高一《对数与对数函数》讲义【解析版

1、对数与对数函数【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型【知识梳理】1.对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_ xlogaN _，其中_ a _叫做对数的底数，_ N _叫做真数.真数N为正数（负数和零无对数）说明：实质上，上述对数表达式，不过是指数函数的另一种表达形式，例如：与 这两个式子表达是同

2、一关系，因此，有关系式“”同“+”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。对数的底数和真数从对数的实质看：如果abN(a0且a1)，那么b叫做以a为底N的对数，即blogaN.它是知道底数和幂求指数的过程.底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为_10_lg_N自然对数底数为_e_ln_N2对数的性质与运算法则（1）对数基本性质：，-对数恒等式（2）对数运算性质：

3、若，则： （3）换底公式：推论： 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。（2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。例如：真数为两负数的积，不能写成=3.对数函数的图象与性质 对数函数定义：函数称对数函数，说明：（1）一个函数为对数函数的条件是：系数为1； 底数为大于0且不等于1的正常数； 变量为真数. 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0. 对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向

4、下无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。a10a1时，_ y0_当0x1时，_ y1时，_ y0_当0x0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_减_变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.奇偶性非奇非偶4.反函数反函数及其性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。若函数上有一点，则必在其反函数图象上，反之若在反函数图象上，则必在原函数图象上。由对数的定义容易知道:指数函数yax与对数函数_.ylogax _互为反函数，它们的图象关于直线_yx _对称. 由指数函数的定义域，值域，容易得到对数函数的定义域

5、为，值域为，【考点突破】考点一 对数形式与指数形式的互化【例1-1】下列指数式改写成对数式； 【例1-2】下列对数式改写成指数式； 【例1-3】求下列各式的； ； ； 【解析】由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故【点评】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。考点二对数式的化简求值与运算性质【例2-1】计算下列各式. lg 25lg 2lg 50(lg 2)2； (log32log92)(log43log83).【解析】原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 5

6、2(lg 2lg 5)2. 原式.【例2-2】已知求解法一：，解法二：【例2-3】设，求的值.【解析】（1）， 【探究提高】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.【练习】(1)计算：log2.56.25lgln= （2）求值：【解析】原式；原式=(3)设2a5bm，且2，则m的值为()A.B10C20D100【答案】A考点三 对数的概念及应用【例3-1】对数函数的判断 随写【例3-

7、2】若函数是对数函数，则的值为_.【例3-3】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是_.【练习】（1）对数函数的图象过点（16，2），则函数的解析式为_（2）函数y的定义域是()A1，2 B1，2) C D【解析】 由02x11x1. 【答案】D考点四对数函数的图象及应用【例4-1】函数的图象恒过点_【例4-2】已知0ab1n _【解析】m0，n0，logaclogcblogabn.【规律方法】用对数函数的图象与性质比较大小（1）同底数的两个对数值的大小比较【注意底数范围】（2）同真数的对数值大小关系（3）同对数值比较真数大小（4）利用中间量(0或1)（5）作差或作商法，结合换底公式及对数运算

8、性质.【练习】（1）已知函数f(x)loga(xb) (a0且a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则a_，b_.(2）若点(a，b)在ylg x图象上，a1，则下列点也在此图象上的是()A. B. C. D.（3）比较大小： log1.10.7与log1.20.7.【解析】作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.【答案】（1）a2，b2. （2）D （3）考点五对数函数的值域与最值 随写考点六对数函数的性质及应用角度一对数型函数的奇偶性【例6-1】若函数是奇函数，则【解析】由于是奇函数，即，又， 角度二对数型函

9、数的单调性【例6-2-1】的单调减区间为（ ） A B C D【例6-2-2】已知y=loga(2ax)在区间0，1上是x的减函数，求a的取值范围【解析】先求函数定义域：由2ax0，得ax2又a是对数的底数，a0且a1，x由递减区间0，1应在定义域内可得1，a2，又2ax在x0，1是减函数y=loga(2ax)在区间0，1也是减函数，由复合函数单调性可知：a1 1a2【规律方法】求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：确定定义域；弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)

10、为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减” 角度三比较对数值的大小【例6-3-1】比较大小：log3与log5 【解析】log3log510，log3bcBacb CbacDbca【解析】alog31，blog23，则b1，clog32bc.【例6-3-3】已知，则有（ ）ABCD【解析】，同理.，即 【答案】D 角度四解简单的对数不等式或方程【例6-4】已知f(x)是偶函数，且在0，)上是减函数，若f(lg x)f(2)，则x的取值范围是()A B C D【解析】 法一：不等式可化为或，解得1x100或x1，所以法二：由偶函数的定义可知，f(x)f(x)f(|x|)，故不

11、等式f(lg x)f(2)可化为|lg x|2，即2lg x2，解得x100。 【答案】C【练习】（1）.已知函数，若，则等于（ ）ABC2D2【答案】B（2）函数f(x)(x22x3)的单调递增区间是_（，1）_（3）函数f(x)loga(ax3)在1，3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0，1) C D(3，)【解析】 由于a0，且a1，所以uax3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，所以a1.又uax3在1，3上恒为正，所以a30，即a3. 【答案】D（4）已知奇函数f(x)在R上是增函数若af(log2)，bf(log24.1)，cf(2

12、0.8)，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbac Ccba Dcalog24.1log24220.8，且函数f(x)是增函数，所以cb0的x的取值范围是()A(0，)B(0，)(2，) C(0，)(，2)D(0，)【解析】由题意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)f()，f(x)在0，)上递增，于是|logx|，解得x的取值范围是(0，)(2，) 【答案】B【失误与防范】1.在运算性质logaMnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数).2.指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a

13、1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.课后练习一、选择题1. 当时，下列说法正确的是（ ）若，则；若，则；若，则；若，则A与B与CD2. （a0）化简得结果是（）A.aB.a2C.aD.a【答案】C3. log7log3（log2x）0，则等于（）A. B. C. D.【答案】C4. 已知，那么用表示是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5. ，则的值为（ ）A. B.4 C.1 D.4或1【答案】B6设

14、My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，则集合MN等于 ()A(，0)1，)B0，)C(，1D(，0)(0,1)【答案】C7. 设alog32，bln 2，c5，则()AabcBbca CcabDcb1，log2e1，log23log2e.1，0ablog3，a. bln 2ln ，b. c5，ca0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a 的值为 ()A. B. C.2 D.4【解析】当x0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由

15、题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去) 【答案】C10函数f(x)的定义域是()A(3，0)B(3，0C(，3)(0，) D(，3)(3，0)【解析】因为f(x)，所以要使函数f(x)有意义，需使即3x0.11(2017广州综合测试(一)已知函数f(x)则f(f(3)()A. B. C D3解析 由f(x)的解析式可得f(3)1log23，又1log23f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)【解析】当a0时，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2， a，解

16、得a1. 当af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1. 【答案】C二.填空题13. 若lg2a，lg3b，则log512_【答案】 14函数恒过定点.【答案】（3,1）15. 3a2，则log382log36_ 【答案】 16若log2a0时，f(x)是增函数；当x0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集.【解析】(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的

17、解集是x|0x0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B Clogx D2x2【解析】由题意知f(x)logax，因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.2. （）等于（）A.1B.1C.2D.2 【答案】B3.已知函数f(x)若af(a)0，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)【解析】 若a0，则af(a)aloga0loga00a1；若a0log2(a)0a11a0.综上，1af(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定【解析】由已知得0a1，所以1a1f(2)【答案】A 5.已知函数f(x)满足：当x4时，；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)的值为()A.B.C.D.【解析】因为32log234，故f(3log23)3log233. 【答案】A6. 已知函数f(x)，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是 ()A.(1，) B. C.(2，) D.7已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1 B0ba11C0b1a1 D0a1b11【解析】由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，loga b)