高考数学一轮复习 第十四章 选修4系列 14.3 不等式选讲 理 北师大版选修4-5

1、14.3选修45不等式选讲,考纲要求:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|c-b|(a,bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c,|ax+b|c,|x-c|+|x-b|a.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(

2、a-b)(b-c)0时,等号成立,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立,3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向

3、量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立. 5.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)不等式|x|a的解集为x|-axa. () (2)|a+b|+|a-b|2a|. () (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和. () (4)不等式|a-b|a|+|b|等号成立的条件是ab0. () (5)已知x为正实数,则1+x+ 3. (,1,2,3,4,5,2.(2015南昌模拟)若不等式 |a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是

4、() A.2a3B.1a2 C.1a3D.1a4,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015西安模拟)若ab1,x=a+ ,y=b+ ,则x与y的大小关系是() A.xyB.xyC.xyD.xy,答案,解析,1,2,3,4,5,4.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为,答案,解析,1,2,3,4,5,5.关于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集,则参数a的取值范围为,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的条件.对|a+b|a|-|b|,当且仅当a-b0时,等号成立;对|a|-|b|a-b|a|+|b|,如果a0)的不等式一般可用零

5、点分段法求解,利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 3.求函数y=|x-a|+|x-b|的最值问题,一般利用绝对值三角不等式,但要找出等号成立的条件,只有等号成立,才存在最值,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点1含绝对值不等式的解法 例1(2015河北石家庄二中一模)设f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求f(x)x+2的解集; (2)若不等式 对任意实数a0恒成立,求实数x的取值范围,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,思考:绝对值不等式的常见解法有哪些? 解题心得:绝对值

6、不等式的常见解法有: (1)解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次或一元二次不等式(组)进行求解. (2)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,其一般步骤为: 令每个含绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根; 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间; 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集; 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,3)对于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|m(m为正常数)的不等式,利用实数绝对值的几何意义求解较简便

7、,即利用数形结合法,把绝对值转化为数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,对点训练1(2015河北衡水中学二模)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,xR. (1)解不等式f(x)5; (2)若不等式m2-mf(x),对xR都成立,求实数m的取值范围,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点2绝对值三角不等式的应用 例2设函数f(x)= +|x-a|(a0). (1)证明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范围,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,思考:如

8、何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值? 解题心得:求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,对点训练2如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|a的解集不是空集,求实数a的取值范围,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点3含参数的绝对值不等式问题 例3(2015课标全国,理24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a

9、|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,思考:求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么? 解题心得:求解含参数的绝对值不等式问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的基本方法,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,对点训练3已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时,f(x)g(x),求a的取

10、值范围,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点4不等式的证明 例4(2015课标全国,理24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,思考:证明不等式常用的方法有哪些? 解题心得:证明不等式常用的方法有:(1)比较法证明不等式:作差比较法;作商比较法. (2)用分析法证明不等式:使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件. (3)用综合法证明不等式:在用综合法证明不等式时,常

11、用到不等式的性质和基本不等式等,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,对点训练4(2015辽宁丹东二模)已知a,b为正实数. (1)若a+b=2,求 的最小值; (2)求证:a2b2+a2+b2ab(a+b+1,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点5柯西不等式的应用 例5(2015福建,理21)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (1)求a+b+c的值; (2)求 的最小值,解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-axb时,等号

12、成立. 又a0,b0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c. 又已知f(x)的最小值为4, 所以a+b+c=4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,思考:如何利用柯西不等式证明不等式或求最值? 解题心得:1.用柯西不等式证明时,一般需要对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,然后再根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式进行证明. 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为 在使用柯西不等式时,要注意右边为常数和等号成立的条件,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,对点

13、训练5(2015陕西,理24)已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值; (2)求 的最大值,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图象,通过图象的位置关系可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.不等式求解和证明中应注意的事项 (1)作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构. (2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,知识方法,易错易混,1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论