2018届高考数学二轮第二部分板块二十八反设直线巧算方程理

1、十八,反设直线,巧算方程,速解技法,学一招,直线与圆锥曲线问题是解析几何的一个基本问题,运算量大,是它的一个特点,根据题设条件特点,灵活选用恰当的直线方程,与圆锥曲线方程联立,会大大简化求解过程,如果遇到的点为,m,0,考虑常规的设法为,y,k,x,m,时，往往不如把直线设为,x,ty,m,更加简便，其中的,t,1,k,该设法包括了直线经过该点而斜,率不存在的情况，反设法可能可以减少一些计算量,经过点,x,0,y,0,的直线方程的设法主要有,1,x,t,y,y,0,x,0,当经过点,x,0,y,0,或直线斜率不存在而不能为,0,时，此类,设法占有一定的优势,2,直线的参数方程,x,x,0,t,

2、cos,y,y,0,t,sin,其中,t,为参数,为直线的倾斜角,典例,已知椭圆,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,过右焦点,F,c,0,的直线,l,与椭圆,C,交于,A,B,两点,过点,F,作,l,的垂线,交直,线,x,a,2,c,于,P,点，若,PF,AB,的最小值为,b,a,试求椭圆,C,的离心率,e,的取值范围,解,法一,设直线,l,x,my,c,且,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,联立,x,my,c,x,2,a,2,y,2,b,2,1,得,b,2,m,2,a,2,y,2,2,mcb,2,y,b,4,0,则,y,1,y,2,2,mcb,2,b,2,m,2,a,

3、2,y,1,y,2,b,4,b,2,m,2,a,2,进而,y,1,y,2,2,ab,2,m,2,1,b,2,m,2,a,2,于是,AB,y,1,y,2,m,2,1,2,ab,2,m,2,1,b,2,m,2,a,2,易知直线,PF,y,m,x,c,得,PF,m,2,1,a,2,c,c,b,2,c,m,2,1,所以,PF,AB,b,2,c,m,2,1,2,ab,2,m,2,1,b,2,m,2,a,2,b,2,m,2,a,2,2,ac,m,2,1,令,m,2,1,t,t,1,则,PF,AB,b,2,t,2,c,2,2,act,1,2,ac,b,2,t,c,2,t,设函数,f,t,1,2,ac,b,2

4、,t,c,2,t,b,a,所以,c,b,1,得,c,2,a,2,1,2,即,e,2,2,故椭圆的离心率,e,的取值范围为,2,2,1,法二,设直线,l,x,c,t,cos,y,t,sin,其中,t,为参数,联立直线与椭圆方程可得,cos,2,a,2,sin,2,b,2,t,2,2,c,cos,a,2,t,c,2,a,2,1,0,于是,AB,t,1,t,2,2,a,1,cos,2,a,2,sin,2,b,2,易知直线,PF,x,c,t,cos,2,y,t,sin,2,t,为参数,由,x,a,2,c,c,t,3,cos,2,所以,PF,t,3,b,2,c,sin,PF,AB,ab,2,2,c,1,

5、a,2,sin,c,2,a,2,b,2,sin,b,a,当且仅当,sin,b,c,时取等号,所以,c,b,1,得,c,2,a,2,1,2,即,e,2,2,故椭圆的离心率,e,的取值范围为,2,2,1,因为点,F,c,0,的纵坐标为,0,所以反设占有一定的优势,为便于对比,解法一采用反设法,通过对比,可以发现一般,设法在解决此类问题上计算复杂且不容易想到,易忽视直线,斜率不存在的情况,增加计算难度,而反设法在求解此类问,题时具有一定的优势,技法领悟,经典好题,练一手,1,已知过定点,P,2,0,的直线,l,交抛物线,y,2,4,x,于,A,B,两点,则,AOB,面积的最小值为,_,解析,设直线,

6、AB,为,x,ty,2,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,联立,x,ty,2,y,2,4,x,得,y,2,4,ty,8,0,则,y,1,y,2,4,t,y,1,y,2,8,y,1,y,2,16,t,2,32,4,t,2,2,所以,S,AOB,1,2,OP,y,1,y,2,4,t,2,2,4,2,故,AOB,面积的最小值为,4,2,答案,4,2,2,已知椭圆,E,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,过点,0,2,且离心率,e,为,2,2,1,求椭圆,E,的方程,2,设直线,x,my,1,m,R,交椭圆,E,于,A,B,两点，判断,点,G,9,4,0,与以线段,AB,为直径的圆的

7、位置关系，并说,明理由,解,1,由已知得,b,2,e,c,a,2,2,且,a,2,b,2,c,2,解得,a,2,所以椭圆,E,的方程为,x,2,4,y,2,2,1,2,设点,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,由,x,my,1,x,2,4,y,2,2,1,得,m,2,2,y,2,2,my,3,0,则,y,1,y,2,2,m,m,2,2,y,1,y,2,3,m,2,2,从而,GA,GB,x,1,9,4,x,2,9,4,y,1,y,2,m,2,1,y,1,y,2,5,4,m,y,1,y,2,25,16,17,m,2,2,16,m,2,2,0,所以,GA,与,GB,不共线，所以,AGB,为锐角,故点,G,9,4,0,在以,AB,为直径的圆外,常用结论,记一番,解直线与圆锥曲线问题时，选择反设的直线方程可以适当简,化一些计算，不过要注意公式的对比,1,弦长公式,1,k,2,x,1,x,2,1,1,k,2,y,1,y,2,1,t,2,y,1,y,2,1,t,2,a,其中,a,是直线与圆锥曲线联立所得方程,a,x,2,b,x,c,0,的首项系数,是方程的判别式,t,1,k,2,如果是参数方程,x,x,0,t,cos,y,y,0,t,sin,弦长公式为,t,1,t,2,同时适当关注某些特定直线方程,若点,P,x,0,y,0,为圆,x,a,2,y,b,2,R