多边形与三角形习题

1、2014年1月cccgir的初中数学组卷一 选择题（共5小题）1. （2006?日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A, B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以 A，B, C为顶点的三角形面积为 1，则点C的个数为（）BAA . 3 个B . 4 个|C. 5 个|D. 6 个2. 已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为（）A . 6 个B . 8 个C. 10 个D. 12 个3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶

2、点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且 ABC为等腰三角形，则点 C的个数为（ ）ABA.7B .8c.9D.104. （2007?呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是/A，/ B ,Z C,如果a= / A+ / B , 3= / B+ / C, Y / C+Z A，那么a, 3 丫这三个角中（）A .没有锐角B .有1个锐角|C.有2个锐角|D.有3个锐角5. （2013?延安二模）现有 2cm, 4cm, 5cm, 8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A . 1 个B . 2 个|C. 3 个|D. 4 个二.填空题（共6小题）6. 已知在正

3、方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示.若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2,则这样的平行四边形有个.BA7.已知 ABC , (1如图，若 P点是/ ABC和/ ACB的角平分线的交点，则/(2)如图，若P点是/ ABC和外角/ ACE的角平分线的交点，则/P=90-/ A ;CBF和/ BCE的角平分线的交点，则/ P=.i- -吉厶.28如图，对面积为1的厶ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、Ci,使得AiB=2AB，B1C=2BC，fDis,贝y s=9.

4、( 2012?门头沟区一模)如图，对面积为 1的厶ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至 Ai、Bi、Ci,使得 AiB=2AB , BlC=2BC , ClA=2CA，顺次连接 Al、Bi、Ci,得到 AiBiCi,记其面积为 Si; 第二次操作，分别延长AiBi,BiCi,CiAi 至 A2,B2,C2,使得 A2Bi=2AiBi,B2Ci=2BiCi,C2Ai=2CiAi，顺次连接A2, B2, C2,得到 A2B2C2,记其面积为S2，按此规律继续下去，可得到 A5B5C5，则其面积为S5=10.如图，对面积为1的平行四边形 ABCD逐次进行以下操作：第一次

5、操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，Bl, Ci, Di,使得 Aib=2AB , B1C=2BC , C1D=2CD , D1A=2AD，顺次连接 Al, Bl, Ci, Di,得到平行四边 形 A1B1C1D1,记其面积为 S1;第二次操作，分别延长 A1B1, B1C1, C1D1、DA 1 至点 A2,B2,C2,D2,使得 A2B1=2A 1B1, B2C1=2B1C1, C2D1=2C1D1, D2A1=2A1D1，顺次连接A2, B2, C2, D2记其面积为S2；按此规律继续下去，可 得到平行四边形 A5B5C5D5,则其面积S5=.11. （2006?沈阳）已知点I

6、是厶ABC的内心，/ BIC=130 则/ BAC的度数是 度.三.解答题（共3小题）12 .已知 ABC .(1)如图1,(2)如图2,(3)如图3,P点为/ ABC和/ACB的角平分线的交点，试说明：/P=90 + - / A ;2P= / A;2P=90 -/ A .2P点为/ ABC和外角/ ACD的角平分线的交点，试说明：/P点为外角/ CBD和/ BCE的角平分线的交点，试说明：/13.对面积为1的厶ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB , B1C=2BC , C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1,得到 A1B1C

7、1,记其面积为S1;第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、 C1A1 至点 A2、B2、C2,使得 A2B1=2A1B1 , B2C1=2B1C1, C2A1=2C1A1,顺次连接 A2、B2、C2,得到 A2B2C2, 记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到 AnBnCn.(1)求面积Si; (2)求面积Sn.i4.阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图使得 AiB=2AB , BiC=2BC , 小明是这样思考和解决这个问题的：如图AB、BC、CA 至 A i、Bi、Ci,顺次连接Ai、Bi、Ci,得到 AiBiCi，记其面积为Si，求Si的值.2,连接 AiC、BiA、CiB，因为

8、 AiB=2AB , BiC=2BC , CiA=2CA，根据二7一，由此继续推理，从而解决1,对面积为a的厶ABC逐次进行以下操作：分别延长CiA=2CA ,等高两三角形的面积比等于底之比，所以B1a的式子表示).(1) 直接写出Si=(用含字母 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：(2) 如图3, P ABC内一点，连接 AP、 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求(3) 如图4,若点P ABC的边AB上的中线CF的中点，求 SAPEBP、CP并延长分别交边 BC、AC、AB于点D、E、F,则把 ABC ABC的面积.与Sbpf的比值.C参考答案与试题解析一 选择

9、题（共5小题）1. （2006?日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A, B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以 A，B, C为顶点的三角形面积为 1，则点C的个数为（）BAA . 3 个B . 4 个|C. 5 个|D. 6 个考点：三角形的面积.专题： 压轴题；网格型.分析：怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏，按照点 C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时， AC边上的高为1, AC=2，符合条件的点 C有4个；当点C与点B在同一条 直线上时，BC边上的高为1 , BC=2，符合条件的点 C有2个.解答： 解：C

10、点所有的情况如图所示：c21B0Aqu故选D .点评：此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏.A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A、B为D. 12 个2. 已知在正方形网格中，每个小方格的边长都相等, 顶点的网格平行四边形的个数为（）L3考点：平行四边形的判定.专题：网格型.分析：；根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，显然图中以A、B为顶点的网格平行四边形的个数为 12个.解答：解：如图所示，根据平行四边形的定义，则以AB为边的网格平行四边形有 6个，以AB为对角线的网格平行四边形有 6个，则共有12个.故选D.A . 6 个B . 8 个|C. 10 个33

11、XAB为边或对角线找到点评： 本题考查了平行四边形的判定，此题要能够根据平行四边形的定义，分别以 所有的平行四边形.3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且 ABC为等腰三角形，则点 C的个数为（ ）考点：等腰三角形的判定；勾股定理. 专题：分析：网格型.根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况： 点C以点A为标准，AB为底边；点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边.解答： 解：点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个;点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点 C的有4个. 所以符合

12、条件的点 C共有9个.故选C.F1PkL1A1BJ点评： 此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学 知识来求解注意数形结合的解题思想.4. （2007?呼伦贝尔）锐角三角形的三个内角是/A，/ B,/ C,如果a= / A+ / B , 3= / B+ / C, Y / C+Z A，那么a, 3丫这三个角中（）A. 没走有锐角B 有1个锐角C.有2个锐角D.有3个锐角考点：三角形的外角性质.分析：根据三角形的外角性质，及锐角三角形的性质作答.解答：解：由于锐角三角形中三个都是锐角，而a, 3 丫分别是其外角，根据三角形外角的性质，可知a, 3, 丫

13、这三个角都是钝角. 故选A .点评：此题主要考查了三角形内角与外角的关系.(1) 三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和;(2) 三角形的任一外角任何一个和它不相邻的内角.5. (2013?延安二模)现有 2cm, 4cm, 5cm, 8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三 角形的个数为()A . 1 个B . 2 个|C. 3 个|D. 4 个考点：三角形三边关系.分析：首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.解答：解：其中的任意三条组合有共四种情况，根据三角形的三边关系，则 故选B.2cm

14、、4cm、5cm; 2cm、4cm、8cm; 4cm、5cm、8cm; 2cm、5cm、8cm2cm、4cm、5cm; 4cm、5cm、8cm 符合，点评：此题考查了三角形的三边关系. 是否大于第三个数.关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和二.填空题(共6小题)6. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示.若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2,则这样的平行四边形有6个.BA考点：平行四边形的判定.专题：网格型.分析：根据平行四边形 ABCD的面积为2可以推知

15、：平行四边形的底边长为 2，高为1 ;正方形的边 长为坂；可通过在正方形网格中画图得出结果.6解答： 解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：？ABC2D3、？ABC1D2、？AC1BD1、？AC2BC3、正方形ABD 1C2正方形ABC 3C1.故答案为：6.点评： 本题考查了平行四边形的判定本题应注意数形结合，防止漏解或错解.7. 已知 ABC , (1)如图，若 P点是/ ABC和/ ACB的角平分线的交点，则/ P 匕;考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理.分析：根据三角形的内角和外角之间的关系计算.解答：解: (1)正确；(2) vZ A= Z ACE -Z ABC=2 Z

16、PCE- 2Z PBC=2 (Z PCE-Z PBC) Z P=Z PCE -Z PBC 2Z P=Z A故( 2 )的结论是错误.(3) Z P=180-(Z PBC+ Z PCB)=180。-号(Z FBC+ Z ECB)=180 -g (Z A+ Z ACB+ Z A+ Z ABC )2=180。-号(Z A+180 =90 - 3-Z A .2正确.故填(1) ( 3).(1) (3)ACE的角平分线的交点，则/P=90 -Z A ;CBF和/ BCE的角平分线的交点，则/P=点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2） 三角形的内

17、角和是 180度.求角的度数常常要用到三角形的内角和是180这一隐含的条件.&如图，对面积为1的厶ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点Ai、Bi、Ci,使得AiB=2AB , BiC=2BC, CiA=2CA，顺次连接A1、BC1,得到 A1B1C1,记其面积为S,则S= 19 .州B1考点：三角形的面积.分析：连接A1C,根据图示可知 AA 1C与厶ABC是同高的两个三角形，由题意可以求得Saaa1C=3Saabc=3, 则 saAA1C1 =2Saaa1C=6. Saa1B1C1=3S AA1C1+S abc=19S abc 解答：解：如图，连接 A1C.T BA 1=2AB,

18、二 AA 1=3AB ,Sa aa1C=3Sa abc，Sa AA1C1 =2SaAA1C =6Sa abc，所以 saA1B1C1 =3SaAA1C1 +Saabc=19Saabc=19 xi=19，即 S=19.故答案是：19.点评：本题考查了三角形的面积.解答此题的难点是将所求三角形的面积与已知三角形的面积的数量关系找 出来.9. （2012?门头沟区一模）如图，对面积为 1的厶ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至 A1、B1、C1,使得 A1 B=2AB , B1C=2BC , C1A=2CA，顺次连接 A1、B1、C1,得到 A1B1C1,记其面积为 & ;

19、 第二次操作，分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至A2,B2,C2,使得 A2B1=2A1B1,B2C1=2B 1C1,C2A1=2C1A1，顺次连接A2, B2, C2,得到 A2B2C2,记其面积为S2，按此规律继续下去，可得到 A5B5C5，则其面积为S5=2476099 .第n次操作得到 AnBnCn,则厶AnBnCn的面积Sn= 19 .考点：三角形的面积.专题：规律型.分析：连接AiC，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积.解答：解：连接AiC；Sa aaic=3Sa abc=3 ,Sa AA1C1 =2Saaaic =6,所以 Sa

20、A1B1C1 =6 3+1=19 ;同理得 SaA2B2C2=19 9=361;Sa a3B3C3=361 9=6859,Sa a4B4C4=6859 9=130321 ,Sa A5B5C5=130321 9=2476099,从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到 AnBnCn,则其面积 Sn=19n?S1=19n 故答案是：2476099; 19n.10. 如图，对面积为1的平行四边形 ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB , BC , CD , DA至点A1, B1, C1, D1,使得 A1B=2AB , B1C=2BC ,

21、C1D=2CD , D1A=2AD，顺次连接 A1, B1, C1, D1,得到平行四边 形 A1B1C1D1,记其面积为 S1；第二次操作，分别延长 A1B1, B1C1 ,C1D1 D1A1 至点 A2,B2,C2,D2,使得 A2B1=2A1B1, B2C1=2B1C1, C2D1=2C1D1, D2A1=2A1D1，顺次连接A2, B2, C2, D2记其面积为S2；按此规律继续下去，可 得到平行四边形 A5B5C5D5,则其面积S5= 135 .Di考点：平行四边形的性质.专题：规律型.分析： 根据题意分析可得：平行四边形ABCD的面积为1 ;每次操作后，每个三角形面积都是原平行四边

22、形13倍；按此规律继续下去，可得到耳积的3倍，所以新的平行四边形的面积就是原来平行四边形的F行四边形A5B5C5D5，则其面积S5=135-解答：解：如图，连接 BD，Bid,T BiC=2BC, B1DC的面积是 dbc的面积的两倍，又 CiD=2DC , B1C1D的面积是 BiDC的两倍, B1C1C的面积是 DBC的面积的6倍，也就是平行四边形 ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135.故填空答案135.Di点评:本题是一道找规律的题目，

23、这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生 了变化，是按照什么规律变化的.11. (2006?沈阳)已知点I是厶ABC的内心，/ BIC=130 则/ BAC的度数是 80 度.考点：三角形的内切圆与内心.分析：已知I是厶ABC的内心，贝U IB、IC分别平分/ ABC、/ ACB ;由三角形内角和定理，可求得/ IBC+ / ICB的度数，也就求出了/ ABC+ / ACB的度数，进而可求出/BAC的度数.解答：解：点I是厶ABC的内心，/ IBC=丄/ ABC，/ ICB=丄/ ACB ;2 2 IBC 中，/ BIC=130 / IBC+ / ICB=180 -Z B

24、IC=50 ;/ ABC+ / ACB=100 / BAC=180 -(Z ABC+ / ACB ) =80故答案为：80.点评：本题主要考查三角形内切圆的性质以及三角形内角和定理.三.解答题(共3小题)12 .已知 ABC .(1)如图1,若P点为/ ABC和/ACB的角平分线的交点，试说明：/P=90 + / A ;2(2)如图2,若P点为Z ABC和外角Z ACD的角平分线的交点，试说明：ZP= Z A ；2如图3,若P点为外角/ CBD 和/ BCE的角平分线的交点，试说明：/P=90- / A -考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质.分析：(1)利用三角形的内角和定理以及角平分线

25、的定义即可证明；、(2) 禾U用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义即可求解；(3) 利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质即可证得.解答： 解：(1)Z P=180ABC -Z ACB=180_ (180 -Z A) =90+_ / A2 2 2 2(2) Z P=Z PCD -Z PBD=_ / ACD -Z ABC= _ / A2 2 2(3) Z P=180- Z CBD - Z BCE2 2=180-(Z CBD+ Z BCE)2=180-(Z A+ Z ACB+ Z A+ Z ABC )2=180- ； (180 + Z A)=90- Z A.点评： 本题考

26、查了三角形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键.13.对面积为1的厶ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点BG ,使得AB=2AB , B1C=2BC , C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1,得到 A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、 C1A1 至点 A2、B2、C2,使得 A2B1=2A1B1 , B2C1=2B1C1, C2A1=2C1A1,顺次连接 A2、B2、C2,得到 A2B2C2, 记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到 AnBnCn.(1)求面积S1； (2)求面积Sn.考点：面积及等积变换.专题：规律

27、型.分析：(1 )首先根据题意，求得aBC1 = 2Sa ABC，冋理求得A1B1C1=19Sa abc，则可求得面积 S1的值；(2)根据题意发现规律：Sn=19nS0即可求得答案.解答：解：连BC1 ,T CiA=2CA ,二abci=2Sabc ,司理：aibci=2S abci=4Saabc，二 Saiaci=6S abc，司理：SA1BB1=SaCB1C1=6Saabc , -SAA1B1C1 =19Sabc，即 Si=19So,T So=Saabc=1 ,二 Si=19 ；23(2)同理,S2=19Si=19 So, S3=19 So,nn Sn=19 So=19 点评：此题考查了三角形面积之间的关系注意找到规律：Sn=19nSo是解此题的关键.14.阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1,对面积为a的厶ABC逐次进行以下操作：分别延长 AB、BC、CA至Ai、Bi、Ci,使得AiB=2AB , BiC=2BC , CiA=2CA，顺次连接Ai、Bi、Ci,得到 AiBiCi，记其面积为Si,求Si的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2,连接AiC、BiA、CiB，因为AiB=2AB , BiC=2BC ,