高中数学 3.4基本不等式2 新人教A版必修5

1、编辑课件,3.4 基本不等式,编辑课件,2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标,编辑课件,思考：这会标中含有怎样的几何图形,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系,探究1,编辑课件,a,b,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积和是S,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S,问3：S与S有什么样的关系,从图形中易得， s s,即,探究1,编辑课件,探究2,问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,形的角度,数的角度,当a=

2、b时a2+b22ab=(ab)2=0,编辑课件,思考：当a,b为任意实数时， a2+b22ab是否成立,编辑课件,重要不等式,若a,bR，那么a2+b22ab (当且仅当a=b时，取“=”号,编辑课件,基本不等式,编辑课件,概念,1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数,2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项,编辑课件,几何解释,半径不小于半弦,编辑课件,例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m,当且仅当x=y时等号成立，此时x=

3、y=10,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m,结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两个正变量相等时取最值,编辑课件,2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m,则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18,矩形菜园的面积为xym2,18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两个正变

4、量相等时取最值,编辑课件,应用基本不等式求最值的条件,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,编辑课件,例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低,编辑课件,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: 由容积为4800m3,可得

5、:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得 即 当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元,编辑课件,学生活动,1. x0时，当x取什么值时，x+1/x的值最小？最小值是多少？ 2.直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 3.用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折? 4.做一个体积为32，高为2m的长方形纸盒，底面长和宽取什么值时用纸最少,编辑课件,1. 两个不等式 （重要不等式） （基本不等式） 当且仅当a=b时，等号成立 注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立