2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元解析几何

1、数学H单元解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程6，2014 建卷福 已知直线 l 过圆 x2 (y 3)24 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是 ()A x y 2 0B x y 2 0Cx y 3 0D x y 3 06 D 解析 由直线 l 与直线 x y 1 0 垂直，可设直线 l 的方程为 x ym 0.又直线 l 过圆 x2 (y 3)2 4的圆心 (0，3)，则 m 3，所以直线 l 的方程为 x y3 0，故选 D.20、2014 国新课标卷全 已知点 P(2，2) ，圆 C：x2 y2 8y 0，过点 P 的动直线l 与圆 C 交于 A， B 两点，

2、线段AB 的中点为M， O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当 |OP| |OM |时，求 l 的方程及 POM 的面积20 解： (1)圆 C 的方程可化为x2 (y 4)2 16，所以圆心为C(0， 4)，半径为4.设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x， 2 y)由题设知 CM MP 0，故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0，即 (x 1)2 (y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x 1)2 (y 3)2 2.(2)由 (1) 可知 M 的轨迹是以点N(1， 3)为圆心，2为半径的圆由于 |OP| |OM|，故 O 在

3、线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON PM .因为 ON 的斜率为 3，所以直线l 的斜率为 1，3故 l 的方程为 y183x .3又 |OM | |OP | 2 2， O 到直线 l 的距离为 4 510，故 |PM | 4 10，所以 POM 的面积为 1655 .21、 2014 重庆卷 如图 1-5，设椭圆x2y2F 1，a22 1(a b 0)的左、右焦点分别为b|F 1F 2|2F2，点 D 在椭圆上， DF 1 F 1F 2， |DF 1| 22， DF 1F 2的面积为 2 .(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在x 轴的上

4、方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程； 若不存在， 请说明理由图 1-521 解： (1)设 F 1( c， 0)， F2(c， 0)，其中 c2 a2 b2.由|F1F2|2得 |DF 1|F1F2|2 222c.|DF |21从而 S DF1|DF 1|F 1F 2|22，故 c 1.1F 22c222从而 |DF 1|2.由 DF 1 F1 F2 得 |DF 2|2 |DF 1|2 |F 1F 2|2 9，因此 |DF 2|32，222所以 2a |DF 1 | |DF 2| 22，故 a2， b2 a2 c21.2因此，所求椭

5、圆的标准方程为x y2 1.2(2)如图所示，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 x2 y2 1 相交， P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)是两2个交点， y1 0，y2 0，F 1P1，F 2P2 是圆 C 的切线，且 F 1P1 F2P2 .由圆和椭圆的对称性，易知， x2 x1， y1 y2.由 (1)知 F121 1 (x112 2 ( x111 1( 1，0)，F(1，0)，所以 F P 1，y )，F P1， y ) 再由 F PF P 得 (x 1)2 y2 0.221124或 x由椭圆方程得1 x1 (x1)2，即 3x21 0.211 4x1 0，解得 x13当 x1

6、0 时， P1， P2 重合，题设要求的圆不存在当 x1 4时，过 P1 ，P2 分别与 F1P1， F2P2 垂直的直线的交点即为圆心C.设 C(0，y0 )，3由 CP1 F1P1，得 y1 y0 y1 1.x1x1 1而 y1 |x1 1|1，故 y0 5.3322圆 C 的半径 |CP1| 4 15 42.3333综上，存在满足题设条件的圆，其方程为5232x2 y 39 .H2 两直线的位置关系与点到直线的距离6，2014 福建卷 已知直线 l 过圆 x2 (y 3)24 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是 ()A x y 2 0B x y 2 0Cx y 3

7、0D x y 3 06 D 解析 由直线 l 与直线 x y 1 0 垂直，可设直线l 的方程为x ym 0.又直线 l 过圆 x2 (y 3)2 4 的圆心 (0，3)，则 m 3，所以直线l 的方程为 x y3 0，故选 D.18、2014 苏卷江 如图 1-6 所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点 A 位于点 O 正北方向60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向170 m 处 (OC

8、为河岸 )， tan4BCO 3.(1)求新桥 BC 的长(2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图 1-618 解：方法一：(1)如图所示，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知 A(0, 60), C(170， 0)，直线 BC 的斜率 kBC tan BCO 43.3又因为ABBC, 所以直线AB 的斜率 kAB 4.设点 B 的坐标为 (a， b)，则 kBC b 0 4， kAB b 60 3，a 1703 0 4a解得 a 80, b120，所以 BC （ 170 80） 2（ 0 120） 2 150.因此新桥 BC 的长是 150

9、m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为 r m,OM d m (0 d 60)由条件知，直线 BC 的方程为 y 4(x 170)，3即 4x3y 6800.由于圆 M 与直线 BC 相切，故点M(0, d)到直线 BC 的距离是r，即 r |3d 680| 680 3d.42 325r d 80，因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r（ 60 d） 80，680 3d d 80，5即680 3d（ 60 d） 80， 5解得 10 d 35.故当 d 10 时，r 680 3d最大，即圆面积最大，5所以当 OM 10 m 时，圆形保护区的面积最大方法二：(1)如

10、图所示，延长OA, CB 交于点 F.因为tan FCO 4，3所以 sin FCO 4， cos FCO 3.55因为 OA 60， OC 170，所以 OF OC tan FCO 680， CF OC850， 从而 AF OF OA5003cos FCO33 .因为 OA OC, 所以 cos AFB sin FCO 4.5又因为ABBC，所以 BF AFcos AFB 4003， 从而 BC CF BF 150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，则 MD BC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD r m， OM d

11、m (0 d60)因为 OA OC, 所以 sin CFO cos FCO.故由 (1)知 sin CFO MD MDr3， 所以 r680 3d5.MFOF OM680 d53因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，r d 80，所以r （ 60d） 80，680 3d d 80，5即680 3d（ 60 d） 80，解得 10 d 35.故当 d 10 时， r 680 3d最大，即圆面积最大，5所以当 OM 10 m 时， 圆形保护区的面积最大22、2014 全国卷 已知抛物线 C：y2 2px(p 0)的焦点为 F，直线 y 4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的

12、交点为 Q，且 |QF |5|PQ |.4(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线l与 C 相交于 M，N 两点，且 A， M， B， N 四点在同一圆上，求l 的方程02 2px，得 x08，22 解： (1)设 Q(x ， 4)，代入 yp所以 |PQ| 8， |QF| p x0p8.p22p由题设得 p858，解得 p 2(舍去 )或 p 2，2p 4p所以 C 的方程为 y2 4x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为 x my 1(m0) 代入 y2 4x，得 y2 4my 4 0.设 A(x1， y1)，

13、 B(x2， y2)，则 y1 y2 4m， y1y2 4.故线段 AB 的中点为 D (2m2 1， 2m)，|AB|m2 1|y1 y2 |4(m2 1)又直线 l 的斜率为 m，所以 l 的方程为x 1 y 2m2 3.m将上式代入y2 4x，并整理得y2m4 y4(2m2 3) 0.设 M(x3， y3)，N(x4 ，y4)，则 y3 y4 4 ， y3y4 4(2m2 3) m故线段 MN 的中点为 E22 2m2 3， 2，mm14（ m2 1） 2m2 1|MN |1m2|y3 y4|m2.由于线段 MN 垂直平分线段AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于|AE| |BE

14、| 1|MN |，2从而11|MN |2，即|AB|2 |DE |2444(m2 1)22m 2 222 22mm4（ m2 1） 2（ 2m2 1），m4化简得 m2 10，解得 m 1 或 m 1.所求直线 l 的方程为 x y 10或 x y 1 0.x2 y221、 2014 重庆卷 如图 1-5，设椭圆 a2 b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F 1，|F F|2F2，点 D 在椭圆上， DF 1 F 1F 2，12 22， DF 1F 2 的面积为.|DF 1|2(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处

15、的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程； 若不存在， 请说明理由图 1-521 解： (1)设 F 1( c， 0)， F2(c， 0)，其中 c2 a2 b2.由|F1F2|2得 |DF 1|F1F2|2 222c.|DF 1|2S DF1222，故 c 1.从而1F 2 2|DF 1|F 1F 2| 2 c 22932从而 |DF 1| 2 .由 DF 1 F1 F2得 |DF 2|2 |DF 1|2 |F 1F 2|22，因此 |DF 2|2，所以 2a |DF 1 | |DF 2| 22，故 a2， b2 a2 c21.因此，所求椭圆的标准方程为x2 y2 1.2(

16、2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆 x2 y2 1 相交， P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)是两2个交点， y1 0，y2 0，F 1P1，F 2P2 是圆 C 的切线，且 F 1P1 F2P2 .由圆和椭圆的对称性，易知， x2 x1， y1 y2.由 (1)知 F11 (x12112 2 ( x111 1( 1，0)，F(1，0)，所以 F P1，y )，F P1， y ) 再由 F PF 2P2 得 (x1 1)2 y12 0.22，即 3x24或 x由椭圆方程得1 x1 (x1 0.21 1)1 4x1 0，解得 x13当 x1 0 时， P1， P2 重合，题设要求

17、的圆不存在当 x14时，过 P12112 2垂直的直线的交点即为圆心0 3，P分别与 FP ， F PC.设 C(0，y )，由 CP111y1 y0 y1 1.FP ，得x11x 1而 y1 |x1 1| 13，故 y0 53.圆 C 的半径 |CP1| 4 2152 42.3333综上，存在满足题设条件的圆，其方程为2x2y 5 32.39H3 圆的方程6，2014 福建卷 已知直线 l 过圆 x2 (y 3)24 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l的方程是 ()A x y 2 0B x y 2 0Cx y 3 0D x y 3 06 D 解析 由直线 l 与直线 x y 1

18、0 垂直，可设直线l 的方程为 x ym 0.又直线 l 过圆 x2 (y 3)2 4 的圆心 (0，3)，则 m 3，所以直线 l 的方程为 x y3 0，故选 D.17 2014 湖北卷 已知圆 O： x2 y2 1 和点 A( 2， 0)，若定点 B(b，0)( b 2)和常数 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有 |MB | |MA |，则(1)b _；(2) _1(2)1 解析 设点 M (cos ，sin )，则由 |MB| |MA |得 (cos b)217 (1) 2222（cos 22222sin 2） sin ，即 2bcos b 14cos 5 对任意的 都2b 1， 2

19、b4，2成立，所以22 又由 |MB| |MA|，得 0，且 b 2，解得1b 1 5. 2.18、2014 江苏卷 如图 1-6 所示，为保护河上古桥 OA ，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 (OC 为河岸 )， tan4BCO 3.(1)求新桥 BC 的长(2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图 1-618 解：方法一

20、：(1)如图所示，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知 A(0, 60), C(170， 0)，4直线 BC 的斜率 kBC tan BCO 3.3又因为ABBC, 所以直线AB 的斜率 kAB 4.则 kBC b 0 4， kAB b 60 3，a 1703a 0 4解得 a 80, b120，所以 BC （ 170 80） 2（ 0 120） 2 150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为 r m,OM d m (0 d 60)由条件知，直线 BC 的方程为 y 4(x 170)，3即 4x3y 6800.由于圆

21、 M 与直线 BC 相切，故点M(0, d)到直线 BC 的距离是r，即 r |3d 680| 680 3d.42 325r d 80，因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r（ 60 d） 80，680 3d d 80，5即680 3d（ 60 d） 80， 5解得 10 d 35.故当 d 10 时，r 680 3d最大，即圆面积最大，5所以当 OM 10 m 时，圆形保护区的面积最大方法二：(1)如图所示，延长OA, CB 交于点 F.4因为 tan FCO 3，所以 sin FCO 4， cos FCO 3.55因为 OA 60， OC 170，所以 OF

22、OC tan FCO 680， CF OC850， 从而 AF OF OA 5003cos FCO33 .因为 OA OC, 所以 cos AFB sin FCO 4.5400又因为 ABBC，所以 BF AFcos AFB 3， 从而 BC CF BF 150.因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，则 MD BC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD r m， OM d m (0 d60)因为 OA OC, 所以 sin CFO cos FCO.故由 (1)知 sin CFO MD MDr3， 所以 r680 3d5.MFOF

23、 OM68053 d因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，r d 80，所以r （ 60d） 80，680 3d d 80，5即680 3d（ 60 d） 80，5解得 10 d 35.故当 d 10 时， r 680 3d最大，即圆面积最大，5所以当 OM 10 m 时， 圆形保护区的面积最大20、 2014 辽宁卷 圆 x2 y2 4 的切线与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图 1-5 所示 )图 1-5(1)求点 P 的坐标；(2)焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 P，且与直线 l： y x3交于 A， B 两点，若

24、PAB 的面积为2，求 C 的标准方程0000x0，切线方程为 y y020解： (1)设切点坐标为 ( x，y )(x 0， y0)，则切线斜率为 y0 x0000y 4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4 ， 0，( x x )，即 x x yx00y0，4，其围成的三角形的面积144822知当且仅当x0 y0yS .由 x0 y0 4 2x0y02x0y0x0y002时 x0y0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为 (2， 2)22(2)设 C 的标准方程为x y 1(a b0)，点 A(x1122上知2a2b2， y )， B(x ，y )由点 P 在 C2ax2 y

25、2 1，22 1，并由 a2b2得 b2x2 43x6 2b2 0.by x3，43又 x1， x2 是方程的根，所以x1 x2 b2，6 2b21 2x xb2.由 y1 x1 3， y2 x2 3，得461248 24b2 8b4|AB|3|x x | 2b2.由点 P 到直线 l 的距离为3及 SPAB 13|AB| 2，得 |AB| 46，即 b4 9b2 180，2223解得 b26 或 3，因此 b2 6，a2 3( 舍)或 b2 3，a2 6，从而所求 C 的方程为 x2 y21.6320、2014 国新课标卷全 已知点 P(2，2) ，圆 C：x2 y2 8y 0，过点 P 的

26、动直线l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当 |OP| |OM |时，求 l 的方程及 POM 的面积20 解： (1)圆 C 的方程可化为x2 (y 4)2 16，所以圆心为C(0， 4)，半径为4.设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x， 2 y)由题设知 CM MP 0，故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0，即 (x 1)2 (y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x 1)2 (y 3)2 2.(2)由 (1) 可知 M 的轨迹是以点N(1， 3)为圆心，2

27、为半径的圆由于 |OP| |OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又P 在圆 N 上，从而 ON PM .因为 ON 的斜率为 3，所以直线l 的斜率为 1，3故 l 的方程为 y183x .3又 |OM | |OP | 2 2， O 到直线 l 的距离为 4 510，故 |PM | 410，所以 POM 的面积为 1655 .H4直线与圆、圆与圆的位置关系52014 浙江卷 已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线 x y2 0 所得弦的长度为4，则实数 a 的值是 ()A 2B 4C 6D 85B 解析 圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 a，r 2 2 a，则圆

28、心 ( 1，1)到直线 x y 20的距离为 | 1 12|2.由 22 ( 2) 2 2a，得 a 4, 故选 B.26 2014 安徽卷 过点 P(3， 1) 的直线 l 与圆 x2 y2 1 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ()A. 0， 6B.0， 3C. 0， 6D.0， 36D 解析 易知直线 l 的斜率存在，所以可设l： y 1 k(x 3)，即 kx y 3k1 0.因为直线 l 圆 x2 y2 1 有公共点，所以圆心 (0，0)到直线 l 的距离 | 3k 1| 1，即 k21 k2 3k0，解得 0 k 3，故直线 l 的倾斜角的取值范围是0， 3 .72014

29、京卷北 已知圆 C：(x 3)2 (y 4)2 1 和两点 A( m，0)，B( m，0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90，则 m 的最大值为 ()A 7 B 6C5D 47 B 解析 由图可知，圆 C 上存在点 P 使 APB 90，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点，所以32 42 1 m 32 42 1，即 4 m 6.x y 7 0，11，2014 福建卷 已知圆 C：(x a)2 (y b)2 1，平面区域：xy 3 0，若圆y0.心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2 的最大值为 ()A 5 B 29C37D 49x y 7 0，11 C解析 作出

30、不等式组x y3 0，表示的平面区域(如下图阴影部分所示，y 0含边界 )，圆 C： (x a)2(y b)2 1 的圆心坐标为 (a，b)，半径为1.由圆 C 与 x 轴相切，得x y7 0， x 6，的交点坐标为 (6，1)，b 1.解方程组得即直线 x y 7 0 与直线 y1y 1，y 1，设此点为 P.又点 C，则当点C 与 P 重合时， a 取得最大值，所以， a2b2 的最大值为 62 12 37，故选 C.21 2014建卷福 已知曲线上的点到点F(0， 1)的距离比它到直线y 3 的距离小2.(1)求曲线 的方程(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N.以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B.试探究：当点 P 在曲线 上运动 (点 P 与原点不重合 )时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论21 解：方法一： (1)设 S(x， y)为曲线 上任意一点依题意，点 S 到点 F(0， 1)的距离与它到直线 y 1 的距离相等，所以曲线 是以点 F(0， 1)为焦点，直线 y 1 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 x2 4y.(2)当点 P 在曲线 上运动时，线段AB 的长度不变证明如下：由 (1)知抛物线 的方程为 y 1x