因动点而产生的面积问题

1、1.6因动点产生的面积问题例1 2018年苏州市中考第29题1如图1,已知抛物线y x2 bx c (b、c是常数，且cv 0)与x轴交于A、B两点2(点A在点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点 C,点A的坐标为(一1,0).(1) b=，点B的横坐标为 (上述结果均用含 c的代数式表示)；(2) 连结BC,过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点，坐标 为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设厶PBC 的面积为S. 求S的取值范围； 若 PBC的面积S为正整数，则这样的 P

2、BC共有个.图1思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB = 2OC.2. 当 C、D、E 三点共线时， EHACOB, EHDCOD .3求 PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.4求得了 S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值, 再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值.满分解答1(1) b= c ，点B的横坐标为一2c.21 11 1(2) 由 yx2 (c )x c (x 1)(x 2c)，设 E(x, (x 1)(x 2c).2 2 2 2过点E作EH丄x轴于H.由于 OB = 2OC，当 AE/BC 时

3、，AH = 2EH .所以 x M = (x 1)(x 2c).因此 x =1 -2c .所以 E(1 -2c,1 -c).当C、D、E三点在同一直线上时，更.所以 1 _c 二 .DH DO2c-12整理，得2c2+ 3c 2 = 0.解得c = 2或c=2 (舍去).2所以抛物线的解析式为 yx2-3x-2 .2 2(3)当P在BC下方时，过点 P作x轴的垂线交 BC于F.1直线BC的解析式为y =丄x -2 .2、1 2 311 2设 P(m, m- m -2)，那么 F (m, m -2) , FP m 2m .2 2 2 21所以 &pbc= Spbf+ &pcf= FP(xb -

4、xC) = 2 FP - -m2 4m - -(m - 2)2 4 .2因此当P在BC下方时， PBC的最大值为4.当P在BC上方时，因为 SA ABC = 5，所以SA PBC V 5.综上所述，0 V Sv 5.若 PBC的面积S为正整数，则这样的 PBC共有11个.考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中， PBC的面积为整数，依次为 (5) , 4, 3, 2, 1 , (0), 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, (0).当P在BC下方，S= 4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点.例2 2018年荷泽市中考第21题如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点

5、为A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0),将此三角板绕原点 O逆时针旋转90,得到三角形 ABO.(1) 一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；(2) 设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PB A B的面 积是 A B O面积的4倍？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形PB A B是哪种形状的四边形？并写出它的两条 性质.思路点拨1四边形PB AB的面积是厶A B O面积的4倍，可以转化为四边形 PB OB的面积是 A B O面积的3倍.2.联结P0,四边形PBOB可以分割为两个三角形.3过点向x轴作

6、垂线，四边形 PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(AOB绕着原点0逆时针旋转90,点A 、B的坐标分别为(一1,0)、(0, 2). 因为抛物线与x轴交于A ( 1,0)、B(2, 0)，设解析式为y= a(x+ 1)(x 2),代入 B (0, 2)，得 a = 1.所以该抛物线的解析式为y = (x+ 1)(x 2) = x2 + x+ 2.(2) Sa a B 0= 1 .女口果 S 四边形 pb a B= 4 Sa b O = 4，那S 四边形 pb 0b = 3 Sa a b o = 3.如图2,作PD丄OB，垂足为D .设点P的坐标为(x, x2+ x+ 2

7、).1 1 2 1 3 1 2S弟形PBo2O(BO PD)匕 x(2_x2 x 2)=2X3 ?x2 2x.1121 33 2S pdb DB PD (2-x)(-x2 x 2)x3x2 2 . 2 2 2 2所以S四边形PBA D-S梯形 pbOD2S pDB = -x 2x+2 .解方程一 x2 + 2x+ 2 = 3,得 x1= x2= 1 . 所以点P的坐标为(1 , 2).图2图3图4(3)如图3,四边形PB A B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第(2)题求四边形PB OB的

8、面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.1 1S pBOB O xP2x = x .1 1 2 2Spbo BO yp =2 2(-X2 x 2) = -X2 x 2 .所以 S四边形 PBA D - S PBO S.PBO = _X 2x+2 .甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:作厶A 0B 关于抛物线的对称轴对称的厶BOE ,那么点E的坐标为(1 , 2).而矩形EB 0D与厶A 0B 、 BOP是等底等高的，所以四边形EB A B的面积是厶A B 0面积的4倍.因此点E就是要探求的点 P.例3 2018 年河南省中考第23题如图1,在平面直角坐标系中， 直线

9、y =x与抛物线y= ax2 + bx 3交于A、B两点,2点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,作PD丄AB于点D .(1) 求 a、b 及 sin / ACP 的值；(2) 设点P的横坐标为m. 用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； 连结PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.思路点拨1. 第(1)题由于CP/y轴，把/ ACP转化为它的同位角.2. 第(2)题中，PD

10、 = PCsin/ACP，第(1)题已经做好了铺垫.3. A PCD与厶PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.4两个三角形的面积比为9 : 10,要分两种情况讨论.满分解答1(1) 设直线 y x 1 与 y 轴交于点 E,那么 A( 2,0), B(4,3), E(0,1).2在 Rt AEO 中，OA = 2, OE = 1,所以 AE ；5 所以 sin . AEO 二红5 .5因为 PC/EO,所以/ ACP = / AEO.因此 sin. ACP 二2 .5将 A( 2,0)、B(4,3)分别代入 y= ax2 + bx 3,得 4已-2|3-3 = 0,l

11、16a+4b3=3.解得 a = , b 二.2 211 1(2) 由 P(m, m2m-3), C(m, m 1),2 2 2得 PC =(1 m 1) -(丄 m2 1 m - 3)= -丄 m2 m 4 .2 2 2 2所以 PD =PCsin AC2-5 P2-51 m2 m 4)5(m1)2.55255所以PD的最大值为区.5(3) 当 &pcd : &pcb= 9 : 10 时，m = 5 ;当 Sapcd : SL pcb= 10 : 9 时，m =32 .29考点伸展第(3)题的思路是： PCD与厶PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.而 DN =PD

12、cos. PDN =PDcos. ACP = ：5 2 -5 (_ 1 m2 m 4) - -1 (m 2)(m-4), 5525BM = 4 m.195 当 Sapcd : Sapcb= 9 ： 10 时， (m 2)(m 4)(4 m).解得 m =- .5102 当 Sapcd : spcb= 10 ： 9 时，_!(m - 2)(m -4) = (4 -m).解得 m =生.599例4 2011年南通市中考第28题如图1,直线l经过点A(1,0)，且与双曲线y=m(x 0)交于点B(2, 1).过点P(p,p-1)(p x 1)作X轴的平行线分别交曲线 y=m(x 0)和y-_m(xv

13、 0)于M、N两点.Xx(1) 求m的值及直线I的解析式；(2) 若点P在直线y= 2上，求证： PMBPNA;(3) 是否存在实数p,使得Samn = 4Saamp?若存在，请求出所有满足条件的p的值； 若不存在，请说明理由.思路点拨1第(2)题准确画图，点的位置关系尽在图形中.2.第(3)题把9 AMN = 4Saamp转化为MN = 4MP，按照点M与线段NP的位置关系分 两种情况讨论.满分解答(1) 因为点B(2, 1)在双曲线y=m上，所以m = 2.设直线l的解析式为y二kx b ,x代入点A(1, 0)和点B(2, 1)，得k 0,解得k 所以直线|的解析式为y = x-1.gk

14、+b=1.出=一1.(2) 由点P(p, p -1)(p 1)的坐标可知，点 P在直线y=x-1上x轴的上方.如图 2,当y= 2时，点P的坐标为(3, 2).此时点M的坐标为(1 , 2)，点N的坐标为(一1, 2). 由P(3, 2)、M(1 , 2)、B(2, 1)三点的位置关系，可知 PMB为等腰直角三角形.A(1, 0)三点的位置关系，可知 PNA为等腰直角三角形.由 P(3, 2)、N(- 1, 2)、所以 PMB PNA.(3)A AMN和厶AMP是两个同高的三角形，底边 MN和MP在同一条直线上. 当 Samn = 4Saamp 时，MN = 4MP .如图3,当M在NP上时，

15、Xm - Xn = 4(Xp-Xm).因此弓卜仆丐得x J 13或x一 13 (此时点 2如图4 ,P在x轴下方，舍去)2 当 M 在 NP的延长线上时，.此时P=T?.Xm Xn = 4(Xm xp). 因考点伸展在本题情景下，情形一，如图5,情形二，如图6, 不存在/ ANM = 90的情况.5或x J - 5 (此时点P在x轴下方，舍去).2AMN能否成为直角三角形? / AMN = 90，此时点 M / MAN = 90,此时斜边的坐标为(1 , 2)，点P的坐标为(3, 2). MN上的中线等于斜边的一半.例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标

16、分别为(3,0), (0,1).点D是线段BC上_ 1的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y x b交折线OAB于点E.2(1) 记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2) 当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 O1A1B1C1,试探究四边形 OiAiBiCi与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠思路点拨1数形结合，用 b表示线段OE、CD、AE、BE的长.2. 求 ODE的面积，要分两种情况.当 E在OA上时，OE边对应的高等于 OC;当E 在AB边上时，要利用割补法求 ODE的面积.3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行

17、四边形.4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理.满分解答（1）如图2,当E在OA上时，由yr-fxb可知，点E的坐标为（2b,0）, OE= 2b.此时 S= Sa ODE =OE OC J 2b 1 二 b .2 21如图3，当E在AB上时，把y= 1代入y x b可知，点D的坐标为（2b 2,1）,21 3CD = 2b 2, BD = 5 2b.把 x= 3 代入 y x b 可知，点 E 的坐标为（3, b ） , AE2 23 5=b , BE = b .此时22S= S 矩形 OABC OAE BDE OCD-1 (2b-2)21 31 5=3 二 3(b-；)-；

18、(；-b)(5-2b)-2 2 2 225二bb .OABC关于直线 DE对称，因此 DM = DN,那DMEN是菱形.2如图4,因为四边形 O1A1B1C1与矩形么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形作DH丄OA,垂足为 H .由于 CD = 2b 2, OE= 2b,所以EH = 2.设菱形 DMEN的边长为 m.在 RtA DEH中，DH = 1, NH = 2 m, DN = m,所以12 +55(2 m)2= m2.解得m.所以重叠部分菱形 DMEN的面积为4 4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形51，如图6所示；最大面积为 5，如图7所

19、示.那么这个菱形的最小面积为CDAM“GwNAO图6(如图5),例6 2010 年扬州市中考第28题如图1,在厶ABC中，/ C= 90, AC = 3, BC= 4, CD是斜边 AB上的高，点 E在斜 边AB上，过点E作直线与厶ABC的直角边相交于点 F，设AE = x,A AEF的面积为y.(1) 求线段AD的长；(2) 若EF丄AB，当点E在斜边AB上移动时， 求y与x的函数关系式(写出自变量 x的取值范围)； 当x取何值时，y有最大值？并求出最大值.(3) 若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合)，点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线 EF将厶ABC的周长和面积同时平分？若存在

20、直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由.备用图思路点拨1第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点.2.第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论.3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的 情况作出判断.满分解答在 Rt ABC 中， AC = 3 , BC = 4，所以 AB = 5 .在 Rt ACD 中，39AD = AC cos A = 3 -5 594 如图2,当F在AC上时，0 ： X .在Rt AEF中，EF = AE tan A x .所53EF =2x2393如图3,当 F 在 BC 上时，工W x ：5 .在 R

21、t BEF 中，EF = BE ta nB(5 - X).所54y J AE2EF =-3x289当0 : x 时,59当 x ： 5 时,515x .82 2x33 2x854的最大值为一；251535、882275的最大值为75 .3232的最大值为75 .32B5因此，当时,（3） ABC的周长等于12,面积等于6.先假设EF平分 ABC的周长，那么 AE = x, AF = 6 x, x的变化范围为3 v x 5.因1 1422此 S AEF AE AF sin A x（6 - x）x（x -6）.解方程 x（x - 6） = 3，得2 2555x =3 土1需.2因为在3 W x0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(px 1)作x轴的平行线分别交曲线 y=m(x 0)和y=m(xv 0)于M、N两点.xx(1) 求m的值及直线I的解析式；(2) 若点P在直线y= 2上，求证： PMBPNA；(3) 是否存在实数p,使得Smn = 4Samp?若存在，请求出所有满足条件的p的值； 若不存在，请说明理由.例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点D是线段BC上_ 1的动点(与端点 B、C不重合)，过点D作直线y x - b交折线OAB于点E .2(1) 记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式