Lagrange插值

1、第二章 插值法(interpolation method,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（m） 466 741 950 1422 1634 水温（oc）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米）处的水温,这就是本章要讨论的“插值问题,例,当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间a, b上一系列节点 x0 xm 处测得函数值 y0 = f(x0), , ym = f(xm)，由此构造一个简单易算的 近似函数 g(x) f(x)，满足条件 g(xj) = f(xj) (j = 0, ,

2、 m) (*) 这个问题称为“插值问题,一、插值问题,这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数,节点 x0 xm称为插值节点,条件(*)称为插值条件，区间a, b称为插值区间,定义1,f(x,g(x,最常用的插值函数是 ,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计,代数插值,二、代数插值问题解的存在惟一性,令,只要证明pn(x)的系数 a0 ,a1, an 存在唯一即可,给定区间a, b上互异的n+1个点 的一组函数 值

3、f (xj)，j = 0,n , 求一个n次多项式 pn(x)pn, 使 得,为此由插值条件知 pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组,而ai (i=0,1, 2, n)的系数行列式是vandermonde行列式,由于 xi 互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一,为此我们必须从其它途径来求 pn(x)： 不通过求解方程组而获得插值多项式,通过解上述方程组求得插值多项式pn(x)的方 法并不可取。 这是因为当n较大时解方程组的计 算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般 较大（可能是病态方程组）, 当阶数n越高时， 病态越重,基本思想： 在

4、n 次多项式空间pn 中找一组合适的基函数 0(x), 1(x), , 3(x), 使,不同的基函数的选取导致不同的插值方法,lagrange插值,newton插值,三、插值多项式的构造方法,知识点一,n = 1,可见 p1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线,2 lagrange插值,求 n 次多项式 使得,已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求,一、构造基函数,与节点有关，而与f 无关,这里每个lj(x)都是n次多项式，且容易验证lj(x)满足,j =0,1,，n,知识点二,插值基函数图形,n = 1,n = 2,对任意的ln(x)pn，都有

5、ln(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+cn ln(x) 其中c0 ,c1 ,cn 为组合系数,可以证明函数组l0(x)，l1(x)，, ln(x) 在插值区间a,b上线性无关，所以这n+1个函数可作为pn的一组基函数，称为lagrange插值基函数,由lagrange插值基函数满足 ，方程组变成,因此得到插值多项式 ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+ f(xn) ln(x,记为ln(x) f(xj)lj(x,称ln(x)为n次lagrange插值多项式,知识点三,二、插值余项 /* remainder *,定理1,由于rn(xi) 0 ，i=0,1,，n,任

6、意固定 x xi (i = 0, , n), 考察,t)有 n+2 个不同的根 x0 xn x,证明,已知,分别利用 sin x 的1次、2次 lagrange 插值计算 sin 50， 并估计误差,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,例1,解,sin 50 = 0.7660444,利用x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001,利用,计算得：sin 50 0.76008,利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,特殊地: 有,关于langrange插值的

7、几点说明,即,3 逐次线性插值,用拉格朗日插值多项式ln(x) 计算函数 近似值，如精度不满足要求需增加插值节 点时，原来算出的数据均不能利用，必须 重新计算。为克服这缺点，通常可用逐次 线性插值方法求得高次插值,对已给sin0.32=0.314567, sin0.34= 0.333487, sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物线插值计算sin0.3367 的值并估计截断误差,取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，用线性插值计算,其截断误差为,例2,解,取sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用线性插值计算,其截断误差为,取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算,其截断误差为,0.330374,埃特金（aitken）逐次线性插值方法,是三节点抛物线插值计算的，它 也可由 和 按类似线性插 值的方法计算，即,一般情况，两个k 次插值多项式可通过线性 插值得到(k +1) 次插值多项式,是关于节点x0, x1, ,xk的插值多项式,首先: 为k +1次插值多项式,其次：对i = 0,1, k 1，有,当 x = xk时，有,当 x = xl时，有,公式也可改为,