浅谈轴对称 、平移 和旋转三种变换在教学中的作用（九江市十一中王学源）

1、24在同一平面直角坐标系中有6个点：，（1）画出的外接圆 P，并指出点与P 的位置关系；（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点时，设此时的直线为判断直线与P 的位置关系，并说明理由；再将直线绕点按顺时针方向旋转，当它经过点时，设此时的直线为求直线与P 的劣弧围成的图形的面积（结果保留）浅谈轴对称 、平移 和旋转三种变换在教学中的作用新课程改革，教材的内容和学习要求发生了很大的变化 ，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求， 数学新课程强调了图形与变换的内容, 突出了变换在图形认识过程中的作用,事实上几何变换思想促进了几何学的发展, 强化变换有助于改进几何教学, 同时变换思想利于学生创新意

2、识的形成,而新课标下的初中数学教材也突出变换地位, 强化变换的工具作用 , 较好地落实了数学新课程的要求。 那么图形变换指的是什么? 它是指包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么在图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中， 解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点。 从恰当的着眼点出发,再根据具体图形变换的特点确定其变化,这很重要.而近年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.此类问题较好的考察了学生的思维灵活性及深刻性,具有很好的选拔与区分功能,成为近年来各地中考试题的热点问题.下面就此类问题复习及解决方法与大家交流,以供大家复习过程中参考. 一、对教材中的内

3、容可用几何变换来处理 图形与变换的内容主要包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似,轴对称变换、平移变换和旋转变换是保持两点间距离不变的变换, 都是合同变换和保距变换, 这种变换不改变图形的大小和形状； 而是强调变换作为图形认识的工具这种思想 ，就是说利用变换的特征来探索或研究一些图形的性质如 把轴对称和等腰三角形结合起来探索出其特征；再如利用平移和旋转的特征来得到平行四边形的特征 , 认识到平行四边形是中心对称图形, 然后利用中心对称图形的特征, 得到平行四边形的对边相等、对角线相互平分等特征这种结合图形来研究某种几何变换的方式强化了变换的作用, 这样不仅能熟悉各种变换的特征,而

4、且可以更好地发挥学生的主动性和创造性, 改变学几何就是做证明题的状况,在这样的活动中, 学生真切地感受图形变换的乐趣和价值, 激发出学好变换、用好变换的积极性和创造性, 同时, 也增强了学好几何的自信心二、教学中值得深人探讨的问题 利用变换来处理几何内容的方法, 打破了传统初中数学教材几何部分用公理化思想一统天下的局面, 使几何教学改革有所突破但在目前的教学实践中所产生的问题, 必须引起我们高度的重视, 并要在实践中加以解决与传统教材的衔接问题. 用变换的思想来处理几何内容, 可以说是在传统教材的基础上迈出了一大步但受习惯思维的影响, 从目前的实际情况看, 不少人并不接受这种改变,有的人认为它

5、忽视了数学的逻辑体系, 削弱了基础知识和基本技能等等 .要使学生真正能把变换作为一种有力的工具, 还应考虑配置一定数量的能让学生自己探索并寻找结论的题目, 使变换的思想内化为一种重要的思考问题的方法教师的培训问题教师是课程改革成功的关键一个新的思三、 几何变换在分析问题中的特殊作用 下面列举几个特殊作用.1.把一个任意的平面图形通过平移、或旋转、或翻折变换,得到的新图形一定是与原图形全等的图形.而解图形问题时, 常要寻找两个静态的平面图形间的相同关系, 如果能通过动态过程确定两个静态的平面图形是怎样产生的,那么常常可以提供重要的解题信息和方法. 这说明三种几何变换不仅是构造两个图形全等的重要工

6、具,而且它们是不可忽视的证明两个图形全等的重要的解题思考方法. 利用运动变化观念去认识事物符合辩证法.2.为证明平面几何习题提供重要的动态分析方法,解题的本质是把题目的条件信息和结论信息建立起科学的联系 . 解题的表述就是阐述其科学联系的建立过程的具体理由. 在这种意义上说, 解(证) 图形问题就需要不断地变换前后步骤的“形式”或“思想”. 解数学题的灵魂就是“合理变化”. 合理的变化中常会拓展出解题所需要的一片新天地, 缺失合理变化时常会在呆滞中一筹莫展. 既然解(证)图形问题需要不断地合理变化,那么解(证) 图形问题 的分析就必须适时运用运动变化的观点和方法.因为绝大多数“静态”的数学题都

7、是在某种动态环境下,静止于某种特殊情况时的特殊状态,它就像“运动物体”在某一时刻的所拍下的“照片”,所以要把数学题赋予为“灵性之物”, 要研究它由谁以怎样的运动方式产生, 静止于何时之状. 对于图形来说,就需要观察分析图形的平移、旋转和翻折运动,明确数学题中的图形是通过怎样的运动形成.让相关的图形“动起来”之后,就能突显它们之间特殊的位置关系和大小关系, 就容易从中分析捕捉到重要的解题信息和发现解题方法. 下面通过几个例子来谈谈它的独特作用:例1: （2007江西第25题） 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是，

8、， ；图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示）， 求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；图4归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标分析:用动态分析方法研究此题 构成机理,发现题中的解题信息:从相关图形平移考虑,这种利用某图形平移建构动态分

9、析, 既能说明题的存在性和这种构造理由,又能探究出题的一种解决方法, 从中可以发现与结论相关的线段AB 平移后得到线段DC 是解决本题之关键. ABCDFE例2:（2008江西第20题）如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处；（1）求证：；（2）设，试猜想之 间的一种关系，并给予证明分析:同样从相关图形的轴对称角度考虑,这种利用某图形翻折建构动态分析, 既能 说明此题的存在性和构造理由, 又能探究出此题的新的证明方法. 此外, 还可以从中收获其他解题信息,例如:由于四边形ABFE与四边形ABFE图形关于直线EF对称, 对称点的连线被对称轴垂直平分. 所以FE 垂直平分 B B,

10、所以BE = BE (线段垂直平分线上的点,到线段两个端点等远) . 等等.例3(2009江西第25)如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.图3ADEBFCPNMADEBFCPNMADEBFC图1图2（第25题）ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）分析:在此题的(2)中,从PMN 的平移角度考虑用动态分析方法研究此题 ,很容易发现问题的结论与方法 例4(2009江西第24)如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；xyDCAOB（第24题）EFP用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式.分析:在此题的(2)中,从PMN 的平移角度考虑用动态分析方法研究此题 ,很容易发现问题的结论与方法 综上所述:探究用几何变换解题的教学方