第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

1、学习必备欢迎下载第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第i页)i会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.考纲传真2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3 会解一元二次不等式对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 = b2 4ac0= 0&0二次函数y= ax2 + bx+ cytn / /(a0)的图象1 VO1一兀二次方程ax2 + bx + c= 0(a0)的根有两相异实根xi , X2(X10(a0)的解集xlxx?xlxM XiRax2 + bx+ c0)的解集 x|xix 0(a

2、0)的求解过程3.简单的分式不等式f (x)(i)g(x)?f(x)g(x)；f (x) 一 一w ? f(x) g(x)w 且 g(x)M .g (x):思考感悟ax2 + bx+ c(az )对一切x R恒成立的条件是什么?【提示】a且b2 4ac 的解集是()1A . ( 2，1)B . (1 , +m )1C.(汽 1) U (2 ,+s ) D . ( a, 2)U (1 ,+ )【解析】I 2x2 x 1 = (x 1)(2x+ 1),1x 1 或 xv 1故原不等式的解集为(a, 2)u(1, + a).【答案】Dx 12 不等式 1 或 x v 211C. 2，1 D. x|x

3、 1 或 xw ?【解析】原不等式等价于(x 1)(2x+ 1) v 或 x 1 = .1原不等式的解集为(一2, 1.【答案】A3. (212福建高考)已知关于x的不等式x2 ax+ 2a在R上恒成立，贝U实数a的取值 范围是.2【解析】t x ax+ 2a在R上恒成立,2 = a 4 x 2a, - - a 的解集是(,)，则a + b的值是【解析】由已知得方程ax2 + bx+ 2 = 的两根为一2 7.23b11一一=一一+a23则211(一1)X1a =一 12,解得b =一 2,a + b =一 14.【答案】- 14错误!（见学生用书第2页）Is 4一兀二次不等式的解法閑I解下列

4、不等式2(1) 3+ 2x x 0；(2) x + 3 2x;2xx 11.【思路点拨】（1）先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；（2）用配方法或用判别式法求解；（3 ）移项通分，转化为一元二次不等式求解.【尝试解答】（1）原不等式化为x2 2x 3w 0,即（x 3）（x+ 1）w 0,故所求不等式的解集为x| 1 w xW 3.2（2）原不等式化为x 2x+ 3 0,.= 4 12= 8V 0,又因二次项系数为正数, 不等式x2+ 3 2x的解集为R.(3) T-2W 1? -2 1W 0?x 1 x1x+ 1 W 0x 1(x 1)(x+ 1) w 0 且 XM 1.原不等式的解集为

5、1, 1).I规律方法1. 熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解.2. 解一元二次不等式的步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）先考虑因式分解法，再考 虑求根公式法或配方法或判别式法；（3）写出不等式的解集. II翌朮训练的十知才坐卡解下列不等式：2（1） 2x 5x+ 3 0；2（2） 1 w x + 2x 1 w 2；【解】（1） 2x2 5x+ 30, 2x2 + 5x 3v 0,(2x 1)(x+ 3)V 0,1原不等式的解集为x| 3v xv .(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组x2 + 2x 0,

6、即2x + 2x 3W 0. 由得X0或xW 2;由得一3 w x W 1.x2 + 2x 1 1,x2 + 2x 1 W 2,含参数的一兀二次不等式的解法故得所求不等式的解集为x| 3x 2或0 xa2(a R)的解集.【思路点拨】先求方程12x2 ax= a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集【尝试解答】12x2 ax a2,. 12x2 ax a2 0,即(4x+ a)(3x a) 0,令(4x+ a)(3x a)= 0,a a得：x1 = 4, x2 = 3.a aaa a0 时，4 3，解集为xx3； a= 0 时，x2 0,解集为x|x R 且 xm 0;a aaa a3，解集为

7、xx 4.综上所述：当a 0时，不等式的解集为x|x 3；当a = 0时，不等式的解集为xx R且xm 0；4.a当a0时，不等式的解集为xx I规律方法5解含参数的一元二次不等式的步骤(1) 二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0，还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2) 判断方程实根的个数，讨论判别式与0的关系.(3) 确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的 大小关系，从而确定解集形式.応illl练解关于x的不等式x2 (a + 1)x+ a 0.【解】原不等式可化为(x a)(x 1) 1时，原不等式的解集为(1, a);当a =

8、1时，原不等式的解集为空集；当a 2，求实数a的取值范x 1围.【解】-a V 1?x 1(a 1) x+ 1v 0? (a 1)x + 1(x 1) v 0,由原不等式的解集是xx x 1v 1 或 x 2,1a = 2.一 1实数a的取值范围是.不等式恒成立问题二二 若不等式mx2 mx 1 v 0对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围. 【思路点拨】 分m = 0与mz 0两种情况讨论，当 mz 0时，用判别式法求解. 【尝试解答】 要使mx2 mx 1v 0对一切实数x恒成立，显然一1 v 0;mv 0,贝U解得一4v mv 0,= m2+ 4m v 0,円规律方法的取值范围是（一4

9、, 0.,LI *c右 m= 0,故实数m1.不等式ax2 + bx+ c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c 0; a 0,2v 0;当0时，不等式ax2 + bx+ cv 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a = 0时，2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是 主元，求谁的范围，谁就是参数.对任意a 1，1不等式x2 + (a 4)x+ 4 2a0恒成立，则实数 x的取 值范围是.【解析】设f(a) = (x 2)a+ x2 4x+ 4,则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f(a)在区间1，1上恒正时x应满足的条件，

10、f ( 1 ) 0，故应有f (1) 0.x 5x + 6 0，即2x 3x+ 2 0，| ( X 2)( X 3) 0，化为 (x 1)( x 2) 0.解之，得xv 1或x 3.【答案】xv 1或x3鸟一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集).鸟两点联想不等式ax2 + bx+ c0(或ax2 + bx+ cv 0)(a丰0)的求解，善于联想：(1)二次函数y= ax2 + bx + c的图象与x轴的交点，(2)方程ax2 + bx+ c= 0(a丰0)的根，运用好“三个二次”间的 关系.囤三个防范1.

11、二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是 否为零的情况.2.解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若 不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.3不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述.高孑俸絵蹈考恂丘 H蕨非1超*（见学生用书第3页）命题透视从近两年的高考试题来看， 一元二次不等式的解法、 含参数不等式的解法以及二次函数、 一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想.思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值E!例題（2011浙江高考）设x,y为实数，若4x2 + y2 + xy= 1，则2x+ y的最大值是【解析】 法一 设 2x+ y=t, y=t 2x,代入 4x2+ y2+ xy= 1，整理得 6x2 3tx+ t21 = 0.关于 x 的方程有实根，因此= ( 3t)2 4X 6 X (t2 1) 0,解得2 100” 的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】2x2 + x 10的解集为xX*或x0,但 2x + x 10D?