北师大版高中数学最值、范围、证明问题名师精编检测卷

1、名校名 推荐最值、范围、证明问题 授课提示：对应学生用书第270 页 2A， B 关于直线 y mx 1对称1 (2015 浙江卷 )已知椭圆x y2 1 上两个不同的点22(1)求实数 m 的取值范围；(2)求 AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 )解析： (1)由题意知2x2 y2 1，由1y mx b，1m 0，可设直线AB 的方程为y mx b.1122b21 0.消去 y，得 m2x xb2m因为直线 y1x22有两个不同的交点，所以 2b224x b 与椭圆 y 12 0，m2m22mb22将线段 AB 中点M，m b，代入直线方程y mx2221解得 b m2.mm 222m

2、由得 m6或 m633 .(2)令 t 1 6， 0 0，6，则m22 2t4 2t2 3|AB|t2 1t2 12，2t2 1且 O 到直线 AB 的距离 d2t2 1.设 AOB 的面积为 S(t)，所以S(t)1|AB | d1 2 t2 1 222，2222当且仅当 t21时，等号成立2故 AOB 面积的最大值为22 .2已知定圆 M ：(x3)2 y2 16，动圆 N 过点 F(3，0)且与圆 M 相切，记圆心N 的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程；(2)设点 A， B， C 在 E 上运动， A 与 B 关于原点对称，且 |AC | |CB|，当 ABC 的面积最小时，求直线

3、AB 的方程解析： (1)易知点 F(3， 0)在圆 M： (x3)2 y2 16 内，圆N 内切于圆M，又圆 M1名校名 推荐的半径为 4， |NM | |NF | 4，又 |FM | 23 4，2点 N 的轨迹 E 为椭圆，且2a 4，c3，所以 b 1，所以轨迹 E 的方程为 x y21.4(2)( ) 当 AB 为椭圆 E 的长轴 (或短轴 )时，依题意知， 点 C 可为椭圆的上、 下顶点 (或左、1右顶点 )，此时 S ABC 2 |OC| |AB| 2.2( )当直线AB 的斜率存在且不为0 时，设其为k，则直线AB 的方程为y kx，由xA224 yA 1，解得 xA242， y

4、A24k 2，yA kxA1 4k1 4k22224 1 k所以 |OA| xA yA 2 .由 |AC| |CB|知， ABC 为等腰三角形，又O 为 AB 的中点，1所以 OC AB，所以直线OC 的方程为y kx，xC224 yC 1，24k224由 1xC解得 xCk2 4， yCk2 4，yCk2 4 1 k2 |OC| k2 4 ， S ABC 2S OAC |OA | |OC |4 1 k24 1 k24 1 k2，221 4kk 414k2 k2 4由于 1 4k221 4k2 k2 45 1 k2，k 4 22822所以 SABC 5，当且仅当1 4k k 4，即 k1 时等

5、号成立，此时ABC 面积取最8小值，是 .5因为 2 8，所以 ABC 面积的最小值为8，55此时直线 AB 的方程为 y x 或 y x.3 (2016 苏，江22,10 分 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：xy 2 0，抛物线 C：y2 2px(p 0)(1)若直线 l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和 Q.求证：线段PQ 的中点坐标为 (2 p， p)；求 p 的取值范围解析： (1)抛物线 C：y2 2px(p0)的焦点为p2， 0 ，由点 p， 0 在直线 l ：x y 2 0 上，得 p 0 2 0

6、，222名校名 推荐即 p4.所以抛物线 C 的方程为 y2 8x.(2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0)因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ，于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为y x b.y2 2px，消去 x 得 y22py 2pb 0.(*)由y x b(2p)2 4 ( 2pb)0，化因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以y y ，从而12简得 p 2b0.方程 (*) 的两根为y1,2 p p2 2pb，y1y2从而 y0 p.因为 M(x0， y0)在直线 l 上，所以 x0 2

7、 p.因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2 p， p)因为 M(2 p， p)在直线 y xb 上，所以 p (2 p) b，即 b2 2p.由知 p 2b0，于是 p2(2 2p)0，所以 p4.43因此， p 的取值范围是0，3 .x2y24 (2016 山东， 21,14 分 )平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的离心ab32率是2 ，抛物线E： x 2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点A，B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过

8、P 且垂直于 x 轴的直线交于点M.( )求证：点 M 在定直线上；( )直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求S1的最大值S2及取得最大值时点P 的坐标解析： (1)由题意知a2 b2a 3，可得 a2 4b2.21因为抛物线E 的焦点为F 的坐标为 0，2，所以 b 12，所以 a 1.所以椭圆 C 的方程为 x24y2 1.m2(2)( ) 设 P m， 2(m 0)由 x2 2y，可得 y x，所以直线l 的斜率为m.22因此直线 l 的方程为 y mm(x m)，即 y mx m22 .设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，

9、D(x0， y0)，3名校名 推荐x2 4y21，联立2m ，y mx2得2234(4m 1)x 4m x m 1 0.由 0，得 0 m2 5(或 0 m2 25)，(*)且得 x1 x24m3，因此 x02m3.224m 14m 1m2 m2将其代入 y mx 2 ，得 y024m21 .y01因为 x04m，1所以直线 OD 的方程为yx.1联立y 4mx，x m，得点 M 的纵坐标yM 1，41所以点 M 在定直线 y上2m2令 x 0，得 y m2 ，2所以 G0，m2 .2212m3m m又 P m， 2， F 0， 2 ，D 4m2 1，2 4m2 1所以 S 1|GF | mm2 1 m，124112m2 12m3 mS2 |PM | |m x0|212244mm 2m2 1 2 8 4m2 1 .2 1212 4mm 1所以 S2m