平面向量数量积运算专题

1、平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A.4 B.3C.42 D.32变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余

2、弦值等于()A. B. C. D.变式训练2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.变式训练3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.高考题型精练1.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2C.a2

3、D.a2 2.(2014浙江)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.94.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于()A. B.C. D.5.在平面上，|1，

4、.若|，则|的取值范围是()A.(0， B.(，C.(， D.(，6.如图所示，ABC中，ACB90且ACBC4，点M满足3，则等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.08.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且

5、e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_.10.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).当ab时，求cos2xsin 2x的值；12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为1，PA，P

6、B为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A.4 B.3C.42 D.32答案(1)2(2)D解析(1)如图，()()()()22cos 120222222cos 1202，又1，1，2.(2)方法一设|x，APB，则tan ，从而cos .|cos x2x21323，当且仅当x21，即x21时取等号，故的最小值为23.方法二设APB，0，则|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2，0x1，则2x323，当且仅当2x，即x时取等号.故的最小值为23.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2y21，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x

7、0,0)，则(x1x0，y1)(x1x0，y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.从而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值为23.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0时得不到a0或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.答案9解析

8、因为，所以0.所以()2|20329.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. B.C. D.答案(1)A(2)B解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232

9、423cos 13，(a2b)222432423cos 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即2ab与a2b的夹角的余弦值是.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.答案90解析()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质得与的夹角为90.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|

10、2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，所以|2ab| 2.(2)方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x|ab|，

11、此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.3.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y).故|，x1时有最大值7，故选B.4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于(

12、)A. B.C. D.答案A解析以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为yx，即xy0.设P(x，x)，则p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5.在平面上，|1，.若|a，所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因为x0，所以2x，.所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范围为1，.12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以