小学六年级奥林匹克数学讲义三新定义与新运算(一)

1、,名校名师推荐 ,三、新定义与新运算（一）1. 规定 a b = ab , 则 2 (5 3) 之值为.ba2. 规定“”为一种运算, 对任意两数,b, 有 a 2b22aa b, 若 6 x, 则33x=.3. 设 a, b, c, d 是自然数 , 定义a, b, c, dadbc . 则1, 2, 3, 4 ,4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 2,2, 3, 4, 1.4.A 表示自然数A 的约数的个数 . 例如 ,4有 1,2,4三个约数 , 可以表示成 4=3.计算: (18 22) 7=.5.规定新运算 :a3 -2b. 若 (4 1)=7, 则x=.b= ax6.两个整数

2、 a 和 b, a 除以 b 的余数记为 ab. 例如 ,13 5=3,5 13=5,12 4=0. 根据这样定义的运算 ,(26 9) 4=.7. 对于数 a, b, c, d 规定a, b, c, d2abcd . 如果1, 3, 5, x7 ,那么 x=.8. 规定 :6 2=6+66=72,2 3=2+22+222=246,1 4=1+11+111+1111=1234. 7 5= .9.规定 : 符号“”为选择两数中较大数, “”为选择两数中较小数. 例如 :3 5=5,35=3.那么 ,(7 3) 5 5 (3 7)=.10.假设式子 a # ab 表示经过计算后, a 的值变为原来

3、a 与 b 的值的积 , 而式子 b# ab表示经过计算后, b 的值为原来a 与 b 的值的差 . 设开始时 a=2, b=2, 依次进行计算a # ab , b# ab , a # ab , b# ab , 则计算结束时 , a 与 b 的和是.11.设 a, b, c, d 是自然数 , 对每两个数组( a, b),(c, d), 我们定义运算如下 : ( a, b) ( ,d)= (, + ); 又定义运算如下 : (,b) (,d)= (,). 试计算 (1,2) ca+c b dacac+bd ad+bc(3,6) (5,4) (1,3).1,名校名师推荐 ,12. 羊和狼在一起时

4、 , 狼要吃掉羊 , 所以关于羊及狼 , 我们规定一种运算 , 用符号表示羊羊 =羊 ; 羊狼 =狼 ; 狼羊 =狼 ; 狼狼 =狼 . 运算意思是羊与羊在一起还是羊, 狼与狼在一起还是狼 , 但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼, 所以我们规定另一种运算, 用符号表示为羊羊=羊 ;羊狼 =羊 ; 狼羊 =羊 ; 狼狼 =狼 . 运算意思是羊与羊在一起还是羊, 狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼, 当狼与羊在一起时, 它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼 , 可用上面规定的运算作混合运算, 混合运算的法则是从左到右, 括号内先算 .运算的结果是羊, 或是狼 . 求下式的结果:羊

5、 ( 狼羊 ) 羊 ( 狼狼 ).13.642222 2 2 表示成f 64 6 ;24333333 表示成 g 2435.试求下列的值:(1)f 128; (2)f (16) g () ; (3) f () g(27)6 ;(4)如果 x,y 分别表示若干个2 的数的乘积 , 试证明 : f (x y)f (x)f ( y) .14. 两个不等的自然数 a 和 b, 较大的数除以较小的数 , 余数记为 a b, 比如 5 2=1,7 25=4,6 8=2.(1) 求 1991 2000,(5 19) 19,(19 5) 5;(2) 已知 11 x=2, 而 x 小于 20, 求 x;(3)

6、已知 (19 x) 19=5, 而 x 小于 50, 求 x.三、新定义与新运算（一）( 答案）第 1 道题答案：1 41 .1205316,5 3=515316162161412 (5 3)=212015第2道题答案：8.依题意 ,6 x62 x , 因此62x22, 所以 x=8.3332,名校名师推荐 ,第 3 道题答案：280.1, 2, 3,4142310;4, 1, 2,3431214;3, 4, 1,2324110;2, 3, 4, 1213414.原式10, 14, 10,1410141410280.第 4 道题答案：5.因为 18232 有 (11)

7、(21)6 个约数 , 所以 18=6,同样可知 22=4,7=2.原式( 64)25.第 5 道题答案：9.因为 4 1= 342110 , 所以 x (4 1)= x 10=3x-20. 故 3x-20=7, 解得 x=9.第 6 道题答案：0.26298 ,26 9=8, 又 824 , 故(26 9) 4=8 4=0.第 7 道题答案：6.因为1, 3, 5, x2135x1x , 所以 1x7 , 故 x6 .第 8 道题答案：86415.7 5=7+77+777+7777+77777=86415.第 9 道题答案：25.原式 =3 5 5 7=5 5=25.第 10 道题答案：14

8、.第 1 次计算后 , a2 2 4 ; 第 2 次计算后 , b4 22 ; 第 3 次计算后, a42 8 ; 第 4次计算后 , b 82 6. 此时 ab8 6 14 .第11道题答案：(1,2) (3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).3,名校名师推荐 ,原式 =(4,8) (6,7)=(4 6+8 7,4 7+86)=(80,76).第12道题答案：原式 =羊羊羊狼=羊羊狼 =羊狼 =狼 .第13道题答案：(1)f (128)f277;(2)f (16)f 244g 34g(81) ;(3)因为 6g (27)6g 3363

9、 3f23f (8) , 所以 f (8) g(27) 6 ;(4)令 x2m , y2n , 则 f ( x)m, f ( y)n .f ( xy)f2m2nf2m nmnf (x)f ( y) .第14 道题答案：(1)1991 2000=9;由 5 19=4, 得 (5 19) 19=419=3;由 19 5=4, 得 (19 5) 5=4 5=1.(2) 我们不知道 11 和 x 哪个大 ( 注意 , x 11), 即哪个作除数 , 哪个作被除数 , 这样就要分两种情况讨论 .1)x11, 这时 11 除 x 余 2, 这说明 x 是 11 的倍数加 2, 但 x20, 所以 x=11+2=13.因此 (2) 的解为 x=3,9,13.(3)这个方程比 (2) 又要复杂一些 , 但我们可以用同样的方法来解.用 y 表示 19 x, 不管 19 作除数还是被除数,19 x 都比 19 小 , 所以 y 应小于 19.方程 y 19=5, 说明 y 除 19 余 5, 所以 y 整除 19-5=14, 由于 y 6, 所以 y=7,14.当 y=7 时 , 分两种情况解 19x=7.1) x19, 此时 19 除 x 余 7, x 是 19 的倍数加 7, 由于 x50, 所以 x=19