二次函数中动点问题 平行四边形练习

1、2018年04月28日187*6232的初中数学组卷 一解答题（共5小题） 2+bx+c经过点A（1，0），点B1如图，已知抛物线y=ax（3，0）和点C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由 2+bx+c过点A（3，0），B（2，32如图，已知抛物线y=ax），C（0，3），其顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，

2、求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由 22x3与x轴交于A、如图，抛物线3y=xB两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2 （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与

3、y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由 （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 4如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B点C抛物线y=x（点B在点A右侧） （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点

4、F，交抛物线于点E求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由 5如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正交于AC边上，与直线BC两点且顶点在A，O，抛物线经过OC=3，OA=4半轴，点D （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 2018年04月28日187*6232的初中数学组卷 参考答案与试题

5、解析 一解答题（共5小题） 2+bx+c经过点A（1，0），点B如图，已知抛物线1y=ax（3，0）和点C（0，3） （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由 2+bx+c3）三点坐标代入抛物线y=ax3，0）、C（0，B将【分析】（1）A（1，0）、（中，列方程组求a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理的逆定理可得：BCE=90，可得结论； （3）分两种情况： 以BC为边

6、时， 如图1，R在对称轴的右侧时，BCRQ，四边形CQRB是平行四边形，根据平移规律先得R的横坐标为4， 代入抛物线的解析式可得R（4，5），由平移规律可得Q（1，2）； 如图2，R在对称轴的左侧，RCBQ，四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标 以BC为对角线时，如图3，同理根据平移规律可得结论 【解答】解：（1）由题意，得：， 解得：， 2+2x+3故这个抛物线的解析式为y=x， 22+4，3=（x1）+xy=+2x 顶点E（1，4）； （2）点C在以BE为直径的圆上，理由是： C（0，3），B（3，0），E（1，4）， 222222222=20，+11）=2，BEBC4=3=

7、+3，=18CE（=13+ 222，CEBC=BE+ BCE=90， 点C在以BE为直径的圆上； （3）存在，分两种情况： 以BC为边时， 如图1，R在对称轴的右侧时，BCRQ，四边形CQRB是平行四边形， 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为4， 22+24+3=16+8+y=x3=+2x+3=45，x=4当时， R（4，5）， Q（1，2）； 如图2，R在对称轴的左侧，RCBQ，四边形CRQB是平行四边形， 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1，则R的横坐标为2， 2+2x+3=4+2（2）+3=5x当x=2时，y=， R（2，5）， Q（1，8）； 以BC为对角线时，

8、如图3， 由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2， 当x=2时，y=4+4+3=3， R（2，3）， 根据R到B的平移规律可得：Q（1，0）； 综上所述，R（4，5），Q（1，2）或R（2，5），Q（1，8）或R（2，3），Q（1，0） 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理，勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键 2+bx+c过点A（3，0），B（2，3），C（02如图，已知抛物线y=ax，3），其顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动

9、点，求APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B，连接BD，BD与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值 （3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （4）设出点E的，分情况讨论，当点E在线段AC上时，点F在

10、点E上方，当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标 【解答】解：（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得 ， 解得， 22x+3抛物线的解析式为y=x 2+4，顶点D的坐标为（1，y=（x+1）4）（2）配方，得 1，如图，点关于直线x=1的对称点B作B ，）1，43），由（1）得D（则B（4， ，+y=x可求出直线DB的函数关系式为 的值最小，MN+MD，（1m）在直线DB上时，当M 1+=则m= 2，于E点，如图PEx轴交AC（3）作 22m+3），E（mm，m，m+3），设AC的解析式为y=x+3P（ 22m3m3）

11、=2m+3（m+PE=m 22+，m+）m3m）3=（xS=PE?|=（ AAPC当m=时，APC的面积的最大值是； （4）由（1）、（2）得D（1，4），N（1，2） 点E在直线AC上，设E（x，x+3）， 22x+3），xFFE当点在线段AC上时，点在点E上方，则（x， EF=DN 22x+3（x+x3）=42=2， 解得，x=2或x=1（舍去）， 则点E的坐标为：（2，1） 22x+3），F（x，xCA当点E在线段AC（或）延长线上时，点F在点E下方，则 EF=DN， 22x+3）+3）（x=2，（x 解得x=或x=， 即点E的坐标为：（，）或（，） 综上可得满足条件的点E为E（2，1）

12、或：（，）或（，） 【点评】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解（4）的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏 22x3与x轴交于A、B两点（点A在点By=x3如图，抛物线的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2 （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M

13、为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由 （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 22x3=0，求出x的值，即可求A【分析】（1）令抛物线y=x，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式； （2）设P点的横坐标为x（1x2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出ACE的面积最大值； （3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（

14、0，1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标； （4）结合图形，分两类进行讨论，CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标 【解答】解：（1）令y=0，解得x=1或x=3， 21A（1，0），B（3，0）； 22x3得y=将C点的横坐标x=2代入y=x3， C（2，3）， 直线AC的函数解析式是y=x1， （2）设P点的横坐标为x（1x2）， 22xx3），）x1，E（x，的坐标分别为：则P、EP（x 22+x+x2，）1PE=点的上方，（x

15、）（x2x3=EP点在 当x=时，PE的最大值=， ACE的面积最大值=PE2（1）=PE=， （3）D点关于PE的对称点为点C（2，3），点Q（0，1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y=2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小， 最小值=|CM|+QD=2+2， 求得M（1，1），N（，0） （4）存在如图1，若AFCH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2， 于是可得F（1，0），F（3，0）， 21如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同， 再根据|HA|=|CF|， 求出F（4，0），F 34综上所述

16、，满足条件的F点坐标为F（1，0），F（3，0），F，F（4，0） 4312解答本题的关键是熟练掌握本题主要考查二次函数的综合题的知识点，【点评】对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大 4如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B点C抛物线y=x（点B在点A右侧） （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存

17、在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由 【分析】（1）先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标 （2）ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值 （3）根据（2）的结果可确定出F，M的坐标，要使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP=BF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点

18、【解答】解：（1）当y=0时，3x3=0，x=1 A（1，0） 当x=0时，y=3， C（0，3）， ， 22x抛物线的解析式是：y=x3 22x3=0y=0时，x，当 解得：x=1，x=3 21B（3，0） （2）由（1）知B（3，0），C（0，3）直线BC的解析式是：y=x3， 22xx3）3），则E（x，设M（xx3）（0x 222+；（x=x）+xME=（x3）（3x=2x3） 当x=时，ME的最大值为 （3）答：不存在 由（2）知ME取最大值时ME=，E（，），M（，） MF=，BF=OBOF= 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BPMF，

19、BFPM P（0，）或P（3，） 2122x3=y=x0，）时，由（1）知3当P（ 1P不在抛物线上 122x3=0，）时，由（1）知y=xP当（3 2P不在抛物线上 2综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键 5如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）设抛物线顶点为E，根据题意E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2+3，将A（4，0）坐标代入q2）求出a即可解决问题； （2）求出直线AC的解析式，利用方程组确定交点坐标即可； （3