空间向量的正交分解及其坐标表示ppt课件

1、3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示,平面向量基本定理,平面向量的正交分解及坐标表示,温故知新,问题,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底,一、空间向量基本定理,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x,y,z

2、，使,都叫做基向量,1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确,2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是,3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念,1、已知向量a，b，c是空间的一个基底 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,练习,例1,解,连AN,二、空间直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(

3、x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z,三、空间向量的直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,其中 (x,y,z) 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.起点在坐标原点时，终点A点的坐标就是向量p的坐标,A,一）向量的直角坐标运算,解,例2若,例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标,1,1、向量的长度（模）公式,二）向量的模与夹角,在空间直角坐标系中，

4、已知、 ，则,推广,2.两个向量夹角公式,例3.求下列两个向量的夹角的余弦,应用举例,空间向量坐标的综合应用,已知、，求： 线段 的中点坐标和长度,解：设是的中点，则,点的坐标是,练习：已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2), 求满足下列条件的点D的坐标 （1）DB/AC, DC/AB (2)DBAC,DCAB且AD=BC,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系，则,例：如图, 在正方体中， ，求与所成的角的余弦值,2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BA1,AC上的点,且BM=CN,D,1)MN与面AA1D1D平行吗,2)M在何处时,MN最短,练习2、已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证,证明,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,例题,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ,练习,B,练习2,练习： 1、在空间坐标系o-xyz中， ( 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)，则 的坐标为 ，点B的坐标为 。 2、点M（2，-3，-4）在坐标平面x