东北大学高等数学下2001-2011

1、东北大学高等数学(下)期末考试试卷2001.7.16.大题一二三四五六七八总分成绩一、填空题（20分）1曲线相应于点处的切线与轴夹角的正弦（ ）2设，则（ ）3设L是由及所围成的区域D的正向边界，则（ ）4周期为的周期函数，它在一个周期上的表达式为，设它的付立叶级数的和函数为，则（ ）5微分方程的通解是（ ）二、 求解下列各题（32分）1（8分）设，其中具有二阶连续偏导数，求。2（8分）计算，其中是由曲面及所围成的闭区域。3（8分）计算曲线积分，其中L为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。4（8分）求微分方程的通解。三（9分）计算曲面积分，其中是曲面上介于及之间部分的下侧。四（7分）判别级数

2、的敛散性。五（9分）求微分方程的通解。六（9分）将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。七（9分）经过点（2，3，1）的平面中，求这样的平面，使得该平面与三个坐标面围成的第一卦限中的立体体积最小。八. (7分)设连续，试证：高等数学试题答案 2001.07.16一、（1） （2）3； （3）0； （4）（5） 二、1 2 34三、四、 且用比值法知道收敛，再用比较法可知 原级数是收敛的 。五、解：对应齐次方程的特征方程根是2，3；齐次方程的通解是， 由于是特征根，故 ，代入原方程得到，所以 ；故原方程通解为六、 七、设所求平面为，把代入，则，体积在条件的最小值，设由 于是八、设 则 所以 原式左

3、边右边.东北大学高等数学(下)期末考试试卷2002.6.28.大题一二三四五六七八总分成绩一、填空（本大题20分，共5小题，每小题4分）1设函数由方程确定，则2设密度为（其中是连续函数）的物体由曲面，所围成，则该物体的质量在柱面坐标系下的累次积分是3L为正向一周，则4幂级数的收敛半径R=5微分方程称做 阶微分方程。二、求解下列各题（每小题8分，共32分）1，求全微分。2设是连接点A（0，2）及点B，0）的直线段，计算曲线积分。3求微分方程的通解。4将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。三、（9分）求微分方程的通解。四、（8分）计算曲面积分，其中为球面的外侧。五、（8分）判别级数的敛散性。六、（

4、8分）在球面上，求满足的那部分的面积（七、（9分）修建一座容积为V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。八（6分）在0，1上连续，证明高等数学参考答案2002.6.28一. 1. ; 2. ;3. 0; 4. 2; 5. 3.二. 1. ; 2. 3. , ; 4. .三. 四. 原式 五. 由比值判别法, 收敛 (8分)六. 由对称性, 只要求那部分S面积的二倍. 在S上, 又S在xoy面的投影 七. 设长、宽、高分别为x, y, z, 地面每单位面积造价为k. 则总造价Q=3kxy+kxy+2k(2

5、xz+2yz)=4k(xy+xz+yz) (3分)令F=xy+xz+yz+l(xyz-V)解得由于实际问题存在最小值, 可见当长、宽、高均为时, 仓库的造价最小. (9分)八. 东北大学高等数学(下)期末考试试卷2003.6.27大题一二三四五六七八九成绩小题123得分一、单项选择（本题12分，每小题4分）1由级数发散可以肯定级数发散, 只要当n充分大时有( ).（A）； （B）；（C）；（D）.2微分方程的一个特解应具有形式(其中a, b, c为待定常数)( ).（A）； （B）；（C）； （D）.3设有平面闭区域, ,则( ).（A）； （B）；（C）； （D）0.二、填空（本题12分，每

6、小题4分）1. 曲面上点处的切平面方程为 .2设区域D是由直线y=x和曲线y=x3所围成, f(x,y)是D上的连续函数, 试写出用两种不同次序的二次积分来计算的公式.公式1: ,公式2: .3 函数u=z4-3xz+x2+y2在点M(1,1,1)处沿着方向的方向导数为 .三、求解下列各题（本题24分，每小题8分）1. 设Z=f(xy2，-x2y)具有二阶连续偏导数, 求.2. 求微分方程的通解.3. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积四、（9分）在曲面2x2+y2-z2-2xy+1=0上求一点, 使其到原点的距离为最小.五、（9分）计算对坐标的曲面积分 其中S为

7、上半球体的表面外侧.六、（9分）计算三重积分其中是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所围成的闭区域.七、（9分）求幂级数的收敛区间.八、（9分）计算曲线积分,其中L是为圆周x2+y2=ax.九、（7分）判别级数的敛散性(其中a为实数).参 考 答 案一、1、C 2、B 3、A 二、1、；2、（1）；（2） 3、三、1、 2、 3、 四、五、六、七、八、九、东北大学高等数学(下)期末考试试卷2004.7.16.大题一二三四五六七八九十十一十二总分成绩一、填空（本大题20分，共5小题，每小题4分）1.设2曲线在点处的切线方程为3以为通解的微分方程是4交换二次积分的积分次序得5微分方程的通

8、解为二、选择（本大题20分，共5小题，每小题4分）1在该点连续的（ ）条件。（A）充分非必要；（B）必要非充分；（C）充分必要；（D）既非充分也非必要。2若级数条件收敛，则级数必定（ ）（A）收敛；（B）发散；（C）绝对收敛；（D）可能收敛也可能发散。3设曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。4幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛半径为（ ）。（A）； （B）； （C）1； （D）。5.函数的傅里叶系数为（ ）。（A）， ；（B）， ；（C）， ；（D）， 。三、（6分）已知，其中具有一阶连续偏导数，求。四、（6分）设，求。五、（6分）求函

9、数在附加条件下的极值。六、（6分）求。七、（6分）判别级数的敛散性，并说明理由。八、（6分）设L为圆周的正向，求。九、求微分方程满足初始条件的解。十、（6分）设L表示圆周，求曲面积分之值。十一、（6分）求，其中为曲面的上侧。十二、（6分）设级数绝对收敛，证明：级数也绝对收敛 试题答案 2004 07 16一、 （1） （2） （3） （4） （5） 二、A；B；C；A；C。三、 四 设 五、解： 令 由 则 （3a,3a,3a）是唯一可能驻点，又极值存在的充分条件知道必为的极小值点，故的极小值是。六 解 七 解 故级数发散。八 解 在曲线内部作有向椭圆 取顺时针方向，则原式。九 设 则 ，于是

10、有 由 于是 由 十 解 十一 解 补加平面，则取闭曲面的外测，有十二 证明 由 收敛，所以 收敛，于是 绝对收敛。东北大学高等数学(下)期末考试试卷2005.7.11总分一二三四五六七八九十十一十二一、填空（本题含6小题，每小题4分，共24分）1. 函数z=x2+y在点(1,2)处沿从点(1,2)到点方向的方向导数是 .2. 设, 则二重积分的值是 .3. 设L为圆x2+y2=1依逆时针方向一周, 则曲线积分的值是 .4设L为连接A(1,0)和B(0,1)的直线段, 则曲线积分的值是 .5. 幂级数的收敛半径 .6. 已知向量,则三角形DOAB的面积的值是 .二、单项选择（本题含3小题，每小

11、题4分，共12分）1设函数则 则f(x,y) 在O(0,0)处（ ）.（A）极限存在；（B）偏导数存在；（C）连续；（D）可微分.2下列各级数中, 条件收敛的级数是（ ）.（A）；（B）；（C）；（D）.3. 平面2x+y-z+3=0与直线的位置关系是（ ）.（A）互相垂直； （B）互相平行； （C）相交但不垂直； （D）直线在平面上.三、（8分）设，求全微分dz及.四、（8分）求表面积为的体积为最大的长方体的体积.五、（8分）设, 计算三重积分.六、（8分）设S为球面上的的部分,计算曲面积分.七、（8分）设S是曲面介于平面z=0与z=2之间的部分的下侧, 计算曲面积分.八、（8分）经过两平面

12、4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线作一平面使之于平面2x-y+5z-3=0垂直.九、（8分）将函数展开为(x+2)的幂级数并给出收敛域.十、（8分）设f(x)为恒正连续函数, 由曲线y= f(x)与直线x=a, x=b(a0代入x=1, 得C=3,故所求曲线为.八* 、 解 过交线的平面束方程为 (4x-y +3z+-1)+(x+5y - z+2)=0,即为 (4+)x+(5-1)y+(3-)z+(2-1)=0.另一平面的法向量为 n=(2, -1, 5),令 (4+,5-1, 3-).(2, -1,5)=0, 得 =3.回代得另一平面为 7x+14y +5=0.九、 解 函数

13、f(x)= = =收敛域满足,解之得 ,即收敛区间为 .十、解 设为旋转体所占的空间区域,则转动惯量 I= = = =.东北大学高等数学（下册）A卷 2006712学院 班级 学号 姓名 大题一二三四五六七八九总分成绩一、 选择题 (本大题6小题, 每小题4分, 共24分)1充要条件；必要条件；充分条件；既非充分也非必要条件2； ；3设W为平面与三个坐标面所围成的空间闭区域，则三重积分的值是 ； ；4；5下列级数中，发散的级数是 ； 6. 设有两点，则向量 与轴正方向的夹角 ； ；二填空题（本大题5小题, 每小题4分, 共20分）1. _ 2函数在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，-

14、1)的方向的方向导数为_3.设为球面，则曲面积分的值是_ 4设 则l=_5已知，,则三、（8分) 求过点M(3, 1, -2)且通过直线的平面方程四（8分) 设方程确定函数，求全微分及五（8分)计算,其中D是由直线围成的闭区域六（8分)设L是由曲线与直线所围成区域D边界正向一周，求 . 七（分）将函数，展开为的幂级数并求出收敛域八（8分）设，物体占有空间是由坐标面上曲线绕轴旋一周形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数 为常数，求该物体对于坐标原点的转动惯量九（分）设为抛物面，取上侧计算东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准 2006712二、 选择题 (本大题6小题, 每小题4分, 共24分

15、)1； 2； 3；4；5 ；6. 。二填空题（本大题5小题, 每小题4分, 共20分）1. ；2；3.；4 l=；5三、（8分） 求过点M(3, 1, -2)且通过直线的平面方程解：在直线取点P=(4, -3, 0)，则已知直线的方向向量为 .-2分设所求平面的法线向量与向量 . -6分 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0.-8分三*（8分） 求微分方程的通解解：把方程改写为, -2分则 -4分 -6分-8分四（8分） 设方程确定函数，求全微分与及解：于是，-4分 -8分五（8分)计算, 其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成

16、的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: 0x1, 0y x于是 -4分 .-8分 六（8分) 设L是由曲线与直线所围成区域D边界正向一周，求 解 , , -2分由Green公式有 =-4分 =-6分 =-8分七（分）将函数，展开为的幂级数并给出收敛域解：-2分-6分收敛域满足解出得-8分八（8分)设，物体占有空间是由坐标面上曲线绕轴旋一周所形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数，求该物体对于坐标原点的转动惯量解：所求转动惯量为，-2分利用球坐标替换，有-6分 -8分九（分）设曲面为抛物面，取上侧计算解：补充平面取下侧，则与围成空间区域于是 -2分 -4分-6分 -8分东北大

17、学高等数学(下)期末考试试卷2007.7.一选择题(4分6=24分)1、设为非零向量，则 = (A) (B) (C) (D) .2 3设， 在上连续 = (A) (B) (C) (D) 4若级数与都发散，则必有 (A) 发散 (B) 发散 (C) 收敛 (D) 收敛 二、填空题(4分6=24分)1直线与平面的交点是_2用钢板做体积为的有盖长方体水箱最少用料S=_3二次积分的值是_4设为球面，则=_5小山高度为在处登山，最陡方向是_6设为周期为的周期函数，它在的表达式为，若的傅立叶级数的和函数为，则=_三、（10分）求过点垂直于直线而与平面的平行的直线方程四（10分）将函数展开成(x-1)的幂级

18、数并给出收敛域。五（10分）计算三重积分, 其中W是由抛物面x2+y2=2z及平面z=5所围成的空间闭区域. 六（10分）设L是由直线上从到一段及圆弧上从再到的有向曲线，计算七（10分）计算曲面积分，其中为球面八（10分）设，具有二阶连续偏导数，而由方程确定，求。高等数学参考答案 2007.7一选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1、【解】应选择D。 =2【解】应选择A。连续 处可微分3。【解】应选择C。在极坐标下=4。【解】应选择B。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1【解】应填直线化为参数式 代入平面方程 得 代入参数方程得 故交点为 2【解】应填24设水箱的长

19、为xm, 宽为ym, 则其高应为m. 此水箱所用材料的面积为. 令, , 得x=2, y=2. 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时, 水箱所用的材料最省. 最少用料为 3【解】应填.=4【解】应填.=5【解】应填.在处登山，最陡方向是在的梯度方向=6【解】应填.由于是间断点，故，而是连续点， 于是=.三【解】 已知直线方向向量，已知平面法向量（4分）设所求直线方向向量，则 . .（8分）所求直线方程为 （10分） 四 【解】 因为 （2分） （4分） （6分） （8分）收敛域满足（9分）解出收敛域为：（10分）五. 【解】积分区域W关于面对称，在柱面坐标下积分区域W可表示为 , , , （

20、2分） （4分）（6分） （8分） （10分）六【解】补充为x轴上由到有向直线段,则 L和围成闭区域D, （2分）。（4分）则由Green公式 原式（6分） .（8分） .（10分）七【解】由Gauss公式 原式.（2分） （4分） （6分）（8分） （10分）八【解】由方程两边关于求导得 （2分） 类似地，有（4分）（7分）（10分）高数试题 2008.7一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线，则l1 与l2 的夹角为 .（A）；（B）；（C）；（D）.2.函数 z = xe2x在点P(1, 0)出沿从P(1, 0)到Q(2, -1)方向的方向导数为 .3.函数在(0,

21、0)点 .(A) 偏导数连续；(B) 偏导数不存在； (C)偏导数存在但不可微； (D)可微但偏导数不连续。4.积分 .。5.设W是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分 .二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y 3z = 2都平行的直线方程是2.设则3.展开成x - 2的幂级数为4.设z = ln(1 + x2 + y2), 则5. f (x)在(0, p)上展开成的余弦级数为三、（9分）求幂级数在收敛域上的和函数.四、（9分）求函数f (x, y) = xy在闭区域x2 + y2 1上的最大值和最小值。.

22、五、（9分）某物体的边界由曲面z = x2 + y2和平面z = 0, |x| = a，|y| = a围成, 其密度函数为r = x2 + y2, 求该物体的质量.六、（9分）设直线在平面p 上，而平面p 与曲面z = x2 + y2相切于(1, -2, 5)，求a, b的值。.七、（9分）计算曲面积分其中S为由圆锥面x2 + y2 = z2与上半球面x2 + y2 + z2 = R2 (R 0)围成曲面的外侧.八、（8分）设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分与路径无关，且对任意t，有，求Q(x, y).九、（6分）设f (x)是(-, +)内的可微函数，且满足

23、：(1) f (x) 0 x (-, +),(2)存在0 l 1, 使得| f (x)| 0, b 0, c 0)则四面体的体积为 , .2分满足的条件为 ,设 , .4分 , , 得 .6分 ,解的 a = 6, b = 3, c = 1所求的平面方程为 .8分七、证：由于在x = 1处收敛, 即级数收敛.1分 因此, 则存在M 0, 使得 |an| M. (n = 0, 1, 2, ) .2分当时 , .5分级数收敛，则级数绝对收敛. .6分2008-2009学年第2学期课程名称：高等数学一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数在点的某邻域内有定义，且，则 (A)；

24、 (B) 曲面在点的一个法向量为； (C)曲线在点的一个切向量为； (D) 曲线在点的一个切向量为2. 设，则下列级数中必收敛的是 (A)； (B) ； (C) ； (D) .3. 如果，则幂级数 (A) 当时收敛； (B) 当时收敛； (C) 当时发散； (D) 当时发散.4. 设是由球面所围成的闭区域，则= .(A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面在点处的法线方程为 .2. 函数在点处的全微分为 .3. 已知曲线为连接和两点的直线段，则曲线积分= .4. 由曲面与曲面所围立体的体积为 .5. 设为平面在第一卦限中的部分，则

25、曲面积分= .6. 设是周期为4的周期函数，它在上的表达式为，的Fourier级数的和函数为，则 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1. 求过点和且与平面垂直的平面方程.2. 设z = f (exsiny, x2 + y2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求. 3. 设具有连续偏导数，且对任意实数有(为自然数)，试证:曲面上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处).计算二重积分，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域.5. 将函数展开成关于的幂级数，并求展开式成立的区间.四、 (8分) 设曲线积分与路径无关，且，求，并求当A，B分别为（0，0），（1，1）时的曲线积

26、分值.五、(8分) 计算积分，其中是抛物面被平面截下的有限部分的下侧.六、(8分) (10分) 平面通过球面x2 + y2 +z2 = 4(x - 2y - 2z)的中心, 且垂直于直线L: , 求平面与球面的交线在xOy平面上的投影, 并求投影与(1, -4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数的敛散性.20092010学年第二学期 试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 函数在闭区域上的最小值为 .(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.2. 设函数连续，则二次积分= . (A) ； (B) ；(C) ； (D) .3. 设W为平面与三个

27、坐标面所围成的闭区域，则= . (A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24.4. 设，则级数 . (A) 与都收敛； (B) 与都发散； (C) 收敛而发散； (D) 发散而收敛.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知，与的夹角为，则= .2. 设是由曲面与围成的立体，则的形心坐标 .3.设曲线为连接与两点的直线段，则曲线积分= .4. 设为锥面被平面结下的有限部分，则曲面积分= .5.幂级数的收敛区间为则应满足 .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）1. 求过点且与两个平面和的交线垂直的平面方程.2. 求函数在点处沿椭

28、球面在该点的外法线方向的方向导数.3.计算, 其中是由曲线，和所围成的平面区域.4.求幂级数在其收敛域上的和函数.并求的值.5.设,是周期为的函数，将展成Fourier级数. 并求级数的和. 四、(8分) 一质点在力的作用下，由点沿上半圆移动到点，求力所作的功.五、(8分) 计算曲面积分，其中是由抛物面和球面所围成立体的表面外侧.六、(8分) 设函数有二阶连续偏导数，满足，且存在一元函数，使，求.七、(5分) 设是在的某邻域内定义的向量函数，定义为的模. 如果，其中是与无关而仅与有关的常数，是的高阶无穷小. 则称在点可微，记为.设，求.解答一、1.【解】应选择A;，.，.2.【解】应选择A；

29、= = 3. 【解】应选择B； =4. 【解】应选择 D 又二、1【解】应填；因为所以 2【解】应填. 形心在，=3. 【解】应填；曲线的参数方程为，。4. 【解】应填 S:, Dxy: x2+y21, . =. 5. 【解】应填1.； 2. (0, 0, 3/8)； 3. ； 4. ； 5. .三、1. 【解】 取平面的法向量所求平面方程为. 2. 【解】 的外法向量 ，外法向量的方向余弦， 在处， 3【解】 =18. 4. 【解】 级数的收敛域为. 设，显然.，所以 .令得， = .5. 【解】 ， ， ， .时 的fourier级数收敛到时，故 .四、【解】 记曲线上由到点的一段有向弧为

30、，则，积分与路径无关.五、【解】 记所围成的闭区域为，由Gauss公式有，.六、(8分) 解 记，由已知，有解得 ，.七、【解】 由已知，得因此，在点均可微，则，.当，时，.20102011学年第二学期试题一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则函数在原点偏导数存在的情况是 .（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在， 不存在 （D），都不存在2设平面P 的法向量为，直线L的方向向量为，则是平面P 与直线L垂直的 . (A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 S 是球面x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是 . (A

31、) ； (B) ； (C) ； (D) .4设常数，则级数 。（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）收敛性与取值有关。5设曲线（具有一阶连续偏导数），为C上从点(-1, 1)到点(1, -1)的一段弧，则下列小于零的是 （A） （B）（C） （D）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则在上的投影为 .2交换积分次序为 .3设正向闭曲线L的方程为，则= .4设, 是的以为周期的余弦级数展开式的和函数, 则 .5设函数由方程所确定，其中有连续导数，则 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1设，其中具有二阶连续偏导数，求。2求曲面的与直线垂直的切平面的方程。3计算二重积分,其中D是由直线,，所围成的平面区域.4求，S是抛物面被平面z = 1截下的有限部分下侧。5求幂级数在收敛域内的和函数。四、 (8分) 设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。五、(8分) 求抛物面 与平面 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离六、(8分)设是非