全等三角形几种常见辅助线精典题型

1、全等三角形几种常见辅助线精典题型、截长补短1、已知ABC中,.A =60；， BD、CE 分别平分.ABC 和.ACB， BD、CE 交于点 O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作.DMN =60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关系？3、如图，AD!AB,CB!AB, DM二CM二a ,AD二h ,CB二k，小MD=75 /BMC=45 ,求AB的长4、已知：如图，ABCD是正方形，/FAD二ZFAE.求证：BE+DF=AE.5、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边

2、ABD、厶ACE ,DFC连结CD、BE相交于点 O .求证： OA平分.DOE .6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形, 以D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在AB、AC上, 求AMN的周长.7、如图所示，在 ABC中，AB=AC , D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且 BED =2 CED 二/BAC，求证 BD =2CD .8、 五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE二CD，/ABC+ ZAED=180 ，求证：AD 平分 ZCDE二、全等与角度1、如图，在 ABC 中，.BAC =60 , AD 是.BAC 的平分线，

3、且 AC = AB BD，求.ABC2、如图所示,在 ABC 中，AC=BC，. C =20，又 M 在 AC 上，N 在BC上，且满足 BAN =50，.ABM =60，求 NMB.的度数3、在正 ABC内取一点 D，使DA=DB，在 ABC夕卜取一点 E，使/ DBE ZDBC，且BE=BA，求 /BED.4、如图所示，在 ABC 中， BAC BCA=44 , m 为. ABC 内一点，使得.mca =30 , .MAC =16，求.BMC 的度数.5、如图：在 ABC 内取一点 M，使得.MBA = 30, MAB =10丿.设.ACB =80， , AC = BC , 求/AMC.6

4、、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ZABC外角的平 分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？MB参考答案：一、截长补短1、BE CD =BC,理由是：在 BC上截取 BF =BE，连结OF ,利用 SAS证得.BEO BFO ,1= 2 ,A =60，- BOC =90；丄.A =120：，二 DOE =120、,2. A . DOE =180，二 AEO ： _ADO =180，二 1. 3 =180,. 24 =180，. 2，/3 Z4 ,利用 AAS证得 CDO CFO ,.CD =CF , BBF C BE CD .2、DM

5、二MN .过点 M 作 MG II BD 交 AD于点 G , AG =AM ,.GD 二 MB 又/ADM /DMA =120,/ DMA / NMB =120 Z ADM =Z NMB，而/ DGM 二/ MBN =120, DGM 也：MBN , DM =MN .3、过点D作BC的垂线，垂足为E.ZMD=75 , BMC=45 ZMC=60DM = CMCD=DMAD JAB , DE JBC , CB1AB , ZAMD=75 ZDM = ZEDCDM 也zCDEAD=DE故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.4、延长CB至M,使得BM=DF，连接AM.AB二AD, AD JCD,

6、 AB JBM, BM=DF BM 坐2FMFD二 ZAMB,ZDAF= ZBAMAB /CD.-.ZAFD= ZBAF= ZEAF+ /BAE二 ZBAE+ /BAM二 /EAM MB二 /EAM/AE=EM=BE + BM=BE+DF.5、因为 ABD、 ACE 是等边三角形，所以 AB 二 AD , AE 二 AC , . CAE BAD = 60 , 贝卩 NBAE ZDAC，所以 ABAEDAC ,贝卩有 ZABE ZADC , ZAEB ZACD , BE =DC .在DC上截取 DF =B0，连结 AF，容易证得.ADF也 ABO , ACF AEO . 进而由 AF =AO .

7、得.AFO =/AOF ；由. AOE =/AFO 可得.AOF =/AOE，即 OA平分.DOE .6、如图所示，延长EECECE =BM .在 BDM 与 CDE 中，因为 BD =CD , - MBD =/ECD =90 , BM =CE ,所以 BDM 也 CDE，故 MD = ED .因为 BDC =120 , MDN =60；，所以 BDM NDC =60又因为-BDM = CDE，所以 MDN =/EDN =60.在 MND 与 END 中，DN =DN , - MDN 二 EDN =60 , DM =DE , 所以MND也END，则NE=MN，所以AMN的周长为2.1.EAG

8、DEF BEF AGE BAC，从而 GE =AE.21 又.AGE BED 二/CED，则.AGB=/CEA.2由 ABE BAE 二 BED 二 BAC 二 CAE BAE 可得 ABG 二 CAE.注意到 AB =CA，故有JABGCAE，从而BG=AE, AG =CE ,是 BG =GE.1 又由 AH II EF，有 BH =HF , GH EF ,2CD EC _ AG _ AH -GH一 EF 一 EF 一 EF111皿BF FD BD，故 222而乙CED ZFED，从而1即 CD =HDFD =HF2FD1-FD2口 AH HD且二 .EF FDAH 1 _ HD 12 一

9、FD 2，BD=2CD .&延长DE至F，使得EF=BC，连接AC. vABC + AED=180 ,AEF+ ZAED=180 AB=AE, BC=EFBC坐EFEF二BC, AC=AFBC+DE二CD/CD=DE+EF=DF/. ABC=小EFDC 坐DF /.ADC=小DF 即AD平分ZCDE.二、全等与角度1、如图所示，延长 AB至E使BE二BD，连接ED、EC.由 AC =AB BD 知 AE =AC ,而.BAC =60，则AEC为等边三角形.注意至U EAD = CAD , AD =AD , AE = AC ,故 AED 也 ACD .从而有 DE =DC ,- DEC = DC

10、E ,故BED 二BDE 二DCEDEC =2 DEC .所以 ZDECZdCE=20； ,ZABC/BEC /BCE =60；20 =80【另解】在AC上取点E，使得AE二AB，则由题意可知CE二BD.A在 ABD 和 AED 中，AB=AE , . BAD =/EAD , AD =AD ,贝U ABDAED，从而 BD =DE ,进而有 DE =CE , . ECD =/EDC ,AED = ECD EDC = 2 ECD.注意到.ABD二.AED，贝U：1 3ip.ABC . ACB = . ABC ABC ABC =180BAC =120 ,2 2故.ABC =80 .【点评】由已知条

11、件可以想到将折线 ABD “拉直”成E ,利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”它们是证明等量关系时优先考虑的方法2、过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P . 连接PN，易知.APB、MKP均为正三角形.因为 /BAN =50 , AC =BC , ZC =20 ,所以 /ANB=50 , BN=AB=BP, ZBPN MBNP=80 , 贝S . PKN =40 ,. KPN =180 -60 -80

12、=40 ,故 PN =KN . 从而.MPN 也.MKN .进而有 PMN = KMN ,. NMB =- . KMP =3023、如图所示，连接 DC .因为 AD二BD , AC二BC , CD二CD ,贝卩 ADC BDC ,故/ BCD =30l而/DBE ZDBC , BE =AB =BC , BD =BD , 因此匕BDE BDC ,故.BED 二.BCD =3014、在 ABC 中，由 ZBAC EBCA =44 可得 AB = AC，/ABC =92 .如图所示，作 BD_AC于D点，延长 CM交BD于O点，连接 OA , 贝U有 OAC = MCA =30 ,.BAO - .

13、 BAC -/OAC =44 _30 =14 ,.OAM =/OAC -/MAC =30 _16 =14 ,所以.BAO =/MAO 又因为.AOD =90/OAD =90 _3060/COD ,所以.AOM =120 =. AOB /BOM =120而 AO 二 AO，因此 ABO 也.：AMO ,故 OB =OM 由于.BOM =120 ,贝山OMB ZOBM =型=30 ,2故.BMC =180 -/OMB =1505、如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E，则AE=BE.而.EAM =. EAB . MAB =30； -10 =20；，1 、.ACE ACB =40、，2.EAC = . CAH -/E