《椭圆的定义及其标准方程》教学设计

1、课题： 2.1.1 椭圆的定义及其标准方程鹿城中学 田光海一、教案背景：1. 面向对象： 高中二年级学生2.学科： 数学3.课时： 2 课时4.教学内容：高中新课程标准教科书数学北师大版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方 程 2.1.1 椭圆及其标准方程二 . 教材分析本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的 概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标 法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此 这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。1. 教法分析结合生活经验观察发现、启发引导、探究

2、合作。在学生的生活体验、直观感知、知识 储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒 体课件, 精心构建学生自主探究的教学平台 ,启发引导学生观察 ,想象,思考,实践,从而发现 规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识 , 体验成功。主 要采用探究实践、启发与讲练相结合。2. 学法分析从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一 些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。从学生现有的学习能力看， 通过一年多的学习， 学生已具备了一定的观察事物的能力， 积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、

3、概括的能力和语言转换能力。从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概 念”的水平，如何给椭圆以数学描述 ? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问 题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来 辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的 情感基础。3. 教学目标知识与技能： 掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的 两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。过程与方法： 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、 归纳、类比、概括能力；通过椭

4、圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法 坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。情感、态度与价值观： 通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美 情趣，培养学生勇于探索的精神。4. 教学重点与难点重点： 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点： 椭圆的标准方程的建立和推导教学方法5.教学准备通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件, 自制教具：绘图板、图钉、细绳。三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情景1:用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面 上，截面为圆形当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再 观察水平面，此时截面为椭圆形.

5、(演示)问题1:联想生活中还有哪些是椭圆图形?创设情景引入新课情景2:问题2:(2) 圆(3) 圆12 1!1)圆是怎么画出来的?3定义是什么？_猜想：1、椭圆是怎么画出来的？ 2、椭圆的定义是什么？ 3、椭圆的标准方程又是什么形式？学生观察学生举例 学生思考后回答。引入生活情 境激发学生 的学习欲 望，自然引 入新课，同 时与其实际 相联系，拓 宽学生思 维，发展他 们联想、类 比能力。使学生在感 叹祖国科技 辉煌发展的 氛围中认识 椭圆。用类比的思 想，通过已 经学过的圆 的知识猜想 椭圆，开展 后续教学。探究1给学生提供将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉，一根一个动手操无弹性的细绳

6、，一张纸板，能画出椭圆吗？同桌同学按作，合作学让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出照老师的要习的机会；以下问题：求合作画通过实验让图，并思考学生去探究互动思考1:在纸板上作图说明什么？轨迹上的点“满足什么探究思考2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？具备什么特样的条件下形成有哪些量没有变？点。的点的集合概念展示学生成为椭圆”；思考3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形果。请学生让每个人都有何变化？代表本小组动手画图，根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义与两个定点的交流探究结自己思考问距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大论：题，由此培于两定点间距离）.养学生的自信心。？动态演示动点

7、生成轨迹的全过程，印证猜想探究2在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形利用动使学生经历是什么？画显示结果椭圆概念的当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之学生通过课生成和完善互动间的距离吗？件观察变化过程，提高探究定义：平面内与两个定点用“芯距离的和等于常数（大情况其归纳概括1 1能力，加深深化于fl玛1）的点的轨迹叫椭圆。请学生给出对椭圆本质概念教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离经过修改的的认识，并叫椭圆的焦距。椭圆定义逐渐养成严思考1：焦点为“禺的椭圆上任一点M有什么

8、性质？学生思考后谨的科学作回答风令椭圆上任一点M则有|碑+血码=2n （加 2c二感巧（J补充：若2d=2c时，轨迹是线段码码；若2乂氐时，无轨迹。思考2:刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？_ _MFi、F2位置越近椭圆愈圆，位置越远椭圆越扁（越近o置越前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，充分发挥学我们能不能推导出椭圆的方程。学生回答生的学习主问题3:求曲线方程的一般步骤是什么？学生先独立动性。思考，之后通过坐标系建系、取点；列式；代换；化简；证明全班交流，的不同选下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的确定最后的择，用不同求法。（1）

9、要建立椭圆方程应该如何建立坐标系？解决方案，的方法得到研讨然后分工合不同的方（2）椭圆上动点M满足什么条件？探究作，共同完程，通过比推导尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困成，之后再较体会曲线方程难，教师进行提示。交流。的方程的不（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法，在实物学生思考后确定性，理展台上投影。）主动发言回解曲线与方答。程的关系，问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方程，你能感受恰当选发现什么规律？哪一种方程最简洁？以上三条，择坐标系的2 2尽量由学生优越性，感方程x2 葺1 （ a b 0） （）叫做椭圆的标准方 a b总结出受标准方程程。它表示焦点在 x轴上，焦点坐标

10、为Fi（ c,0），的简洁、对2 2 2F2(c,0)，其中 c a b .2 2詁右1( a b 0)，它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为F,(O, c) F2(0, c)，其中c2 a2 b2我们可以发现，以上两种方案是最好的。问：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方 程,如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在y轴上？(看分母大小，哪个分母大焦点就在哪一条轴上 )说明：(1) 在两个方程中，总有ab0(2) 椭圆的三个参数 a、b、c满足：c2 a2 b2即a2 b2 c2，a 最大(3) 要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小。2 2例如椭圆J 1

11、( m 0，n 0，m n)当m n m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m n时表示焦点在y 轴上的椭圆。称、和谐之 美，并在实 践中通过对 比提咼决策 能力、计算 能力、培养 学生简约的 思维能力。培养学生的 观察、分析 归纳能力。例1.适合下列条件的椭圆的标准方程f N 1 (a b 0) b a(1) a =4, b=1，焦点在x轴(2) a2=4 (c=2)22)1 焦点在)；轴上2)2(3)两个焦点的坐标是(0 ， -2 )和(0 ， 2)并且经过点y21, (ab解：(1)因为焦点在2 x2 a(-1.5，2.5)b 0)例题研讨变式精析a=4, b=1 x2所求方程为1 (ab2

12、 a2x轴上,所以设所求方程为2x 2彳y 116b 0)学生独立完成学生讨论因为焦点在y轴上，所以设所求方程为2116培养学生运用知识解决问题能力解决情景设 置中的问题a=4, b=1所求方程为 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆方程为例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前，是在以地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它的近地点B距地面200公里，远地点A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 6371km求轨道方程（精确到ikm）。2 21、如果椭圆一1上一点P到焦点Fi距离是6,10036则点P到另一个焦点F2距离是。练习检测2、

13、求适合下列条件的椭圆的标准方程学生练习检测学习成当堂（1）两个焦点坐标分别是（0，2），（ 0, -2），椭果巩固，, ,3 5圆经过点P, 2） a+b=10,c= 2 亦最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，摆脱传统教然后集体补充，最后教师才引导和完善。师生应共同学中教师小归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和结的做法，总结方法。学生总结出以表格形式概括这一节课你收获到了什么？在知识、数出现，让学课后学思想等方生自己总提升布置作业面的收获结，加深对本节课内容层次1的认识？1.教材练习A 3.4题？练习B?第二题?层次1的目2.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点吗？作图

14、的依据是什么？根据你的作图方法，能找到与之相应 的方法求出椭圆方法吗？层次2课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知识进行 了解。的是强化巩 固本节内容层次2的目的是激发学 生学习的兴 趣，提高数 学文化品 位。六、板书设计 员的标准 1、椭圆的定义椭圆标准方程的推导过程例1:2、椭圆的标准方程书写例2：（1）、焦点在x轴上（1）详写（2）、焦点在y轴上（2）写关键步骤七、教学反思本节课整个教学过程为：提出问题一一探索一一解决问题一一归纳反思一一提高。在 问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计 不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题情境后，在问题的指 引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深 入，亲身经历知识的产生过程。使学生在