高三《考前三个月》专题复习篇【配套文档】专题五第一讲

1、专题五 空间向量与立体几何第一讲 空间几何体1棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等， 侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相 邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等， 侧面是全等的等腰三角形， 斜高相等； 棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影 构成一个直角三角形； 棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形； 某 侧面的斜高、 侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形； 侧棱在底面内的射影、 斜高 在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形2三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、

2、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几 何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图 的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样3几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对 角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题4 柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆 )(1)表面积公式 圆柱的表面积S= 2n(r + I); 圆锥的表面积 S= n(r + I); 圆台的表面积 S= n 2+ r2 +

3、 r I + rl); 球的表面积S= 4長.(2)体积公式 柱体的体积V = Sh;1 锥体的体积V = 3Sh；3 台体的体积 V = 3(S+ , SS + S)h;4 球的体积v= 4nR3.1 .(2013广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是B.143C.163答案 B解析由三视图知四棱台的直观图为1 14由棱台的体积公式得：V = （2X 2 + 1 X 1+ 2 X 2 X 1X 1）X2 . （2013四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D.3. (2013 西)如图，正方体的

4、底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB / CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE, EF相交的平面个数分别记为m, n,那么m+ n =()A8B9C10D11答案 A解析 取CD的中点H，连接EH , HF.在四面体 CDEF中，CD丄EH , CD丄FH，所以CD丄平面EFH，所以AB丄平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与 EF平行，其余 4个平面与EF相交，即n=4又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面 共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m= 4,所以m+ n= 4+ 4 = 8.4. (2013新课全国II )一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中

5、的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为答案 A解析 根据已知条件作出图形：四面体Cl A1DB，标出各个点的坐标如图()(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示故选 A.5. （2013福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组2的正方形，则该球的表面积是 答案 12 n合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径.所以2R= 2 3，即R= 3,球的表面积为 S= 4

6、 7fR= 12 n.题型一 空间几何体的三视图B . 45 nC. 57 nD. 81 n1(1)(2012广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()（2012陕西）将正方体（如图所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该 几何体的左（侧）视图为（）审题破题根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题.答案（I）C （2）B解析 （i）由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示.圆锥的底面半径为 3,高为4,圆柱的底面半径为 3，高为5,1 1二 V = V 圆锥 + V 圆柱=3Shi + Sh2= 3X nX 32X 4 + nX 32 X 5

7、= 57 n.33（2）还原正方体后，将 Di, D , A三点分别向正方体右侧面作垂线.DiA的射影为CiB，且为实线，BiC被遮挡应为虚线.反思归纳将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解题技巧是对常见简单几 何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几 何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握，会画出其直观 图，然后由三视图验证.变式训练1若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3.答案 18解析 由几何体的三视图可知，该几何体由两个直四棱柱构成，其直观图如图所示.上底面直四棱柱的长是 3 cm,宽是3

8、 cm,高是1 cm，故其体 积为9 cm3,下底面直四棱柱的高是 3 cm，长是1 cm，宽是3 cm，其体积 为9 cm3.故该几何体的体积为 V = 18 cm3.题型二空间几何体的表面积和体积- OiH丄平面BiEDF，即OiH为棱锥的高.如图所示，已知 E、F分别是棱长为a的正方体 ABCD AiBiCiDi的棱AiA、CCi的中点，求四棱锥 Ci BiEDF的体积.审题破题本题可从两个思路解题：思路一：先求出四棱锥Ci BiEDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积； 思路二：先将四棱锥 Ci BiEDF化为两个三棱锥 Bi CiEF与D CiEF，再求四棱锥 Ci Bi

9、EDF的体积.解 方法一 连接AiCi, BiDi交于点Oi，连接BiD，过Oi作OiH 丄 BiD 于 H.t EF / AiCi, EF?平面 BiEDF 且 AiCi?平面BiEDF , AiCi / 平面 BiEDF.- Ci到平面BiEDF的距离就是 AiCi到平面BiEDF的距离.平面BiDiD丄平面BiEDF ,1 11 11 61- VC1bedf=3S 四边形B1EDF oh= 3 EFB1DO1H= 3 - .2a- :, 3a ga=gal方法连接 EF, Bid.设B1到平面 C1EF的距离为h1, D到平面 C1EF的距离为h2,贝U h1 + h2 = B1D1=

10、；2a. 由题意得， VC 一 B1EDF = VB1 C1EF + VD CEF1 1 3=3 S C1EF（h1 + h2）= ga3.反思归纳（1）求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算简便.（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几 何体，再进一步求解.变式训练2 （1）（2013湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A . 1B. .2答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长,另一边长最小为1,最

11、大为2,面积范围应为1 ,； 2，不可能等于（2012江苏）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB =AD = 3 cm, AA1 = 2 cm，则四棱锥 A BB1D1D的体积为 cm3.答案 6解析 关键是求出四棱锥 A BB1D1D的高.连接AC交BD于O,在长方体中，AB = AD = 3, BD = 3 2且 AC丄 BD.又 BB1 丄底面 ABCD , BB1 丄 AC.又 DB A BB1= B, AC 丄平面 BB1D1D, AO为四棱锥A BB1D1D的高且AO= |bD = 竽. S 矩形 BBQ1D= BD X BB1 = 3 .2 X 2 = 6 .2,1

12、 VA BB1D1DS 矩形 BB1D1D AO=1X 6 ,2X 32= 6(cm3).题型三多面体与球的有关问题3(1)已知球的直径 SC= 4, A, B是该球球面上的两点，AB=3,/ ASC=Z BSC= 30则棱锥 sABC的体积为B . 23顶点都在一个球面上，则该球的表(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为面积为A .扫2B.7nj2C.f nj2审题破题(1)SC是直径，是本题突破点，由此可得/ SAC, / SBC为直角.(2)确定球的位置，寻找图中的直角三角形，通过直角三角形求球的直径.答案(1)C(2)B解析如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的

13、直径，所以/ SAC= / SBC= 90 ；又/ ASC= / BSC=30 又SC为公共边，所以 SACA SBC.由于AD丄SC,所以BD丄SC.由此得SC丄平面ABD.、 1所以 Vs ABC= Vs ABD + Vc ABD= 3SSBD SC.由于在 Rt SAC 中，/ ASC= 30 SC= 4,SA CA所以 AC= 2, SA= 2 3，由于 AD = s= 3.同理在Rt BSC中也有BD = SBCB= 3.SC又AB=3，所以 ABD为正三角形，1 11a.所以 Vs abc= Ssbd SC= 3 X X ( 3)2 sin 60 乂 4 = ,3,所以选 C.（2

14、）由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为如图，设0、01分别为下、上底面中心，且球心02为010的中点，又AD = 23a, AO = 33a, 002=号，设球的半径为 R, 则 R2= A02= 3a2 + *a2= $a2 二 S 球=4 nR2= 4 nX 12a2= 3 7a2.反思归纳（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系. 若球面上四点 P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且 PA = a, PB = b,PC = c,贝U 4R2= a2

15、 + b2+ c2,把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体（或其他图形）,从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法.变式训练3 （1）（2012课标全国）已知三棱锥S- ABC的所有顶点都在球 0的球面上， ABC.2DCF是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积为（）答案解析三棱锥代屮由于三棱锥 S- ABC与三棱锥 0-ABC底面都是 ABC, 0是SC的中点，因此S-ABC的高是三棱锥 0 ABC高的2倍，所以三棱锥 S- ABC的体积也是三棱锥0 ABC体积的2 倍.在三棱锥O ABC中，其棱长都是1,如图所示,S ABC=X AB2= ,44高

16、 0D =712- 2 = Vs-abc= 2VO-abc= 2 X 3X 4 X 3 = 6 .两球01和02在棱长为1的正方体 ABCD AiBiCiDi的内部，且互相外切，若球Oi与过点A的正方体的三个面相切,球。2与过点Ci的正方体的三个面相切,02的表面积之和的最小值为A . (6 3 3) nC . (6 + 3 3) n答案 AB . (8 4 3) nD . (8+ 4 3) n则球Oi和球( )解析设球Oi, O2的半径分别为ri, r2,由题意知 OiA + OiO2+ 02Ci= 3,3 3 -2-，而 OiA = 3ri, OiO2= ri +2, O2Ci=?；3r2

17、,.，3ri + ri + r2+ ,3r2=i3. ri + r2 =从而 Si + S2= 4 n2+ 4 n2= 4+ r2)ri+ r222-=(6 3 .3)Tt .(12分)如图所示，在三棱锥P ABC中, PAB是等边三角形，/ PAC =Z PBC = 90证明：AB丄PC;若PC = 4,且平面 PAC丄平面PBC，求三棱锥 PABC的体积. 规范解答(1)证明 由 FA= PB, / PAC = Z PBC = 90 且 PC PAC 与 PBC的公共边，则 PACA PBC,因此 AC= BC,取AB中点D，连接PD ,CD，则PD丄AB,CD丄AB , 因此AB丄平面P

18、DC，又PC?平面PDC，所以 AB丄PC.6分 解 作BE丄PC垂足为E,连接AE.由厶 PAC PBC 知 AE丄 PC,则 Z BEA = 90 8 分可证 PBE ABE,又平面PAC丄平面PBC,所以Z BPC = 45.所以 PBC为等腰直角三角形，贝U E为PC的中点.Vp ABC = VpABE+ Vc ABE =ABE PC = 312 分评分细则 第问中证明AB丄平面PDC时没有严格遵循定理，条件写不全的扣1分; 由AB丄面PDC直接得到AB丄PC不扣分；(3)求三棱锥体积时作底面 ABC上的高亦 可，参照此标准给分.阅卷老师提醒(1)证明线线垂直，要转化为线面垂直；求三棱

19、锥体积，可以适当转化，充分利用图中的线面垂直关系；求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同 样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解.1 .若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是答案 D解析 A，B 的正（主）视图不符合要求， C 的俯视图显然不符合要求，答案选 D.2 .（2013课标全国I）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 16+ 8 nB . 8 + 8 nC. 16 + 16 nD 8 + 16 n答案 AAB = 3, AC将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线1=32

20、 + 42+ 122= 2R,解析 将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体.1 2所以 V = 2X 2 X 4 + 2X 22X nX 4=16 + 8 n.故选A.3. （2013辽宁）已知直三棱柱 ABC A1B1C1的6个顶点都在球 O的球面上.若=4, AB丄AC, AA1= 12,则球O的半径为A还2D. 310c 13C2答案 C解析 / AB丄AC,且AA1丄底面ABC,4. 一个几何体的三视图如图所示 （单位：m）,则该几何体的体积为 m3.答案 6+ n解析 此几何体是由一个长为 3,宽为2,高为1的长方体与底面直径为 2,高为3的圆 锥组合而成的，故

21、nV = V 长方体 + V 圆锥=3 X 2 X 1 + 3X 12X 3= （6 + n）m3.5. （2012 东）如图，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1 , E, F分别为线段 AAi, BiC上的点，则三棱锥 Di EDF的体积为 .解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.1VDi EDF = VF DDiE=於 DDE AB 31 11=-X-X 1 X 1 X 1 =-3 266. （2013安徽）如图，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CCiS.则下列命题正确的是上的动点，过点 A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为（写出所有

22、正确命题的编号）.1 当0CQ-时，S为四边形；-3； 当CQ =-时，S为等腰梯形； 当CQ =孑时，S与CiDi的交点R满足CiR= 当3CQ1时，S为六边形； 当CQ = 1时，S的面积为于.答案1解析当ocq2时，如图.在平面 AA1D1D内，作 AE/ PQ ,显然E在棱DD1上，连接EQ ,则S是四边形APQE. 当CQ = 2时，如图.显然 PQ/ BCi/ ADi，连接 DiQ,则S是等腰梯形. 当cq=4时，如图.i作BF / PQ交CCi的延长线于点F，则CiF = 2.1作AE/ BF，交DDi的延长线于点 E, DiE = g AE/ PQ,连接EQ交CiDi于点R,由

23、于 Rt RCiQsRt RDiE,厂i二 CiQ : DiE= CiR : RDi = i : 2, / CiR=j3 当4CQi时，如图，连接RM（点M为AE与AiDi交点），显然S为五边形APQRM. 当CQ = i时，如图（4）.同可作AE / PQ交DDi的延长线于点E,交AiDi于点M，显然点M为AiDi的中点，所以S为菱形apqm，其面积为Imp X AQ=2人2 X 3=今.专题限时规范训练一、选择题1 .（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A .球B .三棱锥C.正方体D .圆柱答案 D 解析 球、正方体的三视图形状都相同，大

24、小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥 0 ABC,当OA、OB、0C两两垂直且 0A = OB = 0C时，其三视图的形状都相同， 大小均相等，故排除选项 B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.2 .某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）B. 6 .2C. 10D. 82答案 C解析 将三视图还原成几何体的直观图如图所示.a的距离为2,( )它的四个面的面积分别为8,6,10, 6 2，故最大的面积应为10.3. (2012课标全国)平面a截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面则此球的体积为A. , 6 nB . 4,3 nC .

25、 4；6 nD . 6*3 n答案 B解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图，设截面圆的圆心为 0 M为截面圆上任一点, 则 00 = .2, 0 M = 1, 0M 22+ 12= 3,即球的半径为.3,4- V = 3 n ,3）3= 4 ,3n.4. （2013湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 Vi、V2、V3、V4, 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何 体均为多面体，则有（）A. Vi v V2V V4 v V3B. Vi v V3V V2V V4C. V2V Viv V3V V4D. V2V V3 v Viv

26、V4答案 C解析由三视图知自上而下的几何体分别为圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为i 227Vi= ni2+ i X 2 + 22）= 3nV2= nX i2X 2 = 2 n,V3= 23= 8,i i28V4= 3（4 +4 X i6+ i6） X i=3 , V2ViV3V4.5. 将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体BDAiCi，这个正四面体的体积是正方体体积的（）ii代2b.32 1C. 3D.4答案 B1 1解析 设正方体的棱长为 1,依题意知截去的一个角为三棱锥，其体积为：Vi= - x -3 21X 1 X 1 x 1=丄61 1 因为共截去相同的四个角，所以正四面体B

27、DA1C1的体积V = 1 4X 6 = -.1VBDA1C131V正方体1 36. (2012湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能.是( )答案 D解析根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是D.7. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 .3,它的三视图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（）B. 2 ,3D. ,3答案 B解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为-43a2 a = 2.3，得a= 2.由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以 2为长，,3

28、为宽的矩形，其面积为2,3.故选B.8. 点A、B、C、D在同一个球的球面,2大值为2则这个球的表面积为3125 nA.B . 8 n6AB = BC = 2, AC= 2，若四面体 ABCD体积的最( )25 nC.TD.25 n16答案解析C AB = BC= 2, AC= 2, ABC 是直角三角形, ABC的外接圆的圆心是边AC的中点Oi，若使四面体 ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大,又OOi丄平面ABC,所以点D是直线OOi与球的交点.设球的半径为 R,则由体积公式525 n有：OiD = 2,在 Rt AOOi 中，R2= 1 + （2 R）2,解得 R= 4,

29、 S 球 o = 丁，故选 C.、填空题9.（20i3陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为答案n11n解析 由三视图还原几何体为半个圆锥，则其体积为V = 2x fxnX 12x 2 = n10. 在四面体 ABCD中，AB= CD= 6, AC = BD = 4, AD = BC= 5，则四面体 ABCD的外接球的表面积为答案7727t解析 构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长方体的三条边分别为x, y, z,则x2 + y2 + z2 =乎，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S= 4 tR2772 n的半圆面，则该圆锥的体积为 11. （2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为答案解析 先利用圆锥侧面积公式求出半径.n = 2 n,设圆锥底面半径为r，母线长为I，高为h，则1l = 2,r = 1,J2 = 2 n二 h= 3.二 V 圆锥=3%x 12x , 3 =呼冗.3 312. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为答案彳+ n解析 该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的体积为nX 12X 1= n三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边长为 2,所以面积为1，三棱锥的高为，3,所