二综合法与分析法

1、2 2.1综合法与分析法明目标、知重点1.了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论2分析法从待证结论出发， 一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实探究点一综合法思考 1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a， b0，求证： a(b2c2) b(c2 a2) 4abc.证明因为 b2 c2 2bc， a0，所以 a( b2c2) 2abc.又因为 c2 a2 2ac， b0，所以 b(c2 a2) 2abc.因此 a(

2、b2 c2)b(c2a2) 4abc.总结：此证明过程运用了综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立思考 2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理例 1 在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列， a，b， c 成等比数列，求证： ABC 为等边三角形证明 由 A， B，C 成等差数列，有 2BA C，由于 A，B， C 为ABC 的三个

3、内角，所以A B C .由，得B3，由 a， b， c 成等比数列，有b2 ac，由余弦定理及，可得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac，再由，得a2 c2 ac ac，即 (a c)2 0，从而 a c，所以 A C.由，得AB C 3，所以ABC 为等边三角形反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1) 分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2) 转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程ACcos B跟踪训练 1在 ABC 中， AB cos C，证明： B C.证明在ABC 中，由正弦定理及已知得sin Bcos Bsin

4、 C cos C.于是 sin Bcos C cos Bsin C 0，即 sin(BC) 0，因为 B C0 ，b0) 是怎样证明的？2a b答要证2ab，只需证 ab 2ab，只需证 ab 2ab 0，只需证 ( a b)2 0，因为 (a b)20 显然成立，所以原不等式成立思考 2证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明， 寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件小结一般地， 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法思考 3综合法和分析法

5、的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发， 逐步推向未知， 每步寻找的是必要条件； 分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件例 2求证：aa 1a2a3(a 3)证明只需证方法一a要证a 3a a 1 a 2a2 a 1，a 3，只需证 (aa 3)2(a 2a 1)2，只需证 2a 3 2a2 3a2a3 2a2 3a2，只需证 a2 3aa2 3a 2，只需证 02，而 02 显然成立，所以 a a 1 a 2a 30 ，11，a a 1a 2 a 3 a a 1 a 2 a 3.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从

6、结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法跟踪训练 2求证： 3 72 5.证明因为37和 25都是正数，所以要证3 72 5，只需证 ( 3 7) 2(25)2 ，展开得10 22120 ，只需证 215，只需证 2125，因为 2125 成立，所以3 7x0，且 x y1，那么 ()xyx yA x 2y2xyB 2xyx 2 yx yx yC x 2 2 xyyD x2 xy 2 x0，且 x y1，设 y 314， x4，x y13x y则 2 2，2xy8，x2 xy 2 y，故选 D.2欲证 2 36 7成立，只需证 ()A ( 2 3)2( 6 7)2B ( 2 6) 2( 3 7)2C ( 2 7) 2(3 6)2D ( 2 3 6)2b0 时，才有 a2b2，即证：2763，只需证： (27)2(36)2.3要证明3725，可选择的方法有很多，最合理的应为_答案分析法1tan 4已知 1，求证： cos sin 3(cos sin )2tan 证明要证 cos sin 3(cos sin )，cos sin 只需证 3，cos sin 1 tan 只需证 3，1 tan 只需证 1 tan 3(1 tan )，只需证 tan 12，1 tan 1，2 tan 1tan 2 tan ，即 2tan 1.1t