离散数学刘任任版课后答案 习题20《群》

1、离散数学刘任任（第二版）习题答案第20章 群1. 设是群，.试证：证明：设是单位元（下同），直接根据定义即有：, 2. 试举一个只有两元素的群。解：设，并且的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，00=0；01=1；10=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此11=0。因此乘法运算有如下表：01001110易知，单位元，运算满足封闭性和结合律，且。 故是群。3. 设的乘法表为问：是否成为群？若不是群，结合律是否成立？有无单位元?解：如果A是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。因此A无单位元，故A不成群。且,无结

2、合律。4. 设是群.试证：若对任何，均有，则是交换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。 又 因此，, 于是，得 , 再由(1)知，, 故有 .5. 设是群.试证：若对任何，有，则是交换群。证明：利用群的性质(3),(4),对任意，有。故是交换群。6. 设是群，是正整数.试证：存在，使. 证明：任取。若，则和在中成对出现。注意到群的元素个数为偶数，因此，在中满足即的元素个数也是偶数。但满足. 故除之外，至少还有一个, 使得 .7. 试证：1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群.证明：设至阶群分别为 1) 显然，是交换群。2) 是交换群。3) 对，若，则有，即, 从

3、而 （矛盾）; 同理，若, 则有 （矛盾）。因此必有。又故是交换群。4) 对于。 (i) 若中两个元素互为逆元，不妨设，则必有 且, 否则有或。同理可证 。 (ii) 若各自以自身为逆元，即，则必有. 总之，是交换群。(其实可以用第5题的结论直接得出) 设。由上的所有3元置换所组成的集合对于置换的乘法运算构成一个群。但它不是交换群，即8. 设是群，.试证： （1）有相同的周期； （2） 与 有相同的周期。证明：（1） 因为对任意整数， 当且仅当 。所以的周期是无限的，当且仅当 的周期是无限的. 若的周期是（正数），则 的周期. 由对称性有 . 因此，. 故与的周期相同。注意到，于是 当且仅当当

4、且仅当。因此 与的周期相同。 （2） 由（1), 只须证对任意整数， 当且仅当 .当时，结论显然成立。今设。则 当且仅当 当且仅当 当且仅当 当且仅当 . 再设。令，由上有 当且仅当时。注意到对任意, 当且仅当，于是 当且仅当 . 故 当且仅当 .9. 设是群，令，对任意试证：是的子群.称为的中心，的元素称为的中心元素.证明：任取,则对任意, 有，从而因此，.故是的子群.10. 设是一个群，且，和的周期分别为和，与互质，证明：的周期等于.分析：设周期为，利用定理17.2.5(2)，分两步分别证明,.证明：设的周期为。由 得 。于是 (定理17.2.5)。又。令。设的周期为.(定理17.2.5)

5、. 又 , 于是，。但,故 .从而 于是，有。即,而 ，因此，, 故 .11. 设是群的一个元素，其周期为是的子群，试证：如果，且与互质.则.分析：因为，互质，利用整除性质，见书定理16.1.3，易证.证明：因为,所以存在整数使得 .于是. 但, 是的子群. 故 .12. 设是群，且，和的周期分别为和.试证：若，则的周期等于与的最小公倍数.分析：设的周期为，和的最小公倍数为，要证明,只需证明，即可。利用定理17.2.5易证；利用整除的基本性质，定理16.1.1，分别可以将表示成,的倍数与余数之和，利用，可得,即是,的倍数，.证明（一）：设和的最小公倍数为。的周期为。因为 ,所以，从而 . 又设

6、因为 ，所以 。又，因此，从而，。于是 , 即 。因此 . 故 .证明（二）：设的周期为。 因为且，所以 （否则，从而得。此与的假设矛盾）。于是，即是和的公倍数。若的最小公倍数不是而是，则，且 此与的假设矛盾。得证。13. 设是一个群，且，的周期为质数，且.试证：.分析：用反证法，则有非单位元，利用为质数，整除性质有，容易推出矛盾。证明：若,则存在 且, 即存在整数，使 且。因是质数，所以存在整数,使.于是，即 , 矛盾。故 .14. 写出的群表.解：设 于是，根据置换的乘法运算规则，有 15. 证明：任何对换都是一个奇置换，又恒等置换是偶置换.分析：根据对换的定义，命题17.3.4即可证。证

7、明：(1) 设为元对换，可分解成一些对换的乘积，显然有，由命题17.3.4可知，对换是一个奇置换。(2) 设为元恒等置换，是元对换，显然有，由命题17.3.4可知，对换是一个偶置换。16. 设元置换，其中互不相交，且.试证：的周期（即满足的最小正整数）等于的最小公倍数.分析：设周期为，最小公倍数为，根据定义易证；由互不相交，证。证明：设的周期为. 的最小公倍数为。因互不相交，所以 . 于是 。另一方面，因为 且 互不相交，因此，。于是，. 由最小公倍数的性质知，,故 .17. 设是的两个置换.（1）写出的轮换表示，并求出和的周期.（2）计算. 解：(1) . 由题16有和的周期为。 (2) 1

8、8. 试找出的所有子群.解。设 .其子群有：, 19. 设试判断和是否是的子群，并说明理由.解：因和均有限，且不难验证，和对乘法运算均封闭。故由定理17.2.2知，和均为的子群。20. 设和是群的子群，试证：是的子群当且仅当.分析：充分性证明分两步，利用子群的性质分别证明，；利用定理17.2.3证明是的子群。证明：设是的子群。任取, 有。即存在 , 使，于是，, 从而 。反之，任取 ,则 . 于是， 从而 。总之， . 另一方面，设.任取. 因是的子群。所以，. 又因。因此, 存在,使得 . 从而， 其中，。由定理17.2.3知，是的子群。21. 设是群的子群，试证：是的正规子群.证明：因为,

9、 所以H在G中只有两个左陪集：和.也只有两个右陪集:和.任取, 若，则.若，则,故恒有.即H是G的正规子群。22. 求对子群的左陪集分解.称为Klein四元群.分析：根据定理17.3.2，的阶为12，任意取，得左陪集，为另一左陪集。解。令。共有三个左陪集：23. 证明：Klein四元群是的正规子群.分析：利用22题结论，易证满足正规子群定义17.4.4.证明：注意到 因此，关于的左、右陪集分解相同，且此分解是一个等价类分解。所以，对任意，有, 其中 或或, 从而，故是的正规子群。24. 设是群的子群.试证：在中的所有左陪集中恰有一个子群，即.分析：利用群的性质，是子群，则；如果陪集是子群，则有

10、，由陪集的性质5，可知。证明：设是群的单位元。因，所以子群是的一个左陪集。若另有一个陪集也是的子群，则. 于是，.由17.4节的性质5知，。故结论成立。25. 设是有限群，是的子群，是的子群.试证：.证明：由定理，有 , , 。于是，, 从而26. 设是质数，试证：阶群中必含一个阶子群，其中是正整数.分析：因为是质数，阶群的任意非单位元群的子群周期均可写成。证明：设是阶群，任取。设的周期为，则，且。又因为是质数，所以，. 若，则是阶子群; 若，令, 则的周期为。 于是, 是阶子群。27. 设是群，.试证：.分析：根据定义17.5.1即可证。证明：显然，是到上的复合映射，且对任意有 故 .28.

11、 设是群，映射定义如下： 试证：是到的一个自同构.分析：利用定义17.5.2，17.5.3，分别证明是到的同态，并且是双射。证明：对任意, 显然 . 因此,是单射.又对任意, 有, 使. 故是满射, 从而是到的双射. 再任取.有 综上可知, 是到的一个自同构.29. 证明：循环群的同态象必是循环群.分析：利用同态像的性质以及循环群的定义可证。证明：设是循环群，是生成元，是到的同态，且。令.于是，对任意，存在整数，使 这说明. 即是循环群。30. 设群是的核，是的正规子群，并且.试证明： （第一同构定理）分析：利用定理17.4.2易证是的正规子群，由定理17.5.3知存在到的自然同态，则有到的同态，利用同态定义17.5.4证明，根据定理17.5.4证明结论成立。证明：先证是的正规子群。对任意有使。因为是的正规子群，所以，.于是, . 即 故是的正规子群。 设是到的自然同态。令.则. 由 得 . 从而，由第三同态定理得 。31. 设和都是群的正规子群，.由第一同构定理证明：分析：对照第一同构定理形式，本题的证明关键是定义一个以为核的同态，令，容易验证满足同态的性质，并且。证明：令.由不难知道, 是到的映射,且显然是满射。又, 对任意, 从而，. 同态核为： .由第一同构定理，得 .32