专题四第3讲空间角文科独具

1、战考场it、选择题1. （2011奉化模拟）已知正四棱锥 S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，贝U AE、SD所成角的余弦值为（）bF解析：连接AC、BD交于0,贝U EO於D,E0为异面直线SD与AE所成角.设 AB = a,则 eo=a，AE = ja,coszAEO答案：CSD2. （2011辽宁高考）如图，四棱锥 S- ABCD的底面为正方形, 丄底面ABCD，则下列结论中不.正确的是（）A. AC 丄 SBB. AB/平面 SCDC . SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角D . AB与SC所成的角等于 DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD

2、垂直于平面 ABCD，而AC在平面 ABCD中，所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形，所以 AC垂直于BD ;而BD与SD相交，所以，AC垂直 于平面SBD,进而垂直于 SB.选项B正确，因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是ZASO, SC与平面SBD所成的角就是Z CSO,易知这两个角相等.选项D错误，AB与SC所成的角等于/ SCD，而DC与SA所成的角是/ SAB,这两个角不相等.答案：D3. （2011东北三校联考棱与底面所成角的余弦值为）已知三棱锥底面

3、是边长为 1的正三角形，侧棱长均为2,则侧（ ）a.2c.3解析：画出三棱锥S- ABC（如图），作SO丄底面ABC ,连接A0、SO,易知侧棱与底面所成的角即为/ SAO,由题意易得三棱锥S-ABC为正三棱锥，所以 A0 =寻，因为SA= 2,所以cosJSAO =答案：D4. （2011宁波模拟）已知正四面体 A- BCD，设异面直线 AB与CD所成的角为 a,侧棱AB与底面BCD所成的角为3,侧面ABC与底面BCD所成的角为 y则（）A . a 3 丫D . y 3 aC . a 丫解析：如图，取底面 BCD的中心为点ABO = 3取BC的中点E，连接 AE、OE ,nv Y 2,延长

4、BO 交 CD 于 F，贝y BF JCD,CD 丄平面 ABF ,.CD 1AB，即 a= ?,a 丫3答案：B、填空题5. （2011全国卷）已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为CQi的中点，则异面直线 AE与BC所成角的余弦值为 .解析：取A.B1的中点F，连接EF , FA,则有EF / B1C1 /BC, ZAEF即是直线AE与BC所成的角或其补角. 设正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为2a,则有EF = 2a,AF = (2a J + a2=,AE = 2a 2+ 2a 2+ a2= 3a.2 2 2AE2+ EF2 AF2 在厶 AEF 中，cos/ AEF =2

5、AE EF2 ,2.29a + 4a 5a 2=2X 3ax 2a = 3.因此，异面直线 AE与BC所成的角的余弦值是|.答案：26.已知点 O在二面角 a AB B的棱上，点 P在a内，且/ POB = 45 若对于B内异于O的任意一点 Q,都有/ POQ 45,则二面角 a AB B的大小是.解析：由已知/POB是PO和平面B所成角中的最小角.n由最小角定理，/ POB是PO和面B所成的角.即MO是PO在B内的射影，故 a3.即二面角a AB B大小为90答案：907. （2011全国卷）已知点E、F分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且 B1E = 2EB,

6、CF = 2FC1，则面 AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .解析：设面AEF与面ABC所成的二面角为 0,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3,则厶AEF在面 ABC上的射影是 ABC.在厶AEF 中，AE =32+ 12= ,10,AF =3 2 2 + 22 = 22,EF =2 1 2+ 32= 10, AEF的面积等于1x仰乂寸丽2_(訓2=呼1129因此有cos0=而ABC的面积等于2x 32= 9,/厂 sin0 yJ2sin 0=-1 cos 011, tan 0=COS厂 3，ABC 3SAAEF11,即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是_23.5答案：子

7、三、解答题8.如图，在四棱锥 S- ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别为AB、SC的中点.(1) 证明：EF /平面SAD ;(2) 设SD = 2CD，求二面角 A EF D的余弦值.解：(1)证明：作FG /DC交SD于点G,则G为SD的中点.1连接AG, FG綊2CD,又CD綊AB, E为AB的中点，故GF綊AE，四边形 AEFG为平行四边形.所以EF AG.又AG?平面SAD, EF ?平面SAD.所以EF /平面SAD.(2)不妨设 DC = 2,贝U SD= 4, DG = 2, AADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连接DH ,贝U DH

8、1AG , DH JEF ,DH = 2.取EF中点M，连接 MH，贝U HM 綊AE ,.HM JEF .连接 DM，贝U DM JEF .故/DMH为二面角 A EF D的平面角.tanZDMH = DH = = 2, cos/DMH =令,面角A EF D的余弦值为 孑9. (2011合肥模拟)如图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为棱 CiDi上的动点，F为棱BC的中点.(1) 求证：AE 丄 DAi；(2) 求直线DF与平面AiBiCD所成角的正弦值；若E为CiDi的中点，在线段 AAi上求一点 G,使得直线 AE丄平面DFG .解：证明：连接 ADi,依题意可知 ADilA

9、iD ,又 CiDil平面 ADD iAi,CiDi JAiD,又 CiDi ADi = Di, AiD 丄平面 ABCiDi.又 AE?平面 ABCiDi,AE !AiD.(2)设正方体的棱长为 2,取CCi的中点M，连接FM交CBi于0点，连接DO ,则FO=22，连接 BCi,易证BCi丄平面AiBiCD.又FM /BCi,FM 丄平面AiBiCD.则ZFDO为直线DF与平面 AiBiCD所成的角,_2sin/FDO =FO = = V10 DF= 5= 10.所求G点即为Ai点，证明如下：由(1)可知 AE JDAi,取CD中点H,连接 AH , EH，由DF 1AH ,DF _LEH

10、 , AH n EH = H ,可证得DF丄平面AHE ,DF _1AE ,又 DF A AiD = D ,AE丄平面DFAi,即AE丄平面DFG.10. (2011济南模拟)已知矩形 ABCD与正三角形 AED所 在的平面互相垂直， M、N分别为棱BE、AD的中点，AB = 1, AD = 2,(1)证明：直线AM /平面NEC;(2)求二面角N CE D的余弦值.解：(1)证明：取EC的中点F，连接FM , FN ,1 1贝U FM /BC, FM = ?BC, AN /BC, AN = ?BC , 所以 FM /AN 且 FM = AN,所以四边形AMFN为平行四边形,所以AM /NF ,因为 AM ?平面NEC , NF ?平面 NEC ,所以直线 AM /平面NEC.(2)由题设知平面 ABCD丄平面ADE , CD 1AD , CD丄平面ADE.又-.-CD?