方波信号ft展开为傅里叶级数课件

1、方波信号ft展开为傅里叶级数,1,图4.2 方波信号的傅里叶级数,例41 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,方波信号f(t)展开为傅里叶级数,方波信号ft展开为傅里叶级数,2,解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(4 7)、(48)、(49)分别计算an,bn及c。,方波信号ft展开为傅里叶级数,3,方波信号ft展开为傅里叶级数,4,方波信号ft展开为傅里叶级数,5,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、

2、3、 6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有,振幅谱和相位谱例题,方波信号ft展开为傅里叶级数,6,其余,方波信号ft展开为傅里叶级数,7,图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱 振幅谱； (b) 相位谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,8,图 3.3-2 例 3.3-1 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,9,例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。,图 3.4-2 单边指数函数e-t及其频谱 (a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱,单边指数函数f(t)的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,10,其振幅频谱及相位频谱分别为

3、,解,方波信号ft展开为傅里叶级数,11,(441),(440),单边指数信号的频谱,例44 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指,方波信号ft展开为傅里叶级数,12,图4.7 单边指数信号及其频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,13,例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。,偶对称双边指数函数的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,14,图 3.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,15,(442),从频谱函数的定义式出发,(443),例45 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指,偶对称双

4、边指数信号的频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,16,图4.8 双边指数信号及其频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,17,例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。,图 3.4-4 例 3.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱,奇对称双边指数函数的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,18,(a0),解 图示信号f(t)可表示为,方波信号ft展开为傅里叶级数,19,例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。,解 门函数g(t)可表示为,门函数的频谱函数,方波信号ft展开为

5、傅里叶级数,20,图 3.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,21,图4.6 矩形脉冲信号及其频谱,矩形脉冲信号g(t)的频谱,例43 求矩形脉冲信号g(t)的频谱。,方波信号ft展开为傅里叶级数,22,(436),g(t)的傅里叶变换为,(437),(438),(439),解 矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为,方波信号ft展开为傅里叶级数,23,例 3.4-5 求单位冲激函数(t)的频谱函数。,图 3.4-5 信号(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号(t); (b)

6、(t)的频谱,(t)的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,24,解,可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号(t)实际上是无法实现的。,方波信号ft展开为傅里叶级数,25,根据分配函数关于(t)的定义， 有,方波信号ft展开为傅里叶级数,26,(434),(435),冲激信号(t)的频谱,例42求冲激信号(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有,方波信号ft展开为傅里叶级数,27,图4.5 冲激信号及其频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,28,(475),移位冲激函数(t-t0)的频谱函数,例412求移位冲激

7、函数(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。,方波信号ft展开为傅里叶级数,29,例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。,图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱,直流信号1的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,30,解 直流信号1可表示为,方波信号ft展开为傅里叶级数,31,(445),(446),例46 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-t (444) 它可以看作是双边指数信号在取极限趋近0时

8、的一个特例,即,单位直流信号的频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,32,(447),(448),(449),方波信号ft展开为傅里叶级数,33,图4.9 单位直流信号及其频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,34,例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。,考察例 3.4-4 所示信号f(t),符号函数Sgn(t)的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,35,当0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(j)当0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 3.4-4 所示信号的频谱函数为，从而有,方波信号ft展开为傅里叶级数,36,图 3.4-7 符号函数

9、Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,37,(450),符号函数的频谱,例47求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为,方波信号ft展开为傅里叶级数,38,图4.10 符号函数及其频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,39,(其中0),(4-51),符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:,方波信号ft展开为傅里叶级数,40,例 3.4-8 求阶跃函数(t)的频谱函数。,由阶跃函数(t)的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数， 即,阶跃函数(t)的频谱函数,方波信号ft展开

10、为傅里叶级数,41,图 3.4-8 阶跃函数及其频谱 (a) (t)的波形； (b) 频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,42,例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。,图 3.5-1 例 3.5-1 的图 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱,门(平移后)信号的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,43,解,方波信号ft展开为傅里叶级数,44,例411 已知 求g(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t)的频谱函数为,尺度变换求频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,45,图4.13 尺度变换,方波信号ft展开为傅里叶级数,46,图4.11 单边指数

11、信号及其频谱,例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-t u(t)的频谱。,利用奇偶虚实性求频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,47,解 从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。 f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t) 其中,方波信号ft展开为傅里叶级数,48,方波信号ft展开为傅里叶级数,49,例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a)的频谱。,图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 频谱,高频脉冲信号f(t) 的频谱,方波信号

12、ft展开为傅里叶级数,50,解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos 0t相乘，即,方波信号ft展开为傅里叶级数,51,例413 求高频脉冲信号 p(t)=g(t)cos0t 的频谱函数 解 由于,高频脉冲信号的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,52,故有,根据频移特性有,方波信号ft展开为傅里叶级数,53,图4.14 频移特性,方波信号ft展开为傅里叶级数,54,例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。 解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(

13、t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有,梯形信号f(t)的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,55,图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形,方波信号ft展开为傅里叶级数,56,据时移性质有,方波信号ft展开为傅里叶级数,57,方波信号ft展开为傅里叶级数,58,图 3.5-6 另一种梯形信号,方波信号ft展开为傅里叶级数,59,图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换,梯形脉冲的傅里叶变换,例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。,方波信号ft展开为傅里叶级数,60,解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的

14、矩形脉冲 f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说,方波信号ft展开为傅里叶级数,61,图4.16 半波正弦脉冲,方波信号ft展开为傅里叶级数,62,图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形,方波信号ft展开为傅里叶级数,63,例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。,图 3.6-1 周期矩形脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(j),周期矩形脉冲f(t)的频谱函数,方波信号ft展开为傅里叶级数,64,解 周期矩

15、形脉冲f(t)的复振幅Fn为,方波信号ft展开为傅里叶级数,65,例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为,m为整数,图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱,周期冲激函数序列T(t)的频谱,方波信号ft展开为傅里叶级数,66,解 先求T(t)的复振幅Fn：,方波信号ft展开为傅里叶级数,67,设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到,方波信号ft展开为傅里叶级数,68,已经知道,方波信号ft展开为傅里叶级数,69,例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求图 3.8-

16、1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。,图 3.8-1 例 3.8-1 的图,用频域分析法求响应,方波信号ft展开为傅里叶级数,70,方波信号ft展开为傅里叶级数,71,注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UCf(j)按如下形式整理:,方波信号ft展开为傅里叶级数,72,图 4.19,例420如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。,用频域法求响应,方波信号ft展开为傅里叶级数,73,则按H()的定义有,对于单位阶跃信号u(t)而言,此时,解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jt时,如图有,方波信号ft展开为傅里叶级数,74,最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此,方波信号ft展开为傅里叶级数,75,例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入,s(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数,用频域分析法求响应,方波信号ft展开为傅里叶级数,76,图 3.8-2 例 3.8-2 图 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形,方波信号ft展开为傅里叶级数,77,先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于,方波信号ft展开为傅里叶级数,78,再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有,方波信号f