2019年全国各地中考数学试题分类汇编第二期 专题21 全等三角形含解析

1、全等三角形 一.选择题 1. （2019?河南?3分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分 为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BEA，C交AD于点别以点F，交AC于点O若点O是AC的中点，则CD的长为（ ） 3 D B4 AC2【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AFFC再根据ASA证明FOABOC，那么AFBC3，等量代换得到FCAF3，利用线段的和差关系求出FDADAF1然后在直角FDC中利用勾股定理求出CD的长 【解答】解：如图，连接FC，则AFFC ADBC， FAOBCO 在FOA与BOC中， ， FOA

2、BOC（ASA）， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 在FDC中，D90， 222， DFFCCD+222，3CD +1 2 CD A故选： 【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中求出CF与DF是解题的关键 2.（2019?浙江湖州?3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） DC A

3、2 B 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PMAB，利用勾股定理即可求得 【解答】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知AMCFPEBPD， AMPB， PMAB， ，PM AB， 故选：D 本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对【点评】称的性质是解题的关键 3. （2019?贵州省安顺市?3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（ ） AAD BACDF CABED DBFEC 【解答】解：选项A、添加AD不能判定ABCDEF，

4、故本选项正确； 选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误 故选：A 二.填空题 ?3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，天津E是边CD上一点，连接AE，折1. （2019叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 . 49 【答案】 13【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13. AHAF12060?，由勾股定理得=2=，所以AFH又易知BFA

5、AH，AHAH，即 1313BABF49 =GE，AE=13AE=AG- 13 OCD2019?3AB2. ，广西北部湾经济区与分）如图，（相交于点BDAC=210ABACD+ABD=60AB=CDAOC，则线段， _之间的等量关系式为2 22BD+=ACAB【答案】 【解析】 BE.DECDAE=CD AAE，如图所示：，截取解：过点作，连接 ACDE是平行四边形，则四边形 AEDACACD=DE=， =CDAOC=60AB， ABCD=AE=EAB=60， ABE为等边三角形， ABBE=， =210ACD+ABD， =210+ABDAED， =90=360-210-60AED+ABD-E

6、ABBDE=360-，）（222 +BEDE=BD，222 AB+=ACBD；222 AC+BDAB=故答案为：ACDE=CDBE.DEACDEAEACDAE=，连接截取则四边形过点得出作是平行四边形，=360BDEBE=ABAED-AED+ABDABE=ACD（，）证明为等边三角形得出求得222 BD=DE+-EAB=90BE，即可得出结果，由勾股定理得出平行线的性质、平行四边形的判定与性质、本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、 角形是解题的关键，ABFE，FC于点D是AB上一点，DF交ACE，DE如图，

7、广东省广州市3. （2019?9分） ADECFE求证： CFEADE【分析】利用AAS证明： AB，【解答】证明：FC ，ADEFFCEA， CFE中：与在ADE ， AASCFEADE（）【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS 2. （2019?贵州省安顺市?12分）（1）如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC得到ABFC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中

8、即可判断 AB，AD，DC之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论 【解答】解：（1）ADAB+DC 理由如下：AE是BAD的平分线 DAEBAE ABCD FBAE DAFF ADDF， 点E是BC的中点 CEBE，且FBAE，AEBCEF CEFBEA（AAS） ABCF ADCD+CFCD+AB （2）ABAF+CF G的延长线于点DF交AE，延长理由如下：如图 E是BC的中点， CEBE， ABDC， BAEG且BECE，AEBGEC

9、 AEBGEC（AAS） ABGC AE是BAF的平分线 BAGFAG， BAGG， FAGG， FAFG， CGCF+FG， ABAF+CF 3. 2019?1ABCDEAB边上的一个动点（点是，在正方形中，点（广西北部湾经济区）如图EABCEBBFCEGADF ，过点作，交不重合），连接于点与点于点1ABFBCE ；（）求证：22EABDGDC=DG ；运动到（，求证：）如图，当点中点时，连接332CCMDGHADBFMN，于点（）如图，在（）的条件下，过点作，于点，分别交， 的值求 CE1BF，【答案】（）证明： CGB=90， CBG=90GCB+， ABCD是正方形，四边形 =ABA

10、BCCBE=90=， =90+CBGFBA， FBAGCB=， ASAABFBCE）；（ CEHDH22D，（作）证明：如图于，过点 =2aAB=CD=BC，设 EAB的中点，是点 a=EB=ABEA， aCE=， EB=CB?BGRtCEB?CE，中，根据面积相等，得在 BG=a， =aCG=， =90CBF=90+BCEDCE+BCE， CBFDCE=， =CGB=90=CDBCCQD， BGCAASCQD），（ a=CQ=BG， =a=CQ-GQ=CGCQ， =CQDGQD=90DQDQ=， DGQCDQSAS），（CD=GD ； HDHCE33D，过点于（作）解：如图 DGCH?DQS

11、=?=，CDG a=CH， aCD=2RtCHD，在中， =aDH， HDC=90HCD+MDH+HDC=90， HCDMDH=， DHMCHD， ， HM=a， =a=CHGCGaCHRt，在，中， =aGH=， =90+CGH=90MGH+CGHHCG， HCGQGH=， GCHQGH， ， HN=a， HN=HM-=aMN， = 【解析】 =A1GCB+CBG=90ABCDCBE=90是正方形，得出，（，再由四边形）先判断出BC=AB ，即可得出结论； =a=aAB=aCE=CD=BC=2aEA=EBBG=2AB，再求出，）设进而得出先求出，（ aCGCQDBGCAASGQ=CQ ，即可

12、得出结论；，再判断出），进而判断出（ =HMDHM=aa3CHDH=aCHD，求出）先求出，再判断出，再用（，再求出 =a=GCHHNGH =aQGH即可得出结论，勾股定理求出最后判断出，得出此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾DGQCDQ 是解本题的关键股定理，判断出 4（2019?广西贺州?3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE 的长为 62 ABG，则CF 90交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转得 【分析】作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4， AE2，再根据旋转的性质得到A

13、GAE2，BG利用勾股定理计算出DE2，34，GAE90，ABGD90，于是可判断点G在CB的延长线上，接着证明FA平分GAD得到FNFM4，然后利用面积法计算出GF，从而计算CGGF就可得到CF的长 【解答】解：作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4， 正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点， DE2， AE2， ADE绕点A顺时针旋转90得ABG， AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90， 而ABC90， 的延长线上，CB在G点AF平分BAE交BC于点F， 12， 2+41+3，即FA平分GAD， FNFM4， FN?AG，AB?GF 2

14、，GF 24+2CGGF6CF2 2 故答案为6 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 2. （2019?广东省广州市?3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不 BE，CF与在射线AM上，且AFAD相交于45A与点，B重合），DAM，点F EGEF，则下列结论：点G，连接EC， 222的面积的EAFEG；DGECF45；AEG的周长为（1+；）aBE+ 2 最大值a （填写所有正确结论的序号） 其中正确的结论是 【分析】正确如图1中，在BC上截取BHBE，连接EH证明FA

15、EEHC（SAS）， 即可解决问题错误如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），再证明GCEGCH（SAS），即可解决问题 xAF，构建二次函数，利用二次函数的性质解决ax，正确设BEx，则AE 最值问题 EHBHBE，连接【解答】解：如图1中，在BC上截取 90，EBHBEBH AF，BEEHBE，AFEH， DAMEHB45，BAD90， FAEEHC135， BABC，BEBH， AEHC， FAEEHC（SAS）， EFEC，AEFECH， ECH+CEB90， AEF+CEB90， FEC90， ECFEFC45，故正确， 如图2中，延长AD到H，使得DHBE，

16、则CBECDH（SAS）， ECBDCH， ECHBCD90， ECGGCH45， CGCG，CECH， GCEGCH（SAS）， EGGH， GHDG+DH，DHBE， EGBE+DG，故错误， AEG的周长AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， ，xAF，xaAE，则xBE设 222222 ，+xax）ax+ax（xaxa+a）（S（?axAEF 0， 2 a正确，故xa时，AEF的面积的最大值为 故答案为 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考

17、填空题中的压轴题 ABCD?33. 2019?中，对角线北部湾经济区（分）如图，在菱形广西=4HBOAH=24ABCSACBDO，过点，作，于点，已知交于点ABCD菱形 AH=_则 【答案】 【解析】 ABCD是菱形，四边形解： BDAO=4=COACBO=DO， =8BD， ACBD=24 =S，ABCD菱形 AC=6， =ACOC=3 ， =5BC ，S=BCAH=24 ，ABCD菱形 = AH； 故答案为：=ACBC，然后由菱形的面积即可对角线积的一半可求根据菱形面积，再根据勾股定理求出 得出结果本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求BC 是解题

18、的关键出4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三.解答题 1. （2019?铜仁?10分）如图，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE 求证：BDCE 【解答】证明：ABAC，ADAE， BAE+CAE90，BAE+BAD90， CAEBAD 又ABAC，ABDACE， ABDACE（ASA） BDCE ，30DB，DEBC，6ADAB中，ADE和ABC分）如图，9?河北2019?（2. 边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心 （1）求证：BADCAE； （2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）当ABAC时，AIC

19、的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的 值 ）中，（如图1）在ABC和ADE【解答】解：（1 ）ADE（SASABC DAEBAC CAE+BADDACDAC即 CAEBAD ，x6，AP2（）AD x6PD AB3最小，即PD633为PDAP当ADBC时，的最大值 （3）如图2，设BAP，则APC+30， ABAC BAC90，PCA60，PAC90， I为APC的内心 AI、CI分别平分PAC，PCA， PCA ，PACICAIACAIC180（IAC+ICA） （PAC+180PCA） ）+6090（180 +105 090， +105150，即105105AIC150， m105

20、，n150 3. （2019?江苏无锡?8分）如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别在AB、AC上，BDCE，BE、CD相交于点O （1）求证：DBCECB； （2）求证：OBOC 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到ECBDBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到DCBEBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OBOC 【解答】（1）证明：ABAC， ，DBCECB 中， 与ECB在DBC SAS（）；DBCECB （2）证明：由（1）知DBCECB， DCBEBC， OBOC 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键

21、是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 4. （2019?四川自贡?12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G 线段DB和DG的数量关系是 DBDG ； 写出线段BE，BF和DB之间的数量关系 （2）当四边形ABCD为菱形，ADC60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G 如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE1，AB2，直接写出线段GM的长度 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； 根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解