圣维南原理的概念及应用

1、高等岩石力学,第二讲：特殊边界处理与网格划分问题,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,2-2,2. 几何方程,2-9,3. 物理方程,平面应力问题,2-15,4. 边界条件,位移,2-17,应力,2-18,例1,如图所示，试写出其边界条件,q,1,2,3,4,说明,x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果,例3,图示水坝，试写出其边界条件,左侧面,由应力边界条件公式，有,右侧面,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点a处无应力存在,解,平面应力问题，在 ac、ab 边界上无面力作用。即,ab 边界,由应力边界条件公式，有,1,ac 边界,代入应力边界

2、条件公式，有,2,a 点同处于 ab 和 ac 的边界，满足式（1）和（2），解得,a 点处无应力作用,静力等效 圣维南原理及其应用,2-8 圣维南原理,28.01.2021,zs,为什么要用圣维南原理？ 如何应用圣维南原理？ 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？ 圣维南原理中主矩是对那个点取矩？ 圣维南原理中边界的面力和应力的关系？ 什么是主要边界？什么是次要边界？ 为什么正应力对中心点取矩不为零,问题的提出,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写,1. 、静力等效的概念,

3、两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的,2.、圣维南原理,saint-venant principle,原理,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计,3.、圣维南原理的应用,1,对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替,2,有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替,注意事项,1,必须满足静力等效条件,2,只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用,如,例7,课堂练习与讨论,28.01.20

4、21,zs,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件,左侧面,代入应力边界条件公式,右侧面,代入应力边界条件公式，有,上端面,为次要边界，可由圣维南原理求解,y方向力等效,对o点的力矩等效,x方向力等效,注意,必须按正向假设,上端面,方法2,取图示微元体,可见，与前面结果相同,由微元体的平衡求得,例9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力p作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解,解,材料力学解答,式（a）满足平衡方程和相容方程,a,式（a）是否满足边界条件,代入平衡微

5、分方程,显然，平衡微分方程满足,式（a）满足相容方程,再验证，式（a）是否满足边界条件,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程,上、下侧边界,右侧边界,左侧边界,圆孔 应力集中：应力集中程度,4-9 圆孔的孔边应力集中,28.01.2021,zs,1. 孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力,称为孔边的应力集中,应力集中系数,与孔的形状有关，是局部现象,与孔的大小几乎无关,圆孔为最小，其它形状较大,2. 孔边应力集中问题的求解,1）问题,带有圆孔的无限大板（b a），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应

6、力 q 作用,求：孔边附近的应力,2）问题的求解,问题分析,坐标系,就外边界（直线），宜用直角坐标,就内边界（圆孔），宜用极坐标,取一半径为 r =b (ba），在其上取一点 a 的应力,由应力转换公式,原问题转化为,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题,新问题的边界条件可表示为,内边界,外边界,a,问题1,b,c,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分,问题1的解,该问题为轴对称问题，其解为,当 ba 时，有,d,问题2的解,非轴对称问题,由边界条件（c），可假设： 为 r 的某一函数乘以 ； 为r 的某一函数乘以,又由极坐标下的应力分量表达式,可假设应力函数为,将其代入相容方程,与前面类似,该

7、方程的特征方程,特征根为,方程的解为,相应的应力分量,对上述应力分量应用边界条件（c）, 有,e,求解a、b、c、d，然后令 a / b = 0，得,代入应力分量式（e）, 有,f,将问题1和问题2的解相加, 得全解,4-17,讨论,1,沿孔边，r = a，环向正应力,4-18,2,沿 y 轴， =90，环向正应力,齐尔西（g. kirsch）解,3,沿 x 轴， =0，环向正应力,4,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,叠加后的应力,4-19,5,任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如,网格划分的问题,应力集中是

8、在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中最常见的问题，指构件中应力分布不均在局部增高的现象。 开有圆孔或切口的板条受拉时，在圆孔或切口附近的局部区域，应力将急剧增加，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。 各种材料对应力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。（塑性材料有屈服阶段，当局部应力达到屈服极限时，该处材料可继续增长，而应力却不增加。如果外力继续增加，增加的力就有截面上尚未达到屈服极限的材料来承担，使截面上其他点的应力相继达到屈服极限。应力不均匀程度大大降低

9、，也限制了最大应力值,脆性材料没有屈服阶段，一直领先，首先达到强度极限，产生断裂。所以要考虑应力集中对零件承载能力的削弱。 但是零件承受周期性载荷或冲击载荷时，不论塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件都会产生严重的影响。 （以上内容来自材料力学,高人的见解：应力集中是指的在某一个区域内应力梯度较大，如果网格稀疏的话，就不会捕捉到梯度变化较大的应力。有应力集中未必会是应力奇异。比如二维平面单元中间开有园孔，另一端受拉伸集度载荷，这样园孔处有两部分会发生应力集中。但是应力并不是无穷，即不存在应力奇异。但是应力奇异的地方一定存在应力集中。应力奇异是modelling过程造成的。我们知道实际问题中，奇

10、异点处的应力不可能是无穷的,应力奇异可以来自与很多因素，比如荷载，边界条件，边界的光滑性，材料系数的光滑性，等等。 奇异点的存在导致有限元解的收敛速度很慢，尤其对于均匀划分的网格。有兴趣的可以试一下l形的平面问题，检查一下均匀划分网格情况下应变能的变化。使用局部细化或hp方法的原因是因为这两种方法能使有限元解较快的收敛。但是注意应力奇异点是不能够消除的。你的模型固定了，你的奇异点也固定了，通过计算是消除不掉的，计算是一个用估计解逼近一个真实解（精确解），精确解本身带有奇异点，怎么能够消除呢？所以尝试消除应力奇异点的做法是错误的。如果想消除应力奇异点，你的modelling过程就需要改变。比如二

11、维平面单元，在某一节点处加集中力，那么此处就是一个奇异点。要消除它的话，可以把集中力变成集度线载荷加到一段长度很小的线上，奇异点就没有了,奇异点的定义就是在某一个点处导数无穷。举一个l形区域的平面问题，某一个边固定，在另外的任意边上加无穷小的集度荷载，我们会发现无论荷载多么小，角点处的应力都是无穷。这就是几何形状引起的奇异点。 现在问题来了，一方面我们知道角点处的应力无穷，另一方面我们知道对于很小的荷载，角点处的应力不可能是无穷的。问题出在什么地方呢,首先数学模型都是建立在一些假设上的，比如对于一个二维平面问题，平衡方程为 div(sigma) = f。这个平衡方程是怎么定义的呢？它是指在平面

12、内（不包括边界）任取一点，这个点的邻域内的任意点都满足该平衡方程（邻域不接触边界）。从平衡方程中可以看出，我们是要求位移的二阶倒数是连续的，这个要求有的时候很强。因为说不定某处的二阶倒数根本不存在。对于l形区域问题，我们只知道区域内的位移的二阶倒数是存在的，连续的。角点在边界上，我们不知道二阶导数的情况。有可能该点处的二阶倒数，或一阶倒数根本不存在。通过实际推导发现，角点处的一阶导数无穷。 有限元是用来解偏微分方程的工具。偏微分方程对导数的连续性是有要求的。但是有限元能够弱化对导数的要求，比如有限元要求一阶导数平方可积就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映实际要解决的问题,tonnw：这个问题单元并不奇异，是几何结构奇异，在角点有高应力，但不一定无穷大，应力值取决于载何大小（不同意，角点处应力无穷，角点附近的应力与载荷大小无关。） 1.应力理论趋于无穷大不代表实际应力值无穷大.最大实际应力不会超过材料的屈服应力,当线性应力超过屈服应力时,应起动塑性应力分析.（假设载荷无穷小，但是奇异点处的应力还是无穷大，难道还要启动塑性应力分析。） 3.在单元形态不奇异下,细网格的应力更精确些,也就是更接近实际应力（应该