高三数列知识点与题型总结(文科

1、名师推荐精心整理学习必备数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。一、累加法1适用于：an 1 =an f(n) 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。若 an 1 - an = f (n) (n - 2)a2 - ai = f a3a2= f III I

2、H则 an 1 an = f ( n)nan卅一aif (n)两边分别相加得k弓例1 已知数列an满足an 1二an 2n 1, Q =1，求数列an的通项公式。例2 已知数列an满足an 1 =an 2 I耳=3，求数列%的通项公式。练习1.已知数列1 且an十an2n(n N )写出数列的通项公式.答案：n2 _n 1练习2.已知数列an满足a1二3 ,an1f R(n2)求此数列的通项公式名师推荐精心整理学习必备例4已知数列an满足K厂25 1)5 an，= 3，求数列an的通项公式。n，答案：裂项求和an =2 -n评注：已知ai =a,an出= f(n)，其中f(n)可以是关于n的一

3、次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3已知数列an中,an 0且S2(an評,求数列an的通项公式练习3已知数列an 12n满足2anan2=1，求数列an的通项公式。两边分别相乘得,Sia-nil f(k)k =1二、累乘法1、适用于：an1=f(n)an累乘法是最基本的二个方法之二。也=f(n)若an，则aia2鱼二 f(1)= f(2)川川，苑二 f(n)an名

4、师推荐精心整理学习必备例5设*an 是首项为1的正项数列，且2 2(n +an41 - nan + an41an =0( n=23,），则它的通项公式是（c 一1）丸=d，所以c _1因此数列J c 1构成以a1丄C-1为首项，以C为公比的等比数列,十&所以c -1n 4)c即:/ 丄 d n -1an 二1) CC 一1规律：将递推关系an 1 =can - d 化为 an 1=c(an-)c -1c Tan +弋，构造成公比为 C的等比数列c 一 1从而a n +求得通项公式1 -cC -1an三、待定系数法 适用于anqanf （n）基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个

5、函数，其定义域是自然数集的一个函数。1 形如an 1心d,（c =0,其中aa）型（1）若c=1时，数列 an为等差数列；（2）若d=0时，数列an为等比数列；（3）若且d = 0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求待定系数法：设an 1 .二C（an . ）,得=冋+（C0九,与题设an+ =Cad,比较系数得ddd,(c = 0)anc(and)所以有：C 1C 1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an 1二Can d中把n换成n-1有an =canx d ,两式相减有an十一an =令一an斗）从而化为公比为c的等比数列an十一an,进而求得通项公式.

6、an十一 an = C （a2 -內）, 再利用类型即可求得通项公式我们看到此方法比较复杂例6、已知数列an中， =1，an =2耳1（n_2），求数列 H的通项公式。2.形如:亠 nan .1 = p anq（其中q是常数，且n = 0,1）_+ n若p=1时，即：an 1二 q，累加即可n若 P 时，即：an 1 二 p an q ,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以n 1P 目的是把所求数列构造成等差数列an 1n 1即: Pb，则1 P nn1占一（上）P q ，然后类型1,累加求通项ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1n 1qan 1十 nq qbn令

7、nq ，则可化为p1bn 1bnqq 然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列，转化为等比数列求通项设an 1q = P（an ”）.通过比较系数，求出 注意：应用待定系数法时，要求p=q,否则待定系数法会失效。例7、已知数列an满足an2an 4 3 ，耳=1，求数列曲的通项公式。练习3. （2009陕西卷文）a 印=12 =2,an+ 2=色一，n N已知数列n满足，2.令01 -务，证明：0是等比数列；（n）求”n的通项公式。1521 n 1*答案：（1）E是以1为首项，-2为公比的等比数列。（2）anmr）nN）。总结：四种基本数列1形如an 1 -an

8、二f （n）型等差数列的广义形式，见累加法。2形如3f(n)型an等比数列的广义形式，见累乘法。3形如 % 1an = f (n)型（1） 若an卅+an =d（d为常数），则数列 an为“等和数列”它是一个周期数列，周期为 2,其通项分奇数项 和偶数项来讨论；（2） 若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为 an 1 -务二f （n）型，通过累加来求出通项；或用逐差法（两式相减）得务十a2 = f（n） _f（ n_1）,，分奇偶项来分求通项4形如 an+，an = f (n)型（1）若an+ an =P（p为常数），则数列 an为“等积数列”它是一个周期数列，周期为 2,其通项分

9、奇数项和 偶数项来讨论；（2） 若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an 二f（门一1），两式相除后，分奇偶项来分求通项例8.数列an满足ai =,an 1 3 =2n,求数列an的通项公式.1 n _*例9.已知数列an满足a1 ,aan“(2)m N),求此数列的通项公式第二部分数列求和一、公式法1 如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q = 1或q工1.2 一些常见数列的前 n项和公式：nfn+ 1 (1) 1 + 2+ 3 + 4 + n=2；2(2) 1 + 3+ 5 + 7 + 2n 1 = n

10、 ；2(3) 2 + 4+ 6 + 8 + 2n= n + n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1. 倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的.2. 分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.3. 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的.4. 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时

11、中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.小题能否全取名师推荐精心整理学习必备1 . (2012沈阳六校联考)设数列( 1)n的前n项和为Sn,则对任意正整数 n, Sn=()An (- 1)- 1b( - 1)1+ 12 210项的和为()fer/l2. 等差数列an的通项公式为an = 2n+ 1,其前n项的和为Sn,则数列* 的前B. 70C. 75D. 1003.数列 ai+ 2,ak+ 2k,，aio+ 20共有十项,且其和为 240,则ai +ak+ a10的值为()A . 31C. 1304.若数列an的通项公式为an= 2n+ 2n- 1,则数列an的前n项和为B . 120D

12、. 185n项和为1 1 15. 数列 2X 4, 4 X 6 6X 8,例1等比数列an中，a1, a2, a3分别是下表第、三行中的某一个数，且a1, a2, a3中的任何两个数1*- 1分组转化法求和不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；若数列bn满足：bn= an+ (- 1)b an,求数列*的前2n项和S2n.1*- 1错位相减法求和例2已知数列an的前n项和Sn= kcn- k(其中c, k为常数)，且a2= 4, a6 = 8a3.(1)求 an；求数列nan的前n项和Tn.名师推荐精心整理学习必备2. 已知等比

13、数列an的前n项和为Sn,且满足Sn= 3n+ k.(1)求k的值及数列an的通项公式；若数列bn满足专=(4 + k)anbn，求数列 5的前n项和Tn.Tn = 4) 2_ 3 .裂项相消法求和例 3已知数列an的前 n 项和为 Sn, ai= 1, Sn= nan-n(n 1)(n N).(1)求数列an的通项公式；2设bn= ，求数列bn的前n项和Tn.anan +13. 在等比数列an中，a10 , n N*，且a3 a?= 8,又的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；设bn= log4an，数列bn的前n项和为Sn,是否存在正整数 k,使得F + + + 2k对任意n N*恒成立.若存在，求出正整数 k的最小值；不存在，请说明理由.名师推荐精心整理学习必备【课后练习题】1已知数列an的前n项和Sn= n2 6n,则冋|的前n项和Tn=()22A . 6n nB n 6n+ 18|6nn iwnw3:(6n n 1w n3D. n2 6nn32. 若数列an满足 ai= 2 且 an+ an- 1 = 2 + 2 1, Sn 为数列an的前 n 项和，贝U lOg2(S2 012+ 2) =,3. 已知递增的等比数列an满足：a2+ a3+ a4= 28,且a3+ 2是a?,的等差中项.(1) 求数列an的通项公式；1 、(2)