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文档简介
1、.平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:注:此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;注:此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用 再相乘;CBA平面几何的几个重要定理 塞瓦定理塞瓦定理:CBAMQRACPBCBACBAKLNMCBA平面几何的几个重要定理托勒密定理托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即:EDCBA一、直接应用托勒密定理例1 如图2,P是正ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合), 求证:PA=PBPC分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构
2、造全等三角形,均为繁冗若借助托勒密定理论证,则有PABC=PBACPCAB,AB=BC=ACPA=PB+PC二、完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”:在RtABC中,B=90,求证:AC2=AB2BC2证明:如图,作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形由托勒密定理,有ACBD=ABCDADBC 又ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC,AC=BD 把代人,得AC2=AB2BC2例3 如图,在ABC中,A的平分 线交外接圆于D,连结BD,求证:ADBC=BD(ABAC)证明:连结CD,依托勒密定理,有ADBCABCDACBD1=2, BD=CD故
3、ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是实数,且a2b2=1,x2y2=1求证:axby1证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作RtACB和RtADB,使ACa,BC=b,BDx,ADy由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的据托勒密定理,有ACBDBCAD=ABCDCDAB1,axby1四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理例5 已知a、b、c是ABC的三边,且a2=b(bc),求证:A=2B分析:将a2=b(bc)变形为aa=bbbc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c证明:如图
4、,作ABC的外接圆,以 A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DAAD=BC,ABD=BAC又BDA=ACB(对同弧),1=2依托勒密定理,有BCAD=ABCDBDAC 而已知a2=b(bc),即aa=bcb2 BAC=2ABC五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在ABC中,已知ABC=124,分析:将结论变形为ACBCABBC=ABAC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形如图,作ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,有ACBDBCAD=ABCD易证AB=AD,CD=AC,ACBCBCAB=ABAC,1.已知ABC中,B=2C。求证:AC2=AB2+ABBC。【分析】过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=
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