5-1-2含字母系数的一次方程.题库教师版

1、含字母系数的一次方程中考要求黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列岀方程能运用方程解决有关问 题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一兀一次方程了解一元一次方程的有关概 念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算 对多项式进行变形，进一 步解决有关问题一兀一次方程 的解法理解一元一次方程解法中的 各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四知识点睛黑体小四一、含字母系数的一次方程黑体小四1 含字母

2、系数的一次方程的概念楷体五号当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程.楷体五号2 含字母系数的一次方程楷体五号含字母系数的一元一次方程总可以化为ax二b的形式，方程的解由 a、b的取值范围确定.b(1) 当a =0时，x二一，原方程有唯一解；a(2) 当a =0且一 =0时，解是任意数，原方程有无数解；(3) 当a =0且b=0时，原方程无解.黑体小四二、同解方程及方程的同解原理黑体小四1.方程的解楷体五号使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解.注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：(1) 求解：通过解方程

3、，求出方程的解进而解决问题.(2) 代解：将方程的解代入原方程进行解题.楷体五号2 同解方程 楷体五号如果方程 的解都是方程 的解，并且方程 的解都是方程 的解，那么这两个方程是同解方程. 楷体五号3 方程的同解原理 楷体五号方程同解原理 1方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理2:方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理3:方程f(x)g(x) =0与f(x)=0或g(x) =0是同解方程.黑体小四貝twi呼 例题精讲黑体小四一、含字母系数的一次方程黑体小四【例1】 已知a是有理数，在下面 4个命题：

4、(1) 方程ax 0的解是x =0 (2) 方程ax =a的解是x =1 .1(3) 方程ax =1的解是x二.a(4) 方程a x =a的解是x = 1 .中，结论正确的个数是()A . 0B . 1C. 2D. 3【考点】含字母系数的一次方程【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】1995年，江苏省，竞赛题【答案】A【例2】 讨论关于x的方程ax =b的解的情况.【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】略【答案】当a = 0时，方程有惟一解 x = b ;a当a =0 , b =0时，方程无解；当a =0 , b =0，方程的解为任意数.【例3】

5、 解关于x的方程：m(x-n)(x-m)3 4【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】天津市，竞赛题，分类讨论思想【解析】去分母，化简可得：（4 m -3）x =4mn -3m , 当 m， n为任意数时， x二4mn -3m4 4m 一33 3 当m =-时，n =-，解为任意数；4 43 3 当m二一，n时，方程无解.4 4【答案】当m 一-3 , n为任意数时，x二4mn 一饷;44m 33 3当m 时，n，解为任意数；4 43 3当m , n时，方程无解.4 41 1【例4】 解关于x的方程：_m（x_n） = _（x，2m）34【考点】含字母系数的一次方程【难度

6、】3星【题型】解答【关键词】2001年，扬州市宝应县，中考题，分类讨论思想【解析】去分母化简可得：（4m -3）x =6m - 4mn, n为任意数时，x=也吐如;44m -3_3_4_3_4当当当n = _3 时,2n - - 3 时,2解为任意数;方程无解.【答案】343434n为任意数时,4mn 亠 6mx =4m 3n - - 3时，解为任意数;2n - -3时，方程无解.2【例5】 解关于x的方程： 口一匸=m（m n）m n n【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】方程可以化简为 x n - X =0，得到（n -m）x = n2 ,m

7、n2当 n -m =0 时，x 二;n m当n m =0时，将m=n代入=0 ,得到n = 0 .与已知矛盾，方程无解. m n【答案】当n _m =0时，2nX 二n -m当n 一 m =0时，方程无解.【例6】 解关于x的方程：4m2 -x = 2mx 1【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，北京市，中考题，分类讨论思想【解析】移项，应用平方差公式后有 (2m1)x=(2m 1)(2m_1)， 当 2m 1 = 0 时，x = 2m -1 ；1当2m 1=0，即m=)时，x可以取任意值.2【答案】当2m V =0时，x=2m-1 ;1当2m 0，即m 时

8、，x可以取任意值.2【例7】 解关于x的方程：一=1(ab=0)a b【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】-=1 , bx -ax =ab , (b-a)x=ab , a b当a =b时，ab =0，所以此方程无解；b a【答案】当a二b时，方程无解;b a【例8】解关于x的方程：.匚口 匚口 -匕 * cab【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】拆添项，分类讨论思想【解析】原方程可化为：厂 _1) 厂 “ .(x-c-a 一“二。,cab1 1 1(x -a -b -c)()=0,a b c111当 _._._=0 时，=

9、a b c ；a b c111当丄丄1=0时，x可以为任意实数. a b c111【答案】当一一 =0时，x=abc ；abc1 11当=0时，x可以为任意实数.abc【例 9 】 解方程：x-a-b-cx-b-c-d x-a-c-d x-a_b-d_4dabc【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】拆添项，分类讨论思想【解析】原方程变为：x_(a+b+c+d)卜x_(a+b+c+d)卜x_(a+b+c + d)卜x_(a + b+c+d) dabc即: (1 1 1 2)x (a b c d) =0 . a b c d1111 当- -=0时，原方程有无数多个解；a b

10、 c d1111 当0时，原方程的解为：a b c d .a b c d1111【答案】当一 - - 一 = 0时，原方程有无数多个解；a b c d1111当0时，原方程的解为：x = a b c d .a b c d【例10】我们规定：若x的一元一次方程ax=b的解为b-a，则称该方程为定解方程，例如： 3x = 9的解为2939-3 =-,则该方程3x =-就是定解方程.2 22请根据上边规定解答下列问题：(1 )若x的一元一次方程2x =m是定解方程，则 m;(2) 若x的一元一次方程2x =ab a是定解方程，它的解为 a，求a , b的值；(3) 若x的一元一次方程 2x n，m和

11、-2x = m n，n都是定解方程，求代数式2 m 11 - V n -3 mn m ?ml； - mn n 2n 的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】(1)因为一元一次方程 2x二m是定解方程，所以该方程的解为x二m-2，将x二m-2带回原方程，得 2(m -2) =m，解得 m = 4.(2) 因为一元一次方程 2ab a是定解方程，所以该方程的解为x二ab *-2 .又因为该方程的 解为x =a，所以ab a -2 =a，得到：ab =2 .将x =a带回方程2x二ab a得：2 ab a , 解得 a =ab =2，所以 a = 2 , b =1

12、 .(3) 因为一元一次方程 2x = mn m和-2x =mn n都是定解方程，所以两个方程的解分别为：x = mn m -2 , x = mn n 2 .分别将两个解带回方程 2x = mn m和-2x = mn n，得：原式二-2m22一丁 n_3(42m)_2_#J2n-2m _22 4n 3(16 _m) _8 n9= 5(n -m)226+9将 mn m =4 ,mn亠n相减得n-m3，所以原式【答案】(1) 4; (2) a =2 ,b =1 ;(3)黑体小四二、含字母系数的一次方程黑体小四1 .根据方程解的具体数值来确定 楷体五号】若x=3是方程x23【例11=b的一个解，则b

13、 =【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】填空【关键词】代入法【解析】略【答案】11【例12】已知关于x的方程mx +2 =2(m x)的解满足方程x * =0，则m=【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】填空【关键词】北京市海淀区，期末复习题，代入法【解析】略【答案】2【例13】已知方程_a =4(x-1)的解为x =3，则a=2【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】填空【关键词】代入法【解析】根据方程解的意义，把x=3代入原方程，得2 3a=4(3-1)，解这个关于a的方程，得a =10 .mn m = 4 , mn n =-,32(mn m -2) = mn

14、 m，_2( mn n，2) = mn 亠 n，整理得:2【答案】10【例14】如果关于x的方程 m2x_4m8=0的根是x =0，求m的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】解答【关键词】代入法【解析】根据题意可得 m204m8=0 , m=2， m-：2 .【答案】_24【例15】某同学在解方程5x _1 =x 3，把0处的数字看错了，解得 x - 一4，该同学把0看成了3【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】填空【关键词】代入法【解析】略【答案】8【例16】某书中有一道解方程的题：过上1 =x，匚处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方3 程的解是x二_2，

15、那么匚处应该是数字（）A . 7B. 5C. 2D. -2【考点】含字母系数的一次方程【难度】1星【题型】选择【关键词】北京市西城区，期末考试题，代入法【解析】略【答案】B【例17】a =4时，axb =0的解是x =2，那么方程ax= 0的解是什么？【考点】含字母系数的一次方程【难度】2星【题型】解答【关键词】代入法【解析】a =4 时，ax b =0 的解是 x=2，贝U 4 2b=0 , b=8 , 4x，8=0 , x = -2 .【答案】-2【例18】已知-4是方程？kx-6=0的解，则k1999二2【考点】含字母系数的一次方程【难度】2星【题型】填空【关键词】代入法【解析】根据题意

16、可得？k （4）_6=0 ,k一1，则k1999一1.2【答案】-1【例19】已知关于x的方程3a - x =aX - 3的解为x=4，求：a -2a 3a -4a - 5a -6a - . - 99a -100a的值. 2【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】代入法【解析】方程3a x =坐3的解为x =4，则有3a - 4二色-3，求得a = -1 ,2 2a2a 3a4a 5a 6a 99a100a = -50a =50 .【答案】50【例20】若x Jm是方程竺也一1242【考点】含字母系数的一次方程x -的解，求代数式1 -4m2 m-L dm-1的值.3 4

17、2【难度】3星 【题型】解答【关键词】代入法1【解析】将Xu1-代入方程2c,1、2（； m） -m 1 得一242x -m41m m=223，解得m =3 .化简代数式：=-m2 -12 11原式-mm -2m 122当 m =3 时，原式二 _9-1 二-10 .【答案】-10 楷体五号2 .根据方程解的个数情况来确定楷体五号【例21】关于x的方程mx亠4 =3x n，分别求m , n为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解;（3）无解.【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答(3m)x =4 n ,【关键词】2000年，盐城市，中考题，分类讨论思想【解析】方程可以转

18、化为n为任意值时，方程有唯一解;n = Y ,方程有无数解；(3)当 m =3 ,n = /时，无解.【答案】(1)当 m = 3 ,n为任意值时，方程有唯一解;(2)当 m =3 ,n = -4 ,方程有无数解；(3)当 m =3 ,n = /时，无解.【例22】若关于x的方程a(2x - b) =12x 5有无穷多个解，求 a , b值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】2002年，乌鲁木齐市，中考题，分类讨论思想“2a 12 = 05【解析】(2a-12)x =5-ab，要使x有无穷多个解，则，得到：a =6，b = 5.ab5=065【答案】a =6 , b

19、6【例23】已知关于x的方程 m(x-12)有无数多个解，试求 m的值.3 26【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原方程可变形为：0 x =12-6m，因为方程有无数多个解，所以12-6m=0,进而m=2 .【答案】2【例24】已知关于x的方程2a(x -1) =(5-a)x3b有无数多个解，那么 a=, b =【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】5102ax 2a =5x ax 3b，即(3a 5)x =2a 3b，故 3a 5 =0 且 2a 3b =0,即卩 a = , b =39【答案】510a, b =39【例25

20、】已知关于x的方程3a(x 2)=(2b-1)x 5有无数多个解，求 a与b的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】南通市，中考题所以 3a -2b 1 = 0,5 -6a = 0 ,解得:【解析】方程可以化为：(3a -2b，1)x=5-6a ,因为方程有无数多个解,5.7a , b =-.64【答案】a =5 , b =764【例26】已知关于x的方程a（2x_1）=3x_2无解，试求a的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由题意得2a-3=0, a-2=0,即a =?时方程无解.2【答案】32【例27】已知关于x的方程ax

21、=b有两个不同的解x1和x2，求证这个方程必有无数多个解.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】因为 人、X2都是方程ax =b的解，所以a% =b , ax2 =b .从而a（x -x20，又因为x- x2，所以 a =0 .因此，由于a =0且b =0，因此方程ax =b有无数多个解.【例28】已知方程ax 3=：2x_b有两个不同的解，试求 （a - b）1999的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】希望杯”训练题【解析】一个一元一次方程若有两个不同的解，则必有无数个解（先证明之）原方程可化简为（a-2）x=-b-3

22、 ,由题意，a 2 =0 ,七3 = 0 .故答案为-1 .【答案】-1楷体五号3 .根据方程定解的情况来确定楷体五号【例29】若a , b为定值，关于x的一元一次方程2k - = 2，无论k为何值时，它的解总是x =1，求a36和b的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】代入法【解析】因为该方程的解为 x=1，代入原方程可得到：细一口 =2，即4ak =13-b，又因为原方程的36解不论k取何值时都是x=1，这说明方程 有无数多个解，即4a =0且13 -b=0，所以a=0, b=13 .【答案】a =0 , b =13【例30】如果a、b为定值，关于x的方程2k

23、x 2 bk，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的36值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】代入法2k +a1 _bk【解析】无论 k为何值 一 ？二2亠-为恒等式，4k 2a =12 1_bk , (4 b)k =13 _2a，即4，b = 0且3613 -2a =0，故 b - -4 ,13a 二2【答案】a二13 , b2【例31】若a、b为定值，关于x的一元一次方程 竺 a _ x 一伙=2，无论k为何值时，它的解总是 x = 1 ,36求2a 3b的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】2006年，北师大附中，初一上学期期中考

24、试题，代入法2kx +a x bk【解析】方程 =2可化为：(4k -1)x 2a bk =12 ,由该方程总有解 x=1可知36工4 b =04k -1 2a bk =12，即(4 b)k=13-2a，又 k 值为任意，故,2a 3b =1 .J3 - 2a = 0【答案】1【例32】如果不论k为何值，x = -1总是关于x的方程 竺工_竺也 =1的解，则a -23b 二.【考点】含字母系数的一次方程 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】山东省，竞赛题，代入法3 -2b =03a 10 =0求得【解析】原方程整理为以 k为未知数的方程(3 -2b)k =3a 10 对于任何实数k的方程有x

25、=1，所以有10,3a , b =32【答案】10a =3【例33】当a取符合na *3=0的任意数时，式子 ma 一2的值都是一个定值，其中 m - n =6 ,求m , n的值. n a +3【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】显然a =0时，有na，所以竺三的定值为_2，即:n a+33【答案】m12518ma 一2 = ，从而 3ma 亠2na = 0，其 na 33-18，m=12 当然a取特殊值即可.55中 m -n =6 ,故 3（n 6）a 2na =0 ,即卩（5n 亠 18）a =0,故 n楷体五号4 根据方程整数解的情况来确定楷体五号【例

26、34】m为整数，关于x的方程x=6mx的解为正整数，求 m的值.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由原方程得：x= , x是正整数，所以 m 1只能是6的正约数，它们是1, 2, 3, 6，所以m为m +10, 1, 2, 5.【答案】0, 1 , 2, 5.【例35】若关于x的方程9x_17=kx的解为正整数，则 k的值为.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】填空【关键词】2000年，河南省，竞赛题【解析】9x -17 =kx可以转化为（9-k）x=17，即：x=17 , x为正整数，则k=8或-8 .9-k【答案】8或-8【例36】已知关于x

27、的方程9x_3=kx 14有整数解，那么满足条件的所有整数k=.【考点】含字母系数的一次方程【难度】4星【题型】填空【关键词】五羊杯”竞赛题17【解析】x，则 9k=1, 17, -1 , -17.即：k =8, -8, 10, 26.9 k【答案】8, -8, 10, 26【例37】已知a是不为0的整数，并且关于 x的方程ax =2a3 -3a2 -5a 4有整数解，则a的值共有（）A . 1个B . 3个C. 6个D. 9个【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】选择【关键词】第十一届，希望杯”，邀请赛试题24【解析】由原方程可知，x =2a _3a _5 -.由于a是不为0的整数

28、且x为整数，所以a = 1, -1, 2, -2, 4,a-4.【答案】C_一 25x5x【例38】若方程 竺 _a =兰142有一个正整数解，则 a取的最小正数是多少？并求出相应方程的解.28【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】由题意得 x ll91 8a，即当8a -时，a，代入得x=12 .9595959521【答案】a = , x =122【例39】已知a为正整数，关于x的方程5x-a =8x 142的解为整数，求a的最小值.25【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，北大附中，初一上学期期中考试题10a1420 9a

29、 157 9 a 7 a 7【解析】xa 157,由于a为正整数，x为整数，故a的最小值为2.999【答案】2楷体五号5.根据方程同解的情况来确定楷体五号k 【例40】若(k - m)x -4=0和(2k -m)x -1 =0是关于x的同解方程，贝U -2的值是.m【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星【题型】填空【关键词】k5【解析】方程(2 k m)x -1 =0等号两边乘以-4得(4 m -8k)x，4=0，故k，m=4m 8k，贝U-2 -.m35【答案】-53x 亠 a 1 - 5x3一a -=1有相同的解，求这个相同的解.123【例41】已知关于x的方程3 x-2(x-?) =4x，和方程-3【考点】含字母系数的一次方程【难度】5星8【题型】解答【关键词】第10届，迎春杯”，竞赛题【解析】由方程3x2(xa)=4x得到,-37，3x a 1 -5x27 2a由万程1得到x=12 8 21所以空二27空，得到a二27，代入得到x二27 721828【答案】耳28【例42】已知关于x的方程3 x2 xa =4x和方程 逖 a 一上空=1有相同的解，求出方程的解. IL