相似三角形强化讲义(修订版)

1、.相似三角形强化讲义相似三角形的基本图形：1、A字形和反A字形 2、反A共边形 3、双垂线模型 、 、 、4、一线三等角模型5、旋转模型注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等模块一：平行线分线段成比例 1、（2015年徐汇区一模）如图，已知，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作交AC于点E，如果，那么等于 （ ）(A) (B) (C) (D) 2、（2014年普陀区一模）已知、分别是的边、的上的点， 若，则为 （ ）A ； B ； C ；D；3、（2014年长宁区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成、四个三角形，若OAOC = O

2、BOD，则下列结论中一定正确的是A 和 相似； B 和 相似； C 和 相似 ； D 和相似；（ ）4、（2015年闵行区一模）如图，已知分别是的边和上的点，要使，那么应等于 ；5、（2015宝山区一模）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ；6、（2015年闸北区一模如图5，在RtABC中，C90，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处如果，那么m与n满足的关系式是：m （用含n的代数式表示m）7、（2014年黄浦区一模）.如图4，ABCDEF，如果，那么线段DF的长为 .8、（2014年虹口区一模）如图，若

3、ABCDEF，则下列结论中，与相等的是A； B； C； D9、（2015年宝山区一模）如图直角梯形中，动点、分别在边和的延长线运动，而且，联结交于，于，则 ；10、（2014年闵行区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EFBD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8求（1）的值；（2）线段GH的长11、（2015年徐汇区一模）如图，经过的顶点，交于，交于；（1）求证：；（2）联结，如果，求的长；12、（2014年嘉定区一模）四边形是平行四边形，是对角线上一点，射线分别交射线、于点、.（1）如图8，如果点在边上，点在边的延长线上，求证：.

4、（2）如果点在边的延长线上，点在边上，试写出与之间的一种等量关系，并给出证明.13、（2015年浦东新区二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，AFCD，垂足为点F（1）如果AB=AD，求证：EFBD；（2）如果EFBD，求证：AB=AD14、（2015年虹口区二模25题）如图，在中，.点为射线上一动点（不与点重合），联结，交边于点，的平分线交于点（1）当时，求的值；（2）设，当时，求与之间的函数关系式；（3）当时，联结，若为直角三角形，求的长（第题图）模块二：A字形模型和反A字形模型 1、(2015年崇明县一模)如图，点D、E、F、G为两边上的点，且，若DE、FG将的面

5、积三等分，那么下列结论正确的是 （）(A)(B)(C)(D)2、（2014年宝山区一模）如图已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6， 当AP的长度为_时ADP和ABC相似.3、（2014年虹口区一模）如图，在ABC中，如果DE 与BC不平行，那么下列条件中，不能判断ADEABC的是AADE=C； BAED=B； C； DABCED4、（2014年黄浦区一模）如图，在ABC中，AD是BC上的高，且BC= 5，AD =3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为，矩形EFGH的面积为，那么关于的函数解析式是 .

6、 5、（2015年徐汇区一模）如图，在中，、分别是、上的点，且，如果，那么（ ） A. ； B. ； C. ； D. ；6、（2014年黄浦区一模）如图，点D为ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EGBD， GFDC.（1）求证: EFBC；（2）当时，求的值.（表示EFG的面积, 表示BCD的面积）7、（2015年嘉定、宝山区二模）在Rt中，Rt绕着点按顺时针方向旋转，使点落在斜边上的点，设点旋转后与点重合，联结，过点作直线与射线垂直，交点为M（1）若点与点重合如图10，求的值；（2）若点在边上如图11，设边长，点与点不重合，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范

7、围；（3）若，求斜边的长ACB(M)ED图10ACBMED图118、（2015年金山区二模）如图，已知在中，（1） 求的长；（2） 点、分别是边、的中点，不重合的两动点、在边上（点、不与点、重合），且点始终在点的右边，联结、，交于点，设，四边形的面积为求关于的函数关系式，并写出定义域；CBA备用图 当是等腰三角形且时，求的长模块三：反A共边模型 1、（2014年黄浦区一模）.如图，在ABC中，若AB=AC=3，D是边AC上一点，且BD=BC=2，则线段AD的长为 .2、（2014年普陀区一模）如图，在边长为1的正方形网格上有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 3、（201

8、5年嘉定区一模）在中，是的平分线交于点（如图5），沿直线翻折后，点落到点处，如果，那么 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图4、（2015年虹口区一模）如图，RtABC中，C=90，AB=5， AC=3，在边AB上取一点D，作DEAB交BC于点E现将BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上（不与点A重合），对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1若EFBA F1E，则B1D= 5、（2014年虹口区一模）如图，在ABC中，C=90，AD是CAB的角平分线，垂足为点E.AECDB第21题图求证：6、（2015年金山区一模）如图，中，平分， (1)求证：；(2)若，求的长7、（2015年闵行区

9、二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC ，A = 90，AB = AD点E在边AB上，且DECD，DF平分EDC，交BC于点F，联结CE、EF（1）求证：DE = DC；（2）如果，求证：BEF =CEF8、（2014年徐汇区一模）已知：如图，ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分ECB，且.(1) 求证：CEDACD；(2) 求证：.9、（2014年崇明县一模）如图，中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且，联结AG（1）求证：；（第23题图）BDAGEC（2）求证：10、（2014年奉贤区一模）如图，已知在等腰ABC中，AB=AC，点E、点D是底边所在直线上的

10、两点，联接AE、AD，第23题ACBDE若， 求证：（1）ADCEDA； （2） 11、(2015年虹口区一模)如图，在ABC中，点D在边AC上，AE分别交线段BD、边BC于点F、G，1=2， 求证： 12、（2015年普陀区二模）如图9，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EFAD交BC于点F，且，联结FG。（1）求证：FGCE；（2）设BAD=C，求证：四边形AGFE是菱形。13、（2015年闵行区一模）已知如图，是的边上一点，交边于点，延长至点，使，联结，交边于点，联结（1）求证：；（2）如果，求证：ACBDEFG（第23题图）14、(2014年闵行区一模)已

11、知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BCD=90，对角线AC、BD相交于点E，且ACBD（1）求证：；（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G如果BAF =DBF，求证：15、（2014年黄浦区一模）如图12，在ABC中，ACB=90，AC=8，D为边AC 中点，P为边AB上一点 (点P不与点A、B重合) ，直线PD交BC延长线于点E，设线段BP长为，线段CE长为.（1）求关于的函数解析式并写出定义域；（2）过点D作BC平行线交AB于点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF=DF， 联结PQ、QE，QE交边AC于点G，图12当EDQ与EGD相似时，求的值；求证：. 16、（201

12、5闵行区一模）已知在矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，；（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当时，求的正切值；（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长；模块四：双垂线模型 1、(2015年徐汇区一模)如图，在中，点、分别在边、上，沿直线将折叠，点落在点处，如果且，那么 ；2、（2014年奉贤区一模）如图，在中，已知，将 绕顶点O逆时针旋转到处，此时线段与BO的交点E为BO的中点，那么线段的长度为 3、（2015年徐汇区二模18题）如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90，E是半 径OA上一点，F是上一点将扇形AOB沿EF对折

13、， 使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若 OE5，则O到折痕EF的距离为 4、（2014年黄浦区一模）如图，在RtABC中，C=90，AC=3，点D、E分别是边BC、AC上的点，且EDC=A，将ABC沿DE对折，若点C恰好落在边AB上，则DE的长为 . 5、（2015年奉贤区一模）已知：矩形ABCD中，过点B作 BGAC交AC于点E，分别交射线AD于F点、交射线CD于G点，BC6（1）当点F为AD中点时，求AB的长；（2）联结AG，设ABx，SAFG=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，

14、请说明理由6、（2014虹口区一模）已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，点P为AB边上一动点，沿PE翻折BPE得到FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联结EQ.（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；（2）如图，当点G在射线AD上时，设BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若CQEFHG，求BP的长7、（2015年黄浦区二模25题）如图，Rt中，是斜边上的高，点为边上一点（点不与点、重合），联结，作，与边、线段分别交于点、；（1）求线段、的长；（2）设，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结，当

15、与相似时，求线段的长；模块五：一线三等角模型 1、（2014年宝山区一模）已知D、E、F分别为等腰ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE=，FDE=B，那么AF的长为（ ）A. 5.5B. 4.5 C. 4 D. 3.52、（2015年宝山区一模）如图，为等边边上一点，交于，若，则 ；3、（2015年奉贤区一模）如图，将边长为cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，那么的周长是 cm 第1 题图 第2题图 第3题图 第4题图4、（2015年金山区一模）如图4，梯形ABCD中，AD/BC，AB

16、=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且，则图中有 对相似三角形5、（2015年金山区二模）在矩形中，把矩形沿直线翻折，点落在边上的点处，若，那么的长等于 （2015年奉贤区一模）如图，在四边形ABCD中，B=ACD，过D作ACDE交BC的延长线于点E，且（1）求证：DAC=DCE；（2）若,求证：ACD=90o6、（2014年崇明区一模）如图，在中，, BD平分交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且，AE与BD相交于点G（1）求证：；（2）设,，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（备用图2）BCDA（备用图1）BCDA（第25题图）BC

17、EFDGA（3）当是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长7、（2014年徐汇区一模）如图，ABC中，AB=5，BC=11，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90得到线段PN，联结AN，NC.(1) 当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；(2) 若点N在ABC内部(不含边界)，设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；(3) 若PNC是等腰三角形，求BP的长.8、（2015年虹口区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，AD=6，BC=24，点P在边BC上，BP=8，点E在边AB上，点F在边CD上，且EPF=B

18、过点F作FGPE交线段PE于点G，设BEx，FGy（1）求AB 的长；（2）当EPBC时，求y的值；（3）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.9、（2015年闵行区一模）如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = DC = 5，AD = 4M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN点E、F分别在线段AN、DN上，且ME / DN，MF / AN，联结EF（1）如图1，如果EF / BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是ADN的面积的，求AM的长；（3）如果BC = 10，试探索ABN、AND、DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由模块

19、六：旋转模型 1、（2014闵行区一模）如图，在ABC与ADE中，要使ABC与ADE相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 2、（2014年闵行区一模）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形如图，在ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，A1B1C是ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形A2B2C（点A2、B2分别与A、B对应）的边A2B2的长为 3、（2015年闵行区一

20、模）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知在直角坐标平面内，点，将进行T-变换，T-变换中心为点，T-变换角为60，T-变换比为，那么经过T-变换后点所对应的点的坐标为 ；4、(2015年虹口区一模)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且AFEB若AB5，AD8，AE4，则AF的长为 ABCDEFHMG第18题图5、（2014年宝山区一模）如图已知：，求证：6、（2015年嘉定

21、区一模）已知：如图8，在中，点在边上，且，ABCGD图8（1）求证：；（2）当时，求证：7、（2014年普陀区一模）如图，已知CD是ABC中ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，AD=6，AE=4(1) 求证：BCDDCE；(2) 求证：ADEACD；(3) 求CE的长8、（2015年崇明县一模）如图，在梯形ABCD中，E与F分别为边AD与DC上的两点，且有（1） 求证：；（2） 当F为DC中点时，求的比值9、（2015年虹口区一模）如图，在RtCAB与RtCEF中，ACB=FCE=90，CAB=CFE，AC与EF相交于点G，BC=15，AC=20（1）求证：CEF=CAF；（2）若AE=7

22、，求AF的长10、（2014年徐汇区一模）在ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DEBC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1) 求证：ABCFCD；(2) 若DE=3，BC=8，求FCD的面积.11、（2015年徐汇区二模）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，MAN=45，将MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN（1）求证：；（2）联结BD，当BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明12、（2015年徐汇区一模）如图，梯形中，对角线，点是边上的一个动点，交于点，交延长线于点，设；（1）试用的代数式表示；（2）设，求关于的函数关系式，并写出定义域；（3）当是等腰三角形时，直接写出的长；模块六：比例的性质、比例中项、黄金分割、三角形重心 1、（2015年金山区一模）已知，那么 2、（2015年闸北区一模）如果，那么的值等于 ；3、（2015年宝山区一模） 线段是线段和的比例中项，若，则 ；4、（