第章曲线积分和曲面积分

1、第十八章 曲线积分和曲面积分1 第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。给定光滑曲线段，定义在上且连续，给定的一个分割：T：这里“”表示曲线上从A到B的顺序。记（弧长），（分割细度）。定义1、设存在实数I，使对任意的，存在，使对任意分割，当时，对任意的，都成立：，称I为在上的第一类曲线积分，记为。 其中称为被积函数，l称为积分路径。 注、显然，定义表明。注、有时用l表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为。不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一类曲线积分是对弧长的

2、积分。注、其几何意义为：时，（的弧长）。注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。先给出参数方程下的计算公式。设给定曲线段：是的，即。首先由定积分理论中弧长公式可知，对应于某一参数段如的弧长可由如下定积分计算 事实上，利用定积分思想，弧长公式的推导过程大致如下 利用这一弧长公式可以得到第一类曲线积分的计算公式。定理1、设在上连续，则存在且。证明：对做任意分割T：对应于形成一个分割记，则由定义， =其中，使得。利用弧长公式和中值定理，则，。故，= 其中： 。由三角不等式，由于，因而一致连续，故，对当时，又，因

3、而有界M，故：。因而，由定积分定义，=故，。对一般的曲线方程，都可以转化为参数方程形式，因此，定理1解决了第一类曲线积分的计算问题。下面给出几个特例。注：特例：1、 对平面曲线：，则 ；2、 对平面曲线：，则 从计算公式知，第一类曲线积分的计算，关键是给出曲线的参数方程。例1：，：解：采用极坐标形式，则，故，。例2：其中l由折线段OA、AB、BO组成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用积分可加性，则其中各段方程如下：，；（可视为以为参数），（以为参数）BO：，（以为参数）故,。注意各种技巧的运用，如对等性对称性等。例3：，。解：由于曲线关于对等，则，。因而，。例4：，（闭曲线上

4、的积分）解、由于关于轴对称，且是的奇函数，故，。事实上，分为：，故：0。2 第一类曲面积分一、 定义背景：在计算曲面上质量分布时，我们曾导出质量分布的计算公式为有限和的极，在其它应用领域，也经常遇到这类有限和的极限，因此，有必要在数学上建立相应的理论，这就是第一类曲面积分。给定有界光滑曲面，定义在上，给定曲面的一个分割T：，对应的每一个分割子块的面积记为，分割细度仍记为。定义1、若存在实数I，使对任意分割T及任意选取的点，都有称I为在上的第一类曲面积分，记为其中为被积函数，称为积分曲面。注、类似的积分性质（略）；注、几何意义为，时，。二、 计算从第一类曲线积分的公式推导可知，第一类曲面积分公式

5、的建立，关健仍然是微小曲面的面积的计算。因此，我们首先处理，给出其计算公式；处理的思想为定积分中的近似方法微元法。我们知道，是分割后的小曲面块，当分割很细时，曲面块可近似为平面块，故，我们从分析平面块面积的计算入手。那么，如何计算平面块的面积？我们仅知道：当平面块落在坐标平面内时，可以利用二重积分计算其面积，此时，问题解决。而当平面块不落在坐标平面时，我们利用投影技术转化为坐标平面内平面块面积的计算。这就是我们处理第一类曲面积分的思想。1、曲面面积的计算： 给定有界曲面 ：，设是光滑的，即，求的面积。情形1、特殊情形设落在平面中，又设与坐标面面的夹角为（锐角），在面的投影区域为D，相应的面积分

6、别记为，则，故。当选取相对应的钝角为夹角时，有。情形2、一般情形 为一般光滑曲面：，显然：D正是在面的投影区域。为了利用情形1处理，我们利用分割、近似计算的思想。对曲面进行分割T：，分割细度为；对应于分割T，形成D的一个分割： ，分割细度记为。当T很细时，我们希望用某种平面块代替曲面块。在曲面上，选择一个什么样的平面块来近似代替曲面块？我们选择相关的切平面块。任取，由于是光滑的，故任一点都有切平面，过作平面，在上取出一小平面块，使与具有相同的投影，当T很细时，。下面计算。由情形1，只计算与坐标面的夹角的余弦。这使我们联想到切平面法线的方向余弦，记为的法线方向与轴正向的夹角，则。由解析几何理论知

7、道，若平面方程为，则在（）点的法线方向为，其中，。故 ,又，因而，故，。因而，这就是曲面面积计算公式。注、当落在面的平面区域时，此时：，故，这与二重积分的几何意义是一致的。注、从上述推导过程可知，还成立下述另一个计算公式：。其中为曲面上任意点的切平面的法线方向。注：若由参数方程给出，为计算此时的面积，将其转化为已知的情形，为此，设由能确定隐函数，则。利用隐函数的求导，因而：若记，则，故，。因而又，若记，还有。例1：求球面含在柱面内部的面积S。解：由对称性，只计算其在第一卦限中的部分，此时， 曲面，其中D：。由于，故， 。2、第一类曲面积分的计算 利用曲面面积的计算公式，很容易计算第一类曲面积分

8、。定理1、设为定义在光滑曲面，上的函数，则。 事实上，由定义， =。其中。定理2、设光滑曲面，则，。通过上述定理可知，计算第一类曲面积分需要知道曲面方程和曲面的投影区域，在此基础上转化为二重积分计算。例2：，：是平面上方的抛物面。解：在平面上的投影是：，故，.例3：，：，。解：在平面上的投影是：，故，注：注意到积分区域的对称性和奇偶性： 。例4、计算下列曲面面积。1、z=axy（x0,y0）包含在圆柱内的部分； 2、锥面与平面x+y+z=2a (a0)所界部分的表面；解、1、由于曲面z=axy（x0,y0）在xoy平面内的投影区域为 ，由公式 2、所界的表面分为两部分：落在锥面上的部分记为，落

9、在平面上的部分记为，这两部分在xoy平面有共同的投影，记为D，它是由交线的投影所围的区域，即区域D由曲线所围。对，由其方程可以计算 ，故 ；对则，故，故由公式 为计算上述二重积分，须对区域D的边界曲线进行化简，为此作变换 ，则D变为区域: ,即 。故 。 注、上述计算过程的难点在于将二次曲线标准化，转化为椭圆曲线，因此，相应的面积的计算转化为椭圆面积的计算。3第二类曲线积分一：背景变力做功问题：变力作用在质点M 上，使质点沿曲线从A点移至B点，求所做的功。设变力为，沿曲线从A点至B点进行分割T：，这里，表示顺序。记，可正可负，利用微元法，切在微元上将其近似为常力做功，则，变量做功为可以表示为下

10、述有限和的极限，更多的应用问题都可以表示为这类有限和的极限，数学上，这类有限和的极限就是第二类曲线积分。二：定义给定光滑曲线段：（始点为A，终点为B），为定义在上的有界函数，将沿从l始点A至终点B的方向分割：T：。记。定义1、若存在实数I，使对任意T及任意，使，称I为沿曲线从A点至B点的对变量x第二类曲线积分，记为或者。注、从定义可知：第二类曲线积分与的方向有关。事实上，利用定义，易证：。注、几何意义：时，。注、类似可定义：，。注、上述三个第二类曲线积分通常同时出现，合写为：。注、当为平面曲线时，可定义第二类曲线积分。注、当是平面上的封闭曲线时，上的任一点可视为始点，同时也是终点，规定l的方向

11、为：沿行走时，所围的区域总在左侧-即常说的逆时针方向。三：第二类曲线积分的计算。给定曲线，设（1）是光滑的：；（2）不自交：和曲线上的点一一对应；（3），且当由时，对应点沿从A移至B。又设连续。定理1、在上述条件下成立。证明：对任意的沿从A移至B方向的分割T：，其中，表示顺序。仍记，则由点与参数的对应关系：，使，即，因而得分割此处表示大小。 同样，对任意，使。故，记，则 。注、上述公式仍是代入法，但注意对应成立：的始点A对应参数定积分下限；的终点B对应参数定积分上限。注、其它情形类似；注、对自交的曲线可分段处理；注、从公式可看出：第二类线积分的计算关键在于确定曲线的方向、参数方程，并注意对应关

12、系（包含曲线上点与参数的一一对应关系，参数与积分限的对应关系）。注、相应的积分性质仍成立。例1、（1）为折线，方向由O(0,0)到P(1,1)，再由P(1,1)到B(2,0).如图： （2）沿轴O到B：。解：（1）分段考虑：记，（以为参数） 。故， =+ =（2）：， 故：。例2：，：闭曲线如图解：分段处理。记；从1变到-1；从1变到-1；。 故，；，故 ，I=0。例3、，为圆周曲线。解：如图取A(a,0)为始点，则A同时也为终点，方向为逆时针方向，与此对应，曲线的参数方程为，故， 。例4、，其中为在第一卦限中的边界，其方向为如图的顺时钟方向，即从A(0,0,1)到B(0,1,0)再到C(1,

13、0,0)。解、记为曲线上从A到B的这一段，按给定的方向和始点和终点的位置，参数方程为 ，从变到0，故。利用轮换对称性。注、讨论空间曲线与其投影曲线上第二类曲线积分的联系。设空间曲线l落在曲面，为其在xoy平面上的投影曲线，则 （可由一般参数方程形式下转化为定积分形式来证明。）四、二类曲线积分间的联系给定曲线段和定义在l上的函数P(x,y,z)，则有如下两类曲线积分：第一类曲线积分 ；第二类曲线积分如 。首先指出的是：两类曲线积分是在上定义的两类不同的积分，二者有明显的区别，这些区别从定义和计算公式中都可以反映出来；但如上所示的两类曲线积分又是同一函数在同一曲线上的积分，应该有联系；下面，我们来

14、寻找二者的联系。对二者作简单分析：从计算公式可知，二者都可以转化为定积分计算，由此，确定解决问题的一个思路：二者能否转化为同一种形式的定积分，由此建立其联系。进一步分析计算公式可知，二者都将转化为关于参数的定积分，能否转化为同一个参数的定积分？因此，必须选择一个合适的参数将二者联系起来，这个合适的参数就是弧长。设，对点，取弧长为参数，则参数方程可写为：（l还表示曲线l 的长度）。显然 ，当从0单增至时，M从始点A沿移至B，取曲线上每一点的切线方向与曲线的方向一致，并以表示选定的切线方向与三个坐标轴正向的夹角，则 ,故， 另外，根据第一类线积分的计算公式则， 故，；类似，；。因而也有。这就是两类

15、曲线积分关系式。4 第二类曲面积分一、曲面的侧曲面是日常生活中常见的几何图形，就我们对曲面的直接的认识看，曲面应有两个侧面，常说的正面和背面，这类曲面为双侧曲面。如一张白纸就是一个简单的双侧平面，这种曲面具有这样的性质：假设小虫子在曲面上沿闭路爬行，不经过边界，回到原位仍在同一侧。但是，确实存在只有一个侧的曲面单侧曲面，如Mobius带，它具有这样的性质：从曲面上任一点不经过边界可达到曲面上任一点；或者曲面上任意两点都可以用不经过边界的曲线连接。我们本节要介绍的积分，就与曲面的侧有关。那么，如何从数学上给出这些曲面严格的定义？设是非闭的光滑曲面，因而每一点都有切平面和有两个相反的法线方向，动点

16、M从定点出发，沿上一个不过的边界的闭路从出发再回到点，取定的一个法线方向为出发时的方向，当M从点连续运动时，法线方向也是连续变化。定义1、若动点M沿任意的闭路从出发又回到时，指定的法线方向不变，则称为双侧曲面；若存在一个闭路，使得动点M沿从出发又回到时，指定的法线方向与原指定的法线方向相反，称为单侧曲面。注、常见的都是双侧曲面，因而，今后我们只讨论双侧曲面。既然是双侧曲面，其必有两个侧，因而须指明曲面的侧，用于表明曲面的方向。二：双侧曲面的方向这里，我们给出双侧曲面的两个侧的描述，用于规定侧的方向。设是双侧曲面，任取，选定的切平面法线的其中的一个方向，则上其它任何一点的法向也确定：当不越过边界

17、移至此点时对应的法向，由此就确定了曲面的一个侧，改变选定的法向，即得另一侧。侧的定量描述：给定光滑曲面：，具连续偏导数，因而上任一点都存在切平面，点处的法线的方向余弦为 ，其中对应于两个相反的法向。因而，选定一个符号，确定一个对应的法向，进而确定曲面的一个侧。各种侧的规定：下面对经常遇到的几种侧预以约定：相对于轴方向：为锐角，对应的侧为上侧； 为钝角，对应的侧为下侧。注、时，轴落在曲面内，相对轴没有侧，但可有如下的约定：相对于轴方向：为锐角，称对应的侧为右侧； 为钝角，对应的侧为左侧。相对于轴方向：为锐角，称对应的侧为前侧； 为钝角，称对应的侧为后侧。注、有时即可看成具上、下侧的曲面，又可视为

18、具右左式或前后侧的曲面；（可根据观察者的视角和要求来规定）我们规定封闭曲面的侧：向着所围立体的一侧为内侧； 背着所围立体的一侧为外侧。注、为讨论上的简便，我们引入无重点曲面。设，若D中点和上的点是一一对应的，即一对参数只能确定唯一的点，称为无重点曲面。注、存在有重点曲面如闭球面。 对有重点曲面可通过分割化为无重点曲面，因而今后涉及的非封闭曲面都视为无重点曲面。三、第二类曲面积分的定义1背景不可压缩流体的流量问题。设不可压缩流体（密度为1）的流速为，计算单位时间内通过定向曲面的流量。1）、特殊情形假设流速为常数，流经的曲面为平面，其正向对应的流向为常数向量（即平面的法线方向），平面的面积为S，则

19、流量为。2）、一般情形我们利用微元法将其转化为特殊情形来处理，即通过对曲面的分割，将其分割成n个小曲面块，在每一个小曲面块（微元）上，将其近似视为情形1，即小曲面块近似为平面，曲面块上任一点对应的流速和法向视为整个小曲面块近似平面上的常数流速和法向，通过求和，取极限，将流量计算转化为下述和式的极限：而为曲面块上选定点的对应的法向，利用面积计算公式，正是第i个小曲面块在面上投影区域的面积，类似，、是在、面上投影区域的面积。上述微元法解决流量问题的过程中产生的有限和的极限，很自然地产生某种积分，显然，这种积分就是本节将要介绍的第二类曲面积分。当然，第二类曲面积分的背景不仅是流量的计算问题，工程技术

20、中，很多问题的解决都会产生上述有限和的极限，因此，第二类曲面积分具有广泛的应用背景。在上述有限和的最后3个形式中，采用不同的形式，会从不同的角度引入不同形式的第二类曲面积分。我们将从第三个形式出发引入第二类曲面积分，为此先引入区域的有向投影及其相关概念。2、双侧曲面的有侧（向）投影和有侧面积情形1、为具有上、下侧的双侧曲面定义2、设D是平面内具有上、下侧的双侧平面区域，如果实数满足：，其中为区域D的面积，称为双侧平面区域D的有侧（向）面积。设是具上、下侧的双侧曲面，D是在平面内的投影区域，则D是具上、下侧的双侧平面区域。定义3、称双侧平面区域D为双侧曲面在平面内的有侧（向）投影（区域）。其中，

21、D的上侧对应于的上侧，下侧亦对应。注、当D为双侧曲面的有侧投影时，就可定义D的有侧面积。注、有侧面积是相对几何量，可正也可以负。情形2、为具有左、右侧的两侧曲面时，可类似定义其在平面内的有侧投影区域及相应的有侧面积。情形3、为具有前后两侧的曲面时，亦然。3、第二类曲面积分的定义我们将从不同角度引入双侧曲面的各种第二类曲面积分的定义。设是非闭的具有上、下侧的光滑曲面，作的分割,则对应于平面内的有侧投影区域D，形成对应的分割，设定义在上，仍记。定义4、若存在实数I，使对任意分割T及任意点，都成立：其中为有侧投影区域的有侧面积，称I为在上沿取定一侧的关于的第二类曲面积分，记为。注、由定义知：第二类曲

22、面积分和曲面的侧有关，因此，提到第二类曲面积分时，必须指明曲面的侧。注、取定的侧在定义中的作用是用来确定有侧投影区域的有侧面积。事实上，由定义，当取定的上侧时，由于，此时=；当取定的下侧时，由于，故=。因而，若用表示指定一侧的双侧曲面的另一侧，则。注、类似可以定义下述两类曲面积分。对具有前、后两侧的光滑曲面，可以定义在曲面上沿给定一侧的关于y、z的第二类曲面积分。对具有左、右两侧的光滑曲面，可以定义在曲面上沿给定一侧的关于z、x的第二类曲面积分。注、特别注意三个第二类曲面积分的积分变量的顺序，这是习惯写法。注、一般地：对曲面，从轴方向看去，它有上、下两侧，从轴方向看有右、左两侧，从轴方向看，有

23、前后两侧。因而，在同一个曲面上，可同时定义三种第二类曲面积分，简记为： ，其中，积分沿给定的一侧。此时，对给定的一侧：（通常并不以上下、左右、前后侧指明）当从轴方向看时，它或为上侧、或为下侧，故可计算，而当从轴方向看时，它或为右侧、或为左侧，故可计算，而当从轴方向看时，它或为前侧、或为后侧，因而可计算。注、背景中的流量问题正是流速在曲面上关于流向的第二类曲面积分。注、特殊情形1、若平行于轴，即是母线平行于轴的柱面，则在平面的投影为一条曲线，此时=0，故=0；2、若是母线平行于轴的柱面，则=0；3、若是母线平行于轴的柱面，则。四、第二类曲面积分的计算。首先计算，沿取定的一侧。此时，设定为具有上、

24、下两侧的双侧曲面，因而可表示为显然：D是在平面内的投影区域，又设为上的连续函数。由定义，当取上侧时，则，其中：。当取下侧时，则 。其次，计算，沿取定的一侧。此时，设定为具前、后两侧的双侧曲面，故可表示为 ，其中D为在平面内的投影，因而，取的前侧时，；取的后侧时，。最后，沿取定的一侧计算。此时，设定为具右、左两侧的双侧曲面，故可表示为 ，其中D为在平面内的投影，因而，取的右侧时，；取的左侧时，。特别强调，沿空间曲面的第二类曲面积分有三种类型，对每一种类型的第二类曲面积分的计算，都需要将曲面视为相应的类型才能计算。通过上述分析，第二类曲面积分计算的步骤为：1）、明确要计算的第二类曲面积分的类型；2

25、）、确定相应的曲面形式（包括方程形式和投影）；3）、确定曲面的侧；4）、代入公式计算。注、计算过程中，经常利用积分可加性，将曲面按计算对象的不同进行分割。五、例子例1、计算，其中是如图四面体的表面，积分沿处侧进行。解、先计算。由于，显然。对，由于的外侧从轴方向看为下侧，故，。对：，由于的外侧从轴方向看为上侧，故，故。再计算，由于、在平面的投影为直线段，故，。对：，此时，外侧从轴看为后侧，故。对：，外侧从轴看为前侧，故，故。最后计算，显然。对于，外侧为左侧，故，；对于，外侧为右侧，故，故。因而，。注、侧的判断特殊点方法，由双侧曲面的定义，曲面上任一点的法线方向决定曲面的侧，因而，可以通过曲面上特殊的点法向确定侧的方向。例2：计算，为球面，取外侧。解、由于球面为有重点的封闭曲面，计算时须分割为无重点曲面。 先计算，此时须将球面分割为上半球面和下半球面，在平面的投影区域为：。显然，的外侧相对于z轴为上侧；而的外侧相对于z轴为下侧（可以通过z轴上的球面的两个顶点的法向确定侧的方向）。故，