复变函数论第三版钟玉泉PPT第二章【严选课资】

1、1,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程,第二节 初等解析函数,第三节 初等多值解析函数,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数,第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程,在定义中应注意,3,例1,解,即,例2,解,4,例3,解,5,例4,解,6,2.可导与连续,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导,7,3.求导法则,8,4.微分,特别地,9,二、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,2. 奇点的定义,若函数 在点 不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为函数 的奇点,10,根据定义可知

2、,1、函数在区域内解析与在区域内可导是等价的,2、函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. （即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,注意,P56,1,2，反之不对,11,例1,解,例2,解,课后思考题,答案,处处不可导,处处不解析,12,13,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则，可知,1) 所有多项式在复平面内是处处解析的,14,如果 是可微的， 的实部 与虚部 应当不是相互独立的，而是必须适合一定的条件,若 在一点 可微，设,设,1,则（1）变为,2,三、柯西-黎曼方程（C.-R.方程,15,2,情况一,即变点 沿平行于实轴的方向

3、趋于点 则（2）变为,知 存在，有,情况二,即变点 沿平行于虚轴的方向趋于点 则（2）变为,知 存在，有,3,4,16,由（3），（4）得,称为：柯西-黎曼方程（C.-R.方程,2） 在点 满足C.-R.方程,定理2.1 （可微的必要条件）设函数 在区域 内有定义，且在 内一点 可微，则必有,1）偏导数 在点 存在,17,2） 在点 满足C.-R.方程,定理2.2 （可微的充要条件）设函数 在区域 内有定义，则 在 内一点 可微的充要条件是,1）二元函数 在点 可微,满足上述条件， 在点 的导数可以表示为下列形式之一,推论2.3 （可微的充分条件）设函数 在区域 内有定义，且在 内一点 可微的

4、充分条件是,1） 在点 处连续,2） 在点 满足C.-R.方程,18,19,例1,解,注：由定理2.5知，函数 在复平面内解析,20,解析函数的判定方法,注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的,注2 解析函数的导数形式更简洁,21,四、典型例题,解,不满足C.-R.方程,例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析,四个偏导数均连续, 但是,22,例2,解,P56 例2.7 ，例2.8 ，例2.9,23,例3,证: 因为,类似可进一步证明:P91,24,思考题：P58,1）复变函数的可微性与解析性有什么异同？ （2）判断函数的解析性有哪些办

5、法,25,一、指数函数,1.指数函数的定义,第二节 初等解析函数,指数函数的定义等价于关系式,26,注意,1、满足加法定理,2、具有周期性,3、极限 不存在，即 无意义,4、不满足罗尔定理，但满足洛必达法则,27,例1,解,例2,解,28,二、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把它们定义推广到自变数取复值的情况,1,2,29,4）有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,注意：这是与实函数完全不同的,事实上,P62 例2.12,5） 的零点 ， 的零点,6,30,其它三角函数,31,2. 双曲函数的定义,它们的导数分别为,它们都是以 为周期的周期函数,显然这些函

6、数都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广,32,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同,答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数,33,定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),

7、则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数,第三节 初等多值函数,34,一、根式函数,定义：根式函数 是幂函数 的反函数（n是大于1的整数,1、幂函数 的性质,1) 在w平面上单值解析，且,2) 在w平面上单值多叶,3) 的变换性质,扩充 平面 扩充 平面,射线 射线,圆周 圆周,角形 角形,令 ， ，则,35,特别地，变换 把 平面上的角形 平面除去原点及负实轴的区域,36,2、幂函数 的单叶性区域,1） 的单叶性区域的一种分法

8、,即 都是 的单叶性区域,2）判断区域是单叶性区域的办法,定理： 是 的单叶性区域,37,3、根式函数 的单值解析分支,当 时，根式函数,1）根式函数多值原因： 自变量 确定后，其幅角 并不惟一确定，可以相差 的整数倍，即可以随意绕原点转整圈，从而使根式函数 是多值函数,38,2）分出 的单值解析分支 P67-68,因此，在区域 内，对每一个 ，得到 的 个不同的单值连续分支函数,又 在 内解析，且,故 也是 的 个不同的单值解析分支函数,39,定义1 设 为多值函数， 为一定点，作小圆周,若变点 沿 转一周，回到出发点时,函数值发生了变化，则称 为 的支点，如,就是其一个支点，这时绕 转一周

9、也可看作绕点,转一周，故点 也是其一个支点,4、 的支点及支割线,注：一般地，多值函数的支点是这样的点，使当变点 绕这点一周时，多值函数从其一支变到另一支,40,定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线,如 可以以负实轴为支割线.,注 a) 支割线可以有两岸,单值分支在两岸取不同的值,c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变,e)每一单值分支在支割线上是不连续的,d) 对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支,b)支割线的不同做法，分支也就不同; 但 仍互不相交而填满整个 平面,f)包含或包围原点 的区域 内，不可能把 分成

10、个独立的单值解析分支,41,例2.15 设 确定在从原点 起沿负实轴割破了的 平面上，并且 .试求 的值,解 设 ，则,1）由已知条件定,时,要,必,或者：直接由 的幅角 ，合于 看出 ，因而,2)求,因 故,注：定支求值法,42,二、对数函数,1、 是一个无穷多值函数,43,2、 的一般值,的主值（主值支,注,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,Lnz一般不能写成lnz,44,例1,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的推广,例2,例3,45,例4,解,3. 对数函数的性质,46,4、指数函数 的变换性质,令,特别，变换 把 平面上的带形 变成 平面上

11、除去原点及负实轴的区域,47,5、指数函数 的单叶性区域,1）变换 把宽为 的带形,都变成 平面上除去原点及负实轴的区域. P77 图2.10,2）判断区域是单叶性区域的办法,的点 不属于,对于区域 内任一点 ，满足条件,为非零整数,48,6、对数函数 的单值解析分支,就是一个单值连续分支函数，记为,1）在 平面上割破负实轴的区域 内,每取定一个 值,2） 在区域 内解析，有,故 有无穷多个单值解析分支,7、对数函数 的支点和支割线,支点：0和,特别地， 的支点： 和,支割线：连接 和 的简单曲线.（如负实轴,49,例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且,解,求值,是下岸相应点的函数值）求

12、的值,注：定支求值法,50,三、一般幂函数与一般指数函数,1、定义： （ 为复常数）称为 的一般幂函数,注,1）是实数域中 （ 为实数）在复数域中的推广,2） 取整数 或分数 时，则分别为,3,其中， 是多值函数，所以 也是多值函数;而 是 所有的值中的一个,51,讨论 的三种情形,1） 为一整数 时，有 ， 为单值,2） 为 （有理数），有 ,只能取 个不同的值，即当 时的对应值,3） 是一无理数或虚数，则 所有值各不相同， 就有无限多解,注： 是多值函数，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，有,52,2、定义： （ 为一复常数）称为 的一般指数函数,注：它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数,53,例1,求 的主值,解,的主值为,解,的主值为,54,例3,解,幅角的主值为,55,四、具有有限个支点的情形,1) 的可能支点为 和,2) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点,3) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点,4) 若 能整除 中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变,56,例 考查下列函数有哪些支点,解,1）支点为,2