 求BE的长.【分析】(1)连0D , 0E,根据圆周角定理得到 / ADO+ /仁90 ,而/ CDA=

36、/ CBD ,/ CBD= / 1，于是 / CDA+ / ADO=90 ;(2)根据已知条件得到 CDAsCBD由相似三角形的性质得到 工一丄，求得CD=4 ,BC BD由切线的性质得到 BE=DE , BE丄BC根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】(1)证明：连结OD ,/ OB=OD ,/ OBD= / BDO ,/ CDA= / CBD ,/ CDA= / ODB ,又 AB是O O的直径，/ ADB=90 ,/ ADO+ / ODB= 90,/ ADO+ / CDA=90 ,即 / CDO=90 , OD 丄 CD ,/ OD是O O半径， CD是O O的切线(2)解：/ C=Z

37、 C, / CDA= / CBDCD ADAD 2,BC=6,/ CE , BE是O O的切线 BE=DE , BE 丄 BC BE2+BC2=EC2,即卩 BE2+62= (4+BE) 解得：BE.10. (2017陕西)如图，已知： AB是O O的弦，过点B作BC丄AB交O O于点C,过点C作O O的切线交AB的延长线于点 D,取AD的中点E,过点E作EF / BC交DC的延长线 于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G .求证：(1) FC=FG ；(2) AB 2=BC?BG .a【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质.【分析】(1)由平行线的性质得出 EF丄AD，由线

38、段垂直平分线的性质得出 FA=FD，由等 腰三角形的性质得出 / FAD= / D，证出/ DCB= / G,由对顶角相等得出 / GCF= / G ,即可 得出结论；(2)连接AC,由圆周角定理证出 AC是O O的直径，由弦切角定理得出 / DCB= / CAB , 证出/ CAB= / G,再由/ CBA= / GBA=90，证明 ABCGBA，得出对应边成比例，即可得出结论.【解答】证明：(1) / EF / BC , AB丄BG , EF 丄 AD , E是AD的中点， FA=FD ,/ FAD= / D,/ GB 丄 AB ,/ GAB+ / G= / D+ / DCB=90 ,/

39、DCB= / G ,/ DCB= / GCF ,/ GCF= / G, FC=FG；(2)连接AC,如图所示：/ AB 丄 BG , AC是O O的直径， FD是O O的切线，切点为 C,/ DCB= / CAB ,/ DCB= / G ,/ CAB= / G ,/ CBA= / GBA=90 , ABC GBA ,：=一：=； 一 ，46平面直角坐标系四个象限11. （2017四川眉山）九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固 内及坐标轴上的点的坐标特点”这一基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写a,再从剩上了- 3, 0, 2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为下

40、的两张中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后叫万宇在平面直角坐标系中找出点M(a，b)的位置.(1) 请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点M所有可能的坐标；(2) 求点M在第二象限的概率；(3) 张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为3的OO,过点M能作 多少条O O的切线？请直接写出答案.【分析】(1)画树状图展示所有 6种等可能的结果数；(2) 根据第二象限点的坐标特征找出点M在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解；(3) 画出图形得到在O O上的有2个点，在O O外的有2个点，在O O内的有2个点，则 利用切线的定义可得过O O上的有2个点分别画一条切线，过O

41、O外的有2个点分别画2 条切线，但其中有 2组切线重合，于是可判断过点 M能作4条O O的切线.【解答】解：(1)画树状图为叨02共有6种等可能的结果数，它们是(-3, 0)、(- 3, 2 )、(0, - 3 )、(0, 2)、(2, - 3 )、(2, 0)；(2) 只有(-3, 2)在第二象限，所以.点M在第二象限的概率=；6(3) 如图，过点M能作4条O O的切线.【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件 A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件 A或B的概率.利 用切线的定义可解决(3)小题，应用数形结合的思想是解决此

42、类题目的关键.12. (2017福建龙岩10分)如图，AB是O O的直径，C是O O上一点，/ ACD= / B,AD丄CD .(1)求证：CD是O O的切线；(2)若 AD=1 , OA=2，求 AC 的值.【考点】切线的判定.【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得出 / ACB=90 ,由等腰三角形的性质得出 / B= / BCO , 证出/ OCD= / OCA+ / BCO= / ACB=90，即可得出结论；(2)证明 ACB ADC，得出AC2=AD?AB，即可得出结果.【解答】(1)证明：连接OC,如图所示： / AB是O O直径,/ ACB=90 , / OB=OC ,/ B=

43、/ BCO ,又/ ACD= / B,/ OCD= / OCA+ / ACD= / OCA+ / BCO= / ACB=90 , 即OC丄CD , CD是O O的切线；(2)解：/ AD 丄 CD ,/ ADC= / ACB=90 ,又/ ACD= / B, ACB ADC ,2- AC =AD?AB=1X 4=4 , AC=2 .AB为O O的直径，AC为O O的切线,OC 交 O O(1)求证：/ 1 = / CAD ;，继而证得CD的长,【分析】（1）由AB为O O的直径，AC为O O的切线，易证得 / CAD= / BDO 结论；（2）由（1）易证得 CADCDE，然后由相似三角形的对

44、应边成比例，求得再利用勾股定理，求得答案.【解答】（1）证明：T AB为OO的直径，/ ADB=90 ,/ ADO+ / BDO=90 , AC为O O的切线， OA 丄 AC ,/ OAD+ / CAD=90 ,/ OA=OD ,/ OAD= / ODA ,(2)解：/ 1 = / CAD , / C= / C, CD : CA=CE : CD , CD2=CA?CE ,/ AE=EC=2 , AC=AE+EC=4 , CD=2 ，7,设O O的半径为x,贝y OA=OD=x ,则 Rt AOC 中，OA2+AC2=OC2, x2+42= （2 T+x） 2,解得：x= 1.O O的半径为.

45、二.14. （ 2017广西南宁）在图 书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、 诵读、演讲、征文四个比赛项目（2017?南宁）如图，在 Rt ABC中，/ C=9C , BD是角平分线，点 O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点 D，交BC于点E .（1）求证：AC是O O的切线;(2)若 OB=1O , CD=8，求 BE 的长.【考点】切线的判定.【专题】计算题；与圆有关的位置关系.【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据 OB=OD，等边对等角得 到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到

46、 / ODA为直径，即可得证；（2）由OD与BC平行得到三角形 OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出 OA的长, 进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC,利用勾股定理求出 BG的长，由 BG+GC求出BC的长，再由三角形 BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出 BE的长 即可.【解答】（1）证明：连接OD,/ BD为/ ABC平分线，/ 1 = / 2,/ OB=OD ,:丄仁/ 3,/ 2= / 3, 0D / BC ,/ C=90 ,/ ODA=90 ,则AC为圆0的切线；(2)解：过0作0G丄BC ,四边形ODCG为矩形， GC=0D=0B=10，0G=CD=8，BG=6 ,在Rt 0BG中，利用勾股定理得: BC=BG+GC=6+10=16 ,/ 0D / BC , A0D ABC ,鱼型即 0A =20解得：0A=, AB= +10=,； ，连接EF,/ BF