八年级新思维15~18-四边形

1、15.平行四边形例1如图，已知平行四边形 ABCD中，M是BC的中点，且AM =9 , BD =12 , AD =10,则 该平行四边形的面积是.（重庆市中考题）作平行线直角三角形，例2在面积为15的平行四边形 ABCD中，过点A作AE丄直线BC于点E，作AFCE CF的值为（1W3A.11+ -2D.11+丄3或1仝2 2（2012年武汉市中考题B.11-CD 于点 F .若 AB=5 , BC =6 ,贝UC.11+琴或11-琴2 2（例 1）【答案】 如图，过B作BE / AM交DA的延长线于 E，则AEBM为平行四边形，所以AE = BM =5, BE = AM =9, DE =15,

2、 BE bD = eD , EBD1 2一S ebd EB *BD =54, S.abdS.ebd =36, S 平 行 四 边 形2 3_ 2 _ABCD =2 S.ABDS.EBD - 36 ,3S平行四边形 ABCD =2 S abd =72 .【答案】D当/ BAD为锐角时（如图），EC二BE BC =6 5 3 , C DC2DF =5 3 3.CE +CF =6 +573+5+3石=11 +口62 2当/ BAD 为钝角时（如图），CE =BCBE =6CF = 33厂 , /. CE+CF21島=1+ .2图图（例 2）例3如图， ABC是边长为上一动点，由A向C运动(与A、C不

3、重合)，Q是CB延长 线上一点，与点 P同时以相同的速度由 B向CB延长线方向 运动(Q不与B重合),过P作PE丄AB于E,连接PQ交AB 于D.(1)当/ BQD =30。时，6的等边三角形,P是AC边FAP的长；(2)运动过程中线段 ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由(2012年遵义市中考题)【答案】(1 )设AP =x，由PC =QC得6-x(6 x),解2 2得 x = 2 .(2)如图，作QF丄AB交AB的延长线于点 F，连QE、PF .可证明 APE BQF，得 PE * QF ,（例 3）四边形PEQF是平行四边形，DEJef .2/ EB A

4、E =BE BF =AB ,故当点P、Q运动时，线段DE 例4如图是某区部分街道示意图，DC , BC / DF.从B站乘车到公交车，路线1是B t d t1.DE AB =3.2的长度不会改变其中CE垂直平分AF , AB /E站只有两条路线有直接到达的A t E，路线 2 是 B t C t F t E ,请比较两条路线路程的长短，并给出证明(广州市中考题)【答案】 连FB ,交CD于O，贝U FO二BO ,可证明 BODBOC , FD * CB ,四边形BDFC为平行四边形，BD二CF，故两条线路路程长一样例5探究(1)在图、图、图中，给出平行四边形ABCD的顶点，A、B、D的坐标(如

5、图所示)，写出图、图、图中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2) ,；xxB (c, d)D (e, b)A (a d)图(2) 在图中，给出平行四边形ABCD的顶点A、 归纳与发现(3) 通过对图、图、图、 四边形ABC处于直A(a , b)、B(c, d)、C(m , n), 为;纵坐标b、d、n、(江西省中考题)分析与解 对于(2),将坐标规律的探究转化为线段和差关系的探寻,(1 )略(2) C(e c -a , f d -b).(3) m 亠a =c 亠e;n 亠b =d 亠 f.请读者完成解答过程.例6如图，已知四边形 ABCD，仅从下列条件中任取两个加 以组合，能否得出四边形 ABC

6、D是平行四边形的结论？ AB / CD ; BC / AD; AB =CD; BC =AD;/ A = / C ;/ B = / D .分析与解 共有7种类型共16种组合方式.(1)(3)(5)(7)B、D的坐标，求出顶点 C的坐标.图的观察和对顶点角坐标系中哪D(e, f)时，四个顶点的横坐标 f之间的等量关系为.C坐标的探究，你会发现：无论平行 个位置，a、当其顶点坐标为m、e之间的等量关系两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等； 两组对角分别相等；(4) 一组对边平行且相等; 一组对边平行，一组对角相等； 一组对边相等，一组对角相等(6) 组对边平行，另一组对边相等;同一类的组合并无本

7、质差异，除第( ABCD是平行四边形.下图给出了第6 )、( 7 )两类以外，其余6)、( 7)类的反例；5类条件组合都能得出四边形数学冲浪知识技能广场1.如图，已知平行四边形 ABCD中, 交CD的延长线交于点 F，则DF =AB =4cm, AD =7 cm, / ABC 的平分线交 AD 于点 E , cm.（陕西省中考题）（第1题）（第2题）（第3题）【答案】32如图，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 0 ,且AD丰CD，过点0作0M丄AC，交AD 于点M，如果 CDM的周长为a，那么平行四边形 ABCD的周长为 .【答案】2a3如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3 , AD

8、=4 , / ABC =60。，过BC的中点E作EF丄AB于F点，点DC的延长线交于点 H，则 DEF的面积为 （金华市中考题）【答案】2.3SE FD =S FHD S eHD ,4已知平行四边形 ABCD的周长为28,自顶点A作AE丄DC于点E , AF丄BC于点F .若AE =3 , AF =4 ,贝U CE -CF =.（潜江市中考题）【答案】4.2+ .3或2-35平行四边形 ABCD中，对角线 AC和BD相交于点O，如果AC =12, BD =10, AB=m ,那么m的取值范围是（）A.1 m 11B.2 m 22C.10m12D.5 m 6（海口市中考题）【答案】A6如图，在平

9、行四边形 ABCD中，AE丄BC于E , AF丄CD于F ,若AE =4 , AF =6 ,平行四边形ABCD的周长为40,则平行四边形ABCD的面积为（）A.24B.36C.40D.48【答案】D（第6题）7如图，在平行四边形 ABCD中，/ A =70 ,将平行四边形 ABCD 折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直 线上），折痕为MN ,则/ AMF等于（）A.70 B.40 C.30 D.20 （2012年河北省中考题）【答案】B8. 如图，在厶 MBN中，BM =6，点A、C、D分别在 MB、NB、MN 上，四边形 ABCD为平行四边形，/ NDC = / MD

10、A，那么平行四（第 7题）边形ABCD的周长是（）A.24B.18C.16D.12（淄博市中考题）(第8题)FC(第 9题)（第 10 题）【答案】D9如图，在平行四边形 ABCD中，/ BAD =32。，分别以BC、CD为外边向外作 BCE和 DCF，使 BE =BC , DF =DC，/ EBC = / CDF ,延长 AB 交边 EC 于点 H，点 H 在E、C两点之间，连接 AE、AF.(1)求证： ABE FDA；(2) 当AE丄AF时，求/ EBH的度数.(长春市中考题) 【答案】 略 （2） / EBH 二 / AEB / EAB 二 / DAF / EAB 二 58 10如图，

11、 ABC为等边三角形， D、F分别是BC、AB上的点，且CD二BF ,以AD为边 作等边 ADE.(1) 求证： ACD CBF ;(2) 当D在线段BC上何处时，四边形 CDEF为平行四边形，且/ DEF =30 ?证明你的结论(南通市中考题)【答案】(1 )略 (2)当点D是线段BC的中点时，四边形 CDEF是平行四边形，且/DEF =30 .（第 11 题）11. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB =5 ,BC=10, F为AD的 中点，CE 丄 AB 于 E，设/ ABC 丁 (60 w ： 90 ).(1 )当:=60。时，求CE的长；(2)当6090时，是否存在正整数k ,使得

12、/ EFD =k /AEF?若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.(2012年广州市中考题)【答案】（1） CE =5.3.(2) 存在k =3,使得/ EFD二k / AEF .连接CF交延长交BA的延长线于 G点.BC思维方法天地12. 如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30。，得到平行四 边形ABC D (点B与点B是对应点，点C 与点C是对应点，点 D 与点D是对应点)，点B 恰好落在BC边上，则/ C=度.(2012年哈尔滨市中考题)【答案】105(第12题)13.如图，已知函数若厶AOE的面积为 边形，则满足条件的 （2012年衢州市中考题）y =2x和函数y =冬的图象

13、交于点 A、B，过点A作AE丄x轴于点E ,x4 , P是坐标平面上的点，P点坐标是.且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四-4 ）、（第15题）【答案】14.如图，BC,ME蚁沿路线么（4, 4）以OE为边或对角线分类讨论H、M、N 分别在 ABC 的 BC、AC、AB 这上，且 NH / MG / F点出发，黑 t A t C t F爬行，那（0,-4）、（-4,点 E、F、G、/ NF / AC , CF / EH / AB ,有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从H t e t m t g t f爬行，白蚁沿路线 F t bF t N t）.A.黑蚁先回到F点C.两只蚂蚁同时回到B.白蚁

14、先回到F点点 D.哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定）（“希望杯”邀请赛试题【答案】14.C四边形CFNH、AHEM、BMGF均为平行四边形.15. 如图，在平行四边形 ABCD中，分别以 AB、AD为边向外作等边厶 ABE、 ADF ,延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF ,则以下4个结论一定正确 的是（） 厶CDF EBC ;/ CDF工/ EAFECF是等边三角形； CG丄AE.A.只有B.只有C.只有D.（晋江市中考题）【答案】B16. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ,给出下列5个条件： AB / CD : OA =OC; AB 二CD;/

15、 BAD 二 / DCB : AD / BC .（1） 从以上5个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有（用序 号表示）：;（2）对由以上5个条件中任意选取 2个条件，不能推出四边形 ABCD是平行四边形的，请 选取一种情形举出反例说明（常州市中考题）【答案】（1）与；与；与；与；与；与（2） i.与的反例（如图） ii.与的反例（如图）iii.与的反例（如图）iv.与的反例（如图）DOC图图D图D（第 16题）17. 如图， ABC 中，AB =3, AC=4, BC =5, ABD、ACE、 BCF都是等边三角形，求四边形 AEFD的面积（山东省竞赛题）【答案】由

16、 DBF也 ABC , EFC 也 ABC得 AD =AB =EF , DF =AC =AE，故四边形 AEFD是平行四边形. 又/ BAC =90。，/ DAE =360 -90 -60 -60 =150。，/ ADF = / AEF =30 , F到AD的距离为 2, S平行四边形EAEFD =3 X 2=6.18. 如图，在 Rt ABC 中，/ ACB =90 , CD 丄 AB于 D ,AE平分/ BAC，交CD于K ,交BC于E , F是BE上一点,且 BF =CE.求证：FK / AB .（大连市竞赛题）【答案】过点K作KM / BC交AB于M，可证明厶AKM也 AKC , KM

17、 =KC ,又可证明/ CKE = / CEK ,/CE =CK , BF =CE =CK =KM ,四边形 BFKM 是平行四（第 18 题）边形，故KF / AB.应用探究乐园19. 如图，P为Rt ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），/ ACB=90 , M oAB边中点.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形 PADC，连接PM并延长到点E ,使ME二PM ,连接 DE.探究：（1）请猜想与线段 DE有关的三个结论；（2）请你利用图、图选择不同位置的点P按上述方法操作；BE（第19题）图M图（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结 论是错

18、误的，请用图或图加以说明（注意：错误的结论，你用反例给予说明也可）（4） 若将“ Rt ABC ”改为“任意 ABC ”，其他条件不变，利用图操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案)(大连市中考题)【答案】(1) DE / BC, DE =BC, DE 丄 AC. (2)略 (3)连 BE,由厶 PMA EMB , 得 PA =BE , / MPA 二/ MEB , PA / BE / DC , PA =DC =BE ,边形 DEBC 是平行四边 形，DE / BC , DE =BC , / ACB =90 ，贝U BC 丄 AC , DE 丄 AC .(4) DE / BC , DE

19、=BC.20. 已知矩形 ABCD中，AB =4cm , BC =8cm , AC的垂直平分线 EF分别交AD、 BC于点 E、F ,垂足为O.(1 )如图，连接 AF、CE ,求证四边形AFCE为菱形，并求 AF的长(2)如图，动点P , Q分别从A、C两点同时出发，沿厶 AFB和厶CDE各边匀速运动一 周，即点P自At F t B t A停止，点Q自C t D t E C停止在运动过程中：图(第20题)Q图用图 已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； 若点P、Q的运动路程分别为 a、b (单位：cma

20、b丰0),已知A、C、P、Q四点为顶点的 四边形是平行四边形，求 a与b满足的数量关系式.(福州市中考题)【答案】(1) AF =5 cm.(2 如图(见原题图)，显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四 点不可能构成平行四边形；同理，当P点在AB上时，Q点在DE或CE上，此时也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在DE上，才能构成平行四边形以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， PC =QA.T点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒 PC =5t, QA =12 -4t. 5t =12 -4t ,解得 t .3以A、C、P、Q四点

21、为顶点的四边形是平行四边形时， t =4秒.3由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上.DQ分三种情况：（a）如图，当 P点在AF上，（b）如图，当 P点在BF上，（c）如图，当 P点在AB上，Q点在CE上时,Q点在DE上时,Q点在CD上时,AP =CQ，即 a =12 _b, AQ =CP，即12 _b =a , AP =CQ ,12_a =b ,得 a b=12. 得 a b=12. 得 a b =12.AMB综上所述，a与b满足的数量关系式是 a F =12（ab工0）16.矩形菱形例1如图，矩形ABCD的对角线相交于 O, AE平分/ B

22、AD交BC 于 E，/ CAE =15 ，则/ BOE =.（“祖冲之杯”邀请赛试题）【答案】 ABO为等边三角形， ABE为等腰直角三角形,贝U BO =AB 二BE, / OBE =30 ，故/BOD =183O =75 2例2如图，四边形ABCD是菱形， AEF是正三角形，点E、F 分别在BC、CD上，且 AB二AE，则/ B等于（）.A.60 B.80 C.100D.120 （河北省竞赛题）【答案】B 设/ B =x ，则/ BAE = Z DAF =180 - 2x。，由x 2 （180 -2 X 60 180 ，得 x =80.例3如图，在菱形 ABCD中，AB=2 , / DAB

23、 =60，点E是AD边的中点，点 M是AB边上一动点（不与点 A重合），延长ME交射线CD于点N，连接 MD , AN.（1）求证：四边形 AMDN是平行四边形.（2）填空： 当AM的值为时，四边形AMDN是矩形； 当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.（2012年河南省中考题）【答案】（1）略（2）12例4如图，设P为等腰直角三角形 ACB斜边AB上任意一点,于点F , PG丄EF于G点，延长GP并在其延长上线取一点 丄 BD，且 BC =BD.(全国初中数学联赛题)【答案】 PC 二EF =PD, / CPB=45 +/ HPF =45 + / PFH =45 + / EPG =/ GPA

24、=/ PD，可证明 CPB = DPB,故 BC 丄 BD,BC 二BD.例5将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中， 0为原点，C 在 x轴上，0A =6 , 0C =10.(1) 如图，在OA上取一点E，将 EOC沿EC折叠，PE丄AC于点E , PF丄BCD，使得PD二PC.求证：BC使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；(2) 如图，将矩形变为矩形 OAEC ；在OA OC 边上选取适当的点 E F :将厶EOF 沿 E F折叠，使O点落在AB 边上的交OC于G点，求证：TG=AE(泰州市中考题)D 点，过 D 作 DG / AO ；交 E F 于 T 点,【答案】 设OE =x，由

25、EOC EDC ,得OE =DE =x，又OC 二CD =10, DB =8, AE =6 x, AD =2.在 Rt DAE 中，AE2 AD2 二 DE2,即2 2 2(6 x) + 2 =x10110(2) 连接 OT , EOF E D F , E DT 也 E OT ,四边形 AD GO 为矩形,A D =OG ,可证明 AE D 也厶 OTG ,故 AE =TG.变中不变例6在平行四边形 ABCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E ,交直线DC的延长线于点F .图CF(1 )在图中证明：CE=CF;(2) 若/ ABC =90 , G是EF的中点(如图)，直接写出/ BDG的

26、度数；(3) 若/ ABC =120 , FG / CE , FG =CE ,分别连接 DB , DG (如图)，求/ BDG的度数(北京市中考题)【答案】问题(2)是解题的关键，结论、证法对问题(3)的解决有类比、迁移启发作用对于，随着思维切入点不同,有下列不同解法:图甲F图丙(1) 如图甲，直接补图构造全等，连接CG、BG，证明 BEG DCG.(2) 如图乙，间接分割构造相似，只需求出/ BDA+ / CDG的值，而/ CDG所在的 CDG 有一个角为135 ，故可构造一个含/ BDA在内的有一个角为135 的钝角三角形在AD上 截取AH二AB,连接BH、CG .(3) 如图丙，居高临下

27、构造辅助圆 类比推理，请读者证明问题(3).数学冲浪知识技能广场1如图，以厶ABC的三边为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即厶ABD、 BCE、 ACF.(1) 四边形 ADEF是；(2) 当厶ABC满足条件 时，四边形 ADEF为矩形；(3) 当厶ABC满足条件 时，四边形 ADEF不存在EFDA(第 1 题)（第 2题）【答案】（1）平行四边形(2)/ BAC =150(3)/ BAC =602如图，将两张长为 8,宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张 纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 .（烟台市中考题）【答案】17当两张纸片的对角线重合

28、，处于如图所示位置时，菱形周长最大，设菱形边长为X,则有（8 _x）2 - 22 =x2，解得17x ，4x =17.4（第 2题）3.如图，四边形 ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连 接DE交AB于点F，/ AED =2 / CED，点G是DF的中点, 若BE =1 , AG =4 ,贝U AB的长为.（2012年哈尔滨市中考题）4.如图，在平面直角坐标系中， 矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的 夹角为30, OC=2，则点B的坐标是.（2012年山西省中考题）【答案】（2 ,2 3），连接OB ,作BD丄x轴于D.5.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD

29、的长分别为6cm、8cm, AE 丄 BC 于点 E ,则 AE2455的长为(A.5 - 3 cm)-48D. 一 cmB.2、5 cm C.-（2012年大连市中考题）【答案】D6如图，矩形纸片ABCD中，AB =4 , AD =3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG ,则AG的长为（）43A.1 B. C.D.23 2（衡阳市中考题）（第 7 题）（第5题）（第6题）【答案】C7如图，在矩形 ABCD中,AB =1, AD = 3, AF 平分/ DAB，过 C 点作 CE 丄 BD 于 E , 延长AF、EC交于点H，下列结论中： AF二FH ;BO = BF ;CA二CH

30、;BE =3ED ,正确的是（ ）A. B.C. D.（齐齐哈尔市中考题）【答案】D8.如图，在菱形ABCD中，/ A=110 , E、F分别是边AB和BC的中点，EP丄CD于点P ,D.55A.35 B.45 C.50（杭州市中考题）P（第8题）（第 9题）【答案】D作FG丄EP于G , G为EP的中点，FE二FP.9已知：如图，在菱形 ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME丄CD于点E /仁/ 2.(1 )若CD =1 ,求BC的长；(2) 求证：AM =DF ME.(2012年重庆市中考题)【答案】(1) BC =2延长 AB和DF相交于点 G ,证明 CEM

31、 CFM , DCF GBF .10. 问题情境将一副直角三角板(Rt ABC和Rt DEF )按图所示的方式摆放，其中/ACB=90 ,CA=CB ,/ FDE=90 ,0是AB的中点，点D与点O重合，DF丄AC于点M , DE丄BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.探究展示小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM =0N.证明如下：连接CO ,则CO是AB边上的中线 CA二CB , CO是/ ACB的角平分线.(依据1)/ OM 丄 AC , ON 丄 BC , OM =ON.(依据 2)反思交流(1) 上述证明过程中的“依据 1 ”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2：

32、 (2) 你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸(3) 将图中的Rt DEF沿射线BA的方向平移至如图所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点 M , BC的延长线与DE垂直相交于 点N，连接OM , ON ,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程(2012年山西省中考题)【答案】(1)、(2 )略(3) 连接OC ,四边形DMCN是矩形，可证明厶 OAM OCN , OM =ON , OM丄ON.思维方法天地11. 图是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一

33、个形状相同但尺寸更大的图形(如图)，依此规律继续拼下图（如图），则第n个图形的周长是（德州市中考题）（第 11 题）（第11题）12如图，在矩形ABCD中，已知AD =12，AB =5,PF丄AC于F，那么PE +PF的值为,（全国初中数学联赛试题）P是AD边上任意一点，PE丄BD于E ,（第12题）（第13题）【答案】2n1图中的周长=等边二角形边长X2+菱形边长X 4.原图的周长1=1 14=4;2原图的周长=2 2 1 4 =8;原图的周长=4 2 2 4 =16;第n个图形的周长=2nl 2 W 4=2n1;【答案】60 过A作AG丄BD于G，贝V PE PF =AG ,由AG BD

34、= AB AD ,得 13AB ADBD12 513601313如图，在菱形 ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上，BE =2a , / BAD =120 , P 点在 BD 上,则PE +PC的最小值为 ,【答案】2 3a A、C关于BD对称，连 AE交BD于P，且AE丄BC , / BAE =30PE PC 二 AE = . (4a)2二(2a)2 =2 3a，为最小值).25C. cm D.8cm214.如图，矩形纸片ABCD中，AB =6cm, BC =8cm ,现将其沿EF对折，使得点C与点A重 合，则AF长为（a 25厂 25A. cmB.cm84（2012年黄石市中考题xA

35、（第15题）【答案】BA在x轴上，/ B =12015.如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点形OABC绕原点顺时针旋转105。至OABC 的位置，则点 B的坐标为（,OA=2，将菱).A.( .2,-2 ) B.(-2,2)C.(2,-2)D.( 3，-3)（2012 年泰安 市中考题）【答案】A连OB , OA B为等边三角形，/ BOA =4516.菱形ABCD的边长为1 ,面积为-，则AC BD的值为（）.9A. 4 B. C.8393D.329（2012年四川省竞赛题）【答案】C设AC =2a , BD =2b ,17.如图，已知矩形 ABCD和点P ,当点P在BC上任一位置（如

36、图所示）时，易证得结并利用论：PA2 PC2 =PB2 PD2，请你探究：当点 P分别在图、图中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论,图证明你的结论答：对图的探究结论为 对图的探究结论为 .证明：如图：(庆阳市中考题)图图图(第17题)【答案】对图、图的探究结论为2 2 2 2PA PC =PB PD .对图，过点P作MN丄AD于点M，交BC于点N，运用勾股定理可证(第18题)18. 如图，在 Rt ABC 中，/ B =90 ,BC=5p3, /C =30。点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速 度向点A匀速运动，同时点 E从点A

37、出发沿AB方向以每秒1 个单位长的速度向点 B匀速运动，当其中一个点到达终点时， 另一点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒(t -0), 过点D作DF丄BC于点F，连接DE、EF.(1) 求证：AE =DF;(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由;(3) 当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由(河南省中考题)【答案】(1) AE =DF =t.(2) 若使平行四边形 AEFD为菱形，则需 AE=AD , 由 t=102t,得 t =.3(3) 当/ EDF =90 时，由 AD =2AE ,5得 10 -2t =2t , t .21当/

38、DEF =90。时，由AD =丄AE.2得 10 _2t Jt, t =4.2 当/ EFD =90 时，此种情况不存在故当t=5或t=4时， DEF为直角三角形.2应用探究乐园19. 如图，矩形 MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若/ 1 = / 2= / 3= / 4,则称四边形EFGH为矩形MNPO的反射四边形.图、图、图中，四边形ABCD 为矩形，且 AB =4 , BC =8.理解与作图QFPD图AD图图M（第19题）在图，图中，点 E , F分别在BC , CD上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH .计算与猜想（2） 求图，图中反

39、射四边形 EFGH的周长，并猜想矩形 ABCD的反射边四形的周长是 否为定值?启发与证明（3） 如图，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小 华同学给我们的启发证明（2）中的猜想.（2012年咸阳市中考题）【答案】（1）作图如下：AGDAGD图图(2)在图中， EF =FG =GH =HE =22 42=20=2 .5 , 四边形EFGH的周长为4 2、5=85.在图中， EF 二GH = 22 12 = 5 , FG 二 HE = 3? 6 .4 =3 5 ,四边形EFGH的周长为2 ,5 2 3.5 =8.5.猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值 .(3)

40、如图，/ 仁/2，/ 1 = / 5,./ 2= / 5而 FC =FC ,图 Rt FCE Rt FCM . EF =MF , EC =MC. / M =90 - / 5 = 90 -Z 1，/ HEB =90 -Z 4，而/ 1=Z 4 , / M = Z HEB , HE / GF .同理，GH / EF .四边形EFGH是平行四边形. FG 二HE ,而Z 1 = Z 4 , Rt FDG RtHBE , DG =BE.过点 G 作 GK 丄 BC ,垂足为 K，贝U KM =KC CM =GD CM , =BE，EC =8, GM =：?42 8=4.5，故四边形 EFGH 的周长为

41、 2GM =8 5.20. 请阅读下列材料：问题：如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC.若/ ABC = / BEF =60，探究PG与PC的位置关系及 的值.PC小聪同学的思路是： 延长GP交DC于点H ,构造全等三角形，经过推理使用问题得到解决 请你参加小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系是PGPC(2)将图中的菱形 BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图) 两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加

42、以证明；，你在(1 )中得到的图F图(第20题)(3)若图中/ ABC =Z BEF=2(0 90 )，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出匹=(用含ct的式子表示).PC(北京市中考题)【答案】(1)线段PG与PC的位置关系是PG丄PC; E9二3.PC(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化.证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH、CG.E(第20题) P是线段DF的中点， FP =DP.由题意可知AD / FG./ GFP 二/ HDP./ GPF 二/ HPD , GFP HDP. GP =HP , FG =HD.四边形ABCD是菱形， CD

43、=CB , / HDC 二/ ABC =60由/ ABC二/ BEF = 60 ,且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形 ABCD的边AB在同一条 直线上，可得/ GBC =60 ./ HDC =Z GBC.四边形 BEFG 是菱形， GF =GB. / HD =GB. HDC GBC. CH =CG , / DCH =/ BCG./ DCH / HCB = / BCG / HCB =120 .即/ HCG =120 ./ CH =CG , PH =PG , PG 丄 PC , / GCP =/ HCP =60 .PG 龙PC(3) 空=tan(90 -:).PC17. 正方形问题解决D例1如图

44、，Rt ABC中，/ C =90 ，以斜边 AB为边向外作正 方形ABDE，且正方形对角线交于点 O ,连接OC，已知AC =5，OC =6/2,则另一直角边 BC的长为.(2012年深圳市中考题)【答案】7延长CB到M，使M C ,连接OM ,则厶OAC也 OBM.例2如图，正方形 ABCD中，AB =6，点E在边CD上，且CD =3DE.将厶ADE沿AE对折至 AFE,延长EF交边BC于点G，连接AG , CF.下列结论：厶 ABG AFG ; BG =GC : AG / CF ; S吉Gc =3.其中正确结论的个数是().A.1B.2C.3D.4(重庆市中考题)【答案】C设BG =x ,

45、可求得BG二CG =3;作CM丄GF，由面积法得CM =2.4, S fgc =3.6,不正确.例3 (1)如图，已知正方形 ABCD和正方形CFEF (CG BC) , B、C、G在同一直线上， M为线段AE的中点M .探究：线段MD、MF的关系.(2)如图，若将正方形 CGEF绕点C逆时针旋转45 ，使得正方形 CGEF对角线CE在 正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点.试问：(1)中探究的结论是否还成立？ 若成立，请证明，若不成立，请说明理由.(大连市中考题)图【答案】（1）延长DM交EF于N，由1MF DN , FD =FN ,故 MD 丄 MF , 2ADM ENM，得

46、DM = MN , 且 MD =MF.(2)延长 DM 交 CE 于 N，连 DF , FN .先证明 ADM ENM ,再证明 CDF ENF , （1）中结论仍成立.例4如图，正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是DA的中点，连接BE与CF相交于P .求证：AP =AB.（北京市竞赛题）【答案】下面提示仅供参考：延长PF、BA交于点M ,先证明CF丄BE ,再证明 MA 二CD 二 AB.例5如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的M点重合, 折痕交AD于E ,交BC于F，边AB折叠后与BC连交于点G.（1）如果M为CD边的中点，求证： DE : EM =3 : 4 : 5;（2

47、）如果M为CD边上的任意一点，设 AB =2a , CMG的周长 是否与点M的位置有关？若有关，请把 CMG的周长用含DM的 长x的代数式表示；若无关，请说明理由 .（无锡市中考题）【答案】（1）证明：设正方形边长为 a , DE为x,则DM二旦，EM二EA二a -x ,在Rt 2DEM 中，/2D =90 , DE2DM 二EM解得x5EM a.8:DM3:EM - a85 a =3 : 485.(例5)AG ,则/ DMA 二 Z MAB =Z AMN.(2 ) CMG的周长与点M的位置无关理由如下：如图，过点 A作AN丄MG于点，连接 ANM ,/ ADM =/ ANM , AM =AM

48、 , ADM DM 二MN , AN 二AD./ AD 二AB, AN 二AB , Rt ANG Rt ABG. NG 二GB. CMG 的周长为 CM CG MG =CM MN NG CG =(CM DM ) (GBCG)二CD CB =4a，与点M的位置无关.变式探究AEF =90 ，且EF交正方形例6如图，四边形 ABCD是正方形，E是边BC的中点, 的外角/ DCG的角平分线 CF于点F 求证：AE =EF.分析与解 构造全等三角形或通过对称变换转化问题，请读者完成证明变式思考：（1）从特殊到一般如图，当E为BC上的任意一点或 BC延长线上一点（除B点外），其余条件不变，结论“ AE

49、=EF ”还成立吗？（2 ）推广原题 如图，将“正方形 ABCD ”改为“正三角形 ABC”，F为/ ACG的平分线上一点，则当/ AEF等于多少时，结论“ AE =EF ”成立？如图，已知正方形边（3）考查逆命题BC在直线MN上，E是BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形 AEFG，连FC，求证：/ FCN =45G图(第 1 题)数学冲浪知识技能广场1. 如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形 EFCG , EF交AD于点H，那么DH的长为.（上海市中考题）【答案】3连接CH ,则厶CDH FCH , / FCH =/DCH =302. 如图，点P是正方形 ABCD的对角线BD上一点，PE丄BC于点E , PF丄CD于点F .连接EF ,给出下列5个结论：AP =EF;AP丄 EF :厶APD一定是等腰三角形；/ PFE = / BAP;PD=施EC .其中正确结论的序号是 .（宜宾市中考题）【答案】（第 2题）3. 如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是.（2012年桂林市中考题）（第 3题）【答案】n2 n 2每个图中阴影部分的小正方形的个数可以看成是横向的