《微积分课后习题答案》习题 九

1、第九章 无穷级数习题解答（A）1.写出下列级数的一般项：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）该级数一般项为 ；（2）该级数一般项为 ；（3）该级数一般项为 ；（4）该级数一般项为 .2.设级数的部分和为，求和.解 因为级数的部分和 所以 . 于是 3.证明下列级数收敛，并求其和.（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）该级数的前项部分和为 . 因为 极限存在，所以该级数收敛，其和为.（2）该级数的前项部分和为 . 因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.（3）该级数的前项部分和为 . 因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.（4）该级数的前项部分和为 . 因为极限存在，所以该级数收敛，其和为.

2、4.利用无穷级数的性质判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）（4）；（5）（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）此级数的一般项为. 因为，所以，由级数收敛的必要条件，可知，级数发散.（2）几何级数中的公比，因此收敛. 由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数收敛.（3）此级数的一般项为. 因为，所以，由级数收敛的必要条件，可知，级数发散.（4）此级数的一般项为 因为几何级数（公比）与（公比）均收敛，由收敛级数的性质可知，级数收敛.（5）原级数. 由于调和级数发散，去掉它前面的10项后，所得级数仍发散.（6）几何级数中的公比，因此收敛. 由收敛级数性质：收敛

3、级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数收敛.（7）此级数为几何级数，其公比为，即. 所以该几何级数收敛.（8）此级数的一般项为. 因为，所以，该级数发散.（9）此级数的一般项为 因为几何级数（公比）与（公比）均收敛，由收敛级数的性质可知，级数收敛.（10）若该级数收敛，则加括号后仍收敛，即级数收敛. 又因几何级数（公比）收敛，则级数也应收敛.但这与调和级数发散矛盾.所以，原级数发散.5.利用正项级数比较判别法或其极限形式，判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） ；（9）；（10）；（11）；（12）；解（1）因为 而调和级数发散，由正项级数比较判

4、别法可知，级数发散.（2）因为 而级数收敛，由正项级数比较判别法可知，级数收敛.（3）因为，.而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数收敛.（4）因为，而 收敛，故级数收敛.（5）因为，而调和级数发散，所以，级数发散.（6）因为 .当时，无穷小量，因此.而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数收敛.（7）因为 .而调和级数发散，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数发散.（8） 当时，因为级数一般项的极限所以，级数发散. 当时，该级数的一般项.所以，级数发散. 当时，因为，且几何级数收敛.所以，由正项级数比较判别法可知，级数收敛. 综上所述， 当时，原级数发散

5、； 当时，原级数收敛.（9）因为.而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，原级数收敛.（10）因为 .而调和级数发散，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数发散.（11）因为.而级数收敛，所以级数收敛.（12）因为 .而级数收敛，所以级数收敛.6.利用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）由于可知 . 因此，该级数收敛.（2）由于可知 . 因此，该级数收敛.（3）由于可知 . 因此，该级数收敛（4）由于. 因此，该级数收敛.（5）由于. 因此，该级数发散.（6）由于. 因此，该级数收敛.（7）由于

6、. 因此，该级数收敛.（8）由于可知 . 因此，该级数发散.（9）由于可知 . 因此，该级数发散.（10）由于可知 . 因此，该级数收敛.7.利用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.（2），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.（3），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数发散.（4），.因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.8.判别下列级数是绝对收敛、条件收敛，还是发散？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；解（1）正项级数收敛（正项级数比较

7、判别法）.因此，原级数绝对收敛.（2）记 ，因为 ，且，因此，交错级数满足莱布尼兹条件，级数收敛.而正项级数发散.因此，原级数条件收敛.（3）正项级数收敛（比值判别法）.因此，原级数绝对收敛.（4）记 ，因为，从而，可知，原级数发散.（5）记 ，因为 ，几何级数收敛，由正项级数比较判别法知收敛，即原级数绝对收敛.（6）记.设，则因为，所以正项级数收敛.由比较判别法可知，收敛，故原级数绝对收敛.（7）记 ，因为 ，且，因此，交错级数满足莱布尼兹条件，级数收敛.而正项级数发散.因此，原级数条件收敛.（8）记 ，而调和级数发散，由正项级数比较判别法可知原级数发散.（9）记，因为，.由比值判别法可知，

8、级数收敛即，原级数绝对收敛.（10）因为 ，而级数收敛，所以原级数绝对收敛.9.求下列幂级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；解（1）, 由 得到收敛半径.当时, 它成为级数, 该级数发散；当时, 它成为交错级数, 该级数收敛.所以, 原级数收敛域为.（2）, 由 得到收敛半径, 收敛域为.（3）解 , 由 得到收敛半径.当时, 级数, 该级数收敛；当时, 级数收敛.所以, 原级数收敛域为.（4）, 由 得到收敛半径.当时, 级数, 该级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.（5）, 由 得到收敛半径.当

9、时, 交错级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.（6）, 由 得到收敛半径.当时, 级数发散；当时, 交错级数收敛.所以, 原级数收敛域为.（7）, 由 得到收敛半径.当时, 交错级数收敛；当时, 级数收敛.所以, 原级数收敛域为.（8）, 由 得到收敛半径.当时, 交错级数发散；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.（9）, 由 得到收敛半径.当时, 交错级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.（10）, 由 得到收敛半径.所以, 原级数收敛域为.（11）, 设, 由 得到收敛区间为 .当时, 交错级数发散；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.（12）,

10、设, 由 得到收敛区间为 , 即 .当时, 交错级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.10.求下列幂级数的收敛域，并求在收敛域内的和函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；解（1）, 由 得到收敛半径 .当时, 交错级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.设和函数为 两边对求导得：两边对积分, 即得., 即.（2）, 由 , 得到收敛半径 .当时, 交错级数发散；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.设和函数为 （3）原级数中缺少, , 等项, 直接利用比值判别法：.所以, 当, 即时, 原级数收敛；当, 即时, 原级数发散.当时, 交错级数收敛；当

11、时, 级数收敛.所以, 原级数收敛域为.设原级数的和函数为（4）原级数中缺少1, , , 等项, 直接利用比值判别法：.所以, 当, 即时, 原级数收敛；当, 即时, 原级数发散.当时, 级数发散；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.设原级数的和函数为两边由到积分得：两边对求导, 即得.（5）, 由, 得到收敛半径.当时, 级数发散；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为. （6）, 由, 得到收敛半径.当时, 交错级数收敛；当时, 级数发散.所以, 原级数收敛域为.当时, 当时, .11.将下列函数展开成麦克劳林级数，并求其收敛域：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解（1）由, 收

12、敛域为, 可知 , 收敛域为 .（2）由和 , 收敛域为, 可知 , 收敛域为.（3）（4）（5）（6）（B）1.判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中 ；（7）；（8）；解（1）；而收敛，所以原级数收敛。（2），而收敛，所以原级数收敛。（3）将通分有而 ，又发散，所以原级数发散。（4）因为 ，且收敛，所以原级数收敛。（5），所以原级数收敛。（6），当时，收敛；当时，发散。（7）设，则，于是从而，即又，所以此交错级数收敛. （因为, 而所以. 即时, 与等价无穷小. 即 所以.）（8），所以而收敛，所以 原级数收敛。2.设 、，试证：（1）如果收敛，则收敛；

13、（2）如果发散，则发散；证明：由已知, 即数列单调下降有下界. 故由比较判别法的极限形式得证.3.已知级数收敛，试证级数也收敛.证明：因为收敛，所以又，由比较法极限形式收敛.4. 已知级数收敛，试证级数绝对收敛.证明：， 收敛，所以原级数收敛。5.求下列级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解（1）设 x+1=y , 则原级数为 先求级数 的收敛区间 由于 所以， 。当时，该级数为 。因为级数 发散，而级数收敛，所以，用反证法，易知级数发散。当，该级数为 ，因为级数和级数 都收敛，所以 收敛.综上可得，级数 的收敛区域 ，从而原级数收敛区域为 .（2）由于 所以，由根植

14、判别法可知：当 时，即 ，该级数收敛；当 时，级数发散。当 时，显然有 ，所以级数发散。综上，该级数的收敛区域为 .（3）由于 当 1，即9时，原级数收敛；当 1，即9时，原级数发散； 当 = 1，即 = 9时 ，级数为 收敛。综上，该级数收敛域为.（4）由于 所以 ，当 1 ，即 1时，级数收敛；1时，级数发散。当x =1 时，级数为 ，发散；当 时，级数为 ，发散。所以 ，级数的收敛域为； .（5）设 ，则原级数为 先求 的收敛域所以级数 的收敛半径；当 时，级数 均收敛。所以，级数 的收敛域为 。从而，原级数收敛域为 .（6）用比值判别法 所以，当 1 时，即 ，级数收敛；当 1 时，即

15、 ，级数发散。当 时，级数为发散。所以，该级数的收敛域为：.6.求级数的收敛域及和函数；并求常数项级数的和.解当时，收敛，即时，收敛。所以收敛区间，收敛域。设取代入，所以7.利用幂级数求常数项级数的和.解 设, 则设，则，所以, 从而 取, 则8.设，（1）将展开成的幂级数，并求收敛域；（2）利用展开式计算；（3）利用逐项积分计算.解 （1）因为 . 所以 .所以 .(2) 因为,所以=.(3) 四、自测题及其答案1.下列级数中绝对收敛的是（ ）（A） （B）（C） （D）2. 下列级数中发散的是（ ）（A） （B）（C） （D）3. 已知，则级数（ ）（A）收敛且其和为 （B）收敛且其和为（C）收敛且其和为 （D）发散4.级数（ ）（