高等计算流体力学讲义

1、高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法1. Euler方程的基本理论0 概述 在计算流体力学中，传统上，针对可压缩NavierStokes方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler方程的解法。在推广到NavierStokes方程时，只需在Euler方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。1非线性守恒系统和Euler方程一维一阶非线

2、性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式， （1）其中U称为守恒变量，是有m个分量的列向量，即。称为通量函数，是U的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。守恒律的物理意义设U的初始值为：。如果在中有紧支集（即在有限区域以外恒为零），则。即此时虽然的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。多维守恒律可以写为 （2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式 （3）A是矩阵，称为系数矩阵或Jacobi矩阵，其具体形式为 （4），容易验证：，通常也记。流体力学无粘流动的Euler方程是典型的非线性守恒律，可以写为 （5）

3、其中： （6）这里，u，p，E，H分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体，为内能，为焓。为比热比，对于空气，=1.4。把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi矩阵为： （7）守恒型方程和非守恒型方程。原始变量对应的非守恒型Euler方程为什么要研究守恒型方程？使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。2双曲型方程的定义令Jacobi矩阵的特征值为，则如果A的所有特征值均为实数且A可以对角化（即有m个线性无关的特征向量），则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果A的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。矩阵A的特征值，由下式定义： （8）显然，对

4、于阶矩阵，（8）式有m个根。对于一维Euler方程，有： （9）其中为音速。显然Euler方程为双曲型方程。双曲型系统有m个独立的特征向量，设为左特征向量，则 （10）左特征向量为行向量。设左特征向量组成的矩阵 （11）则： （12）其中： (13)设为右特征向量，则 （14）右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为 （15）则： （16）由（12）式，（16）式分别有 （17） （18）矩阵与一个对角阵相似，我们称可以对角化。显然 。 （19）3特征线与Riemann不变量以左特征向量左乘（3）式 （20）考虑到 ，有： （21）我们称由 （22）定义的一族曲线为（3）式的特征线。沿特征

5、线显然在特征线上：，（23）特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可把偏微分方程组（3）式化为特征线上的常微分方程组（23）。（23）式称为特征相容关系。具体到一维Euler方程，左特征向量为：特征相容关系为， （24）， （25）其中为熵。对于均熵流动，（24）式可以积分出：，沿其中 。此时（25）式退化为：4. 广义解(弱解) 考虑Bergers方程 (26) 考虑如下初始条件, 当存在连续解时, 由此可知 ut=1/2t=1 参见图1 即时 可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。对于Euler方程，其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存

6、在古典意义下的解（古典解要求解是充分光滑的）。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。定义（广义解或弱解）： 设U(,)是分片连续可微的函数，在的半平面，如果对于与U(,)的间断线只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线，都有: ， (27)则称U(,)为方程在初值U(,0)=U0(x),下的广义解或弱解。如果已知U(,)是光滑的，设围成的区域为，则由(27)式利用Green公式知 (28)由于闭曲线可以在光滑区内任取，由(28)式可得：（29）即，在光滑区，弱解就是古典解。假定是由一条间断线分隔开的分片连续可微函数，取如图所示的闭曲线x=x(t)xtt=t2t=t1P在上应用（27）式，有令，则上式

7、可简化为：令并考虑到t1,t2可以任意取值，有：(30)其中，。上述关系（30）式称为Rankine-Hogoniot关系。综上所述，双曲型守恒律的弱解是被有限个间断线分开的分片光滑函数。在光滑区，满足微分方程（29）式，在间断线的两侧，满足R-H关系。广义解是不唯一的。为了说明这一问题，我们举一个例子：考虑Burgers方程在初值为时的解。此时，Bergers方程为，初值在处有一个间断。处的Rankine-Hogoniot条件为：由上式知。所以，在间断处满足Rankine-Hogoniot条件，在其他地方满足微分方程，即是Bergers方程的一个广义解。另外，容易验证也是Bergers方程的

8、一个广义解。所以广义解一般不唯一，但是对于由明确物理意义的守恒律，其中只有一个解是有物理意义的，我们称之为物理解。为了得到我们关心的物理解，广义解除了必须满足（27）式外，还必须满足附加的条件，这个条件因为与热力学第二定律所起的作用相同，被称为熵条件。5.熵条件熵条件1)物理解：方程的解如果当时，几乎处处有界的收敛到分片连续可微函数，则是的物理解。熵条件2)解析熵条件：我们首先针对Euler方程讨论熵条件。对于Euler方程，熵有明确的物理意义。对于完全气体，其中是绝热指数（比热比）。在光滑区，有或。这个方程称为熵守恒方程。当存在间断时，这里我们假定激波前后的物理量分别记为。此时Rankine

9、-Hogoniot关系为：其中是激波运动速度。由上述关系式的第一个方程，有，即：所以这里我们用到了的条件，容易验证在激波上，这个关系总是成立的。所以，我们有：由于在光滑区，仿照弱解的定义，在包含有限间断线的分片光滑区域内，有。我们称这个条件为Euler方程的熵条件。通常我们定义熵函数为，而称为熵通量，因此，熵条件也可以写为。 （31）对于一般的双曲型守恒律，熵函数和熵通量的定义并不是很明显。一般我们要求满足下列条件：（1）相容性条件：。由这个条件，当在光滑区满足时，则即由相容性条件所以。也就是说，由守恒型方程，我们可以得到熵守恒方程。（2）凸条件：。这个条件反映了熵的性质。可以验证，上述针对E

10、uler方程定义的熵函数和熵通量满足这些条件。熵条件3)几何熵条件：关于熵条件，我们还可以从另一个角度进行启发性分析：我们假定满足熵条件的广义解是存在和唯一的。因此，必须存在某种机制，使得广义解可以唯一确定。因为，当不存在间断时，广义解就是古典解，讨论熵条件没有意义，所以，我们只考虑存在间断的情况。此时，设间断的速度为，则间断两侧由2m1个未知量。但是，Rankine-Hogoniot关系只提供了m个方程。所以为了唯一确定间断两侧的解，必须补充m1个关系。这m1个关系应该由m1个特征关系给出，也就是说，必须有m1条特征线与间断相交。设一般的双曲型守恒律的特征值为。如图所示当满足 （32）时（上

11、标中的代表间断的前、后侧），共有条特征线与间断相交。此时，间断两侧的解应可唯一确定。满足（32）的间断称为k激波，（32）称为几何熵条件。熵条件4) O.A.Oleinik熵条件 (1957)：设是定义在t0上半平面上，除了存在有限条的光滑间断线的可微函数；对于标量方程的弱解 ， 若在间断线上满足其中w为任意属于集合I的函数，集合则弱解是唯一的，并且就是物理解。同时，在L1范数的意义上，物理解也是连续依赖于初始条件的，即是稳定的。在熵条件中是间断面的传播速度。在间断左侧，若令,则表示间断负侧的特征线斜率。在右侧，令则表示间断正侧的特征线。所以对于标量守恒律，O.A.Oleinik熵条件蕴涵了几

12、何熵条件。熵条件小节：对于标量守恒律，熵条件的研究已经比较成熟。人们已经证明，对标量守恒律，满足熵条件4)的弱解以及通量函数为守恒变量的凸函数时满足2)或者3)的弱解均为物理解。对于守恒方程组，熵条件的研究还不够充分。 6. 守恒型格式 计算含有间断的广义解，对计算格式有一定的要求，即要求格式是守恒型的。下面给出守恒型格式的定义： （33） 定义：对于一维守恒型方程, 差分格式 （34）称为守恒型差分格式，如果 （35）g称为数值通量。为使差分格式相容，则g必须满足: 如果差分方程对微分方程是相容的，且在求解域内，对于任意网格点数和任意网格尺度，都精确地满足离散型的积分方程，则称差分方程是守恒型的。容易看出：如果某个差分格式满足上述条件，则有：上式相当于守恒型方程（散度形式）下列积分形式的离散化方程：如果在中有紧支集（即在有限区域以外恒为零），则有