沪科版九年级下册数学《垂径定理》课件

1、24.2 圆的基本性质,第2课时 垂径分弦,第24章 圆,安徽省安庆市岳西县莲云中心学校 汪金星,赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道 如何求出赵州桥主桥拱的半径吗,合作探究,问题1 在纸上任意画一个O，沿O的一条直径将O折叠，你发现了什么,O,圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线,问题2 如图,AB是的一条弦，CD是的直径,且CDAB,垂足为E, (1)这是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧?为什么,问题3 已知：如图，在O中，CD是直径，AB是弦，且CD

2、AB，垂足为E. 求证：AE=EB， ，,O,A,B,D,E,C,证明：连接OA，OB，则OA=OB.OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称,P,O,A,B,D,E,C,Q,同理，如果点P是O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称,当把圆沿着直径CD折叠时，CD两 侧的两个半圆重合，AE与BE重合， 点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 因此 AE=EB， ，,所以O关于直线CD对称,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧,CD是直径，CDAB,AE=BE,

3、几何语言,归纳总结,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形,归纳总结,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧,题设 直径 垂直于弦,结论 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,猜想： 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,题设 直径 平分弦,结论 垂直于弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,如图，AB是O的一条弦，E是AB中点，过点E作直径CD。(1) CDAB吗？为什么？ (2,O,A,B,C,D,E,解：(1)CDAB，理由如下： 连接AO，BO，如

4、图，则AO=BO,又AE=BE，OE=OE， AOEBOE（SSS,AEO=BEO=90,CDAB,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论,特别说明： 圆的两条直径是互相平分的,归纳总结,不是直径,例1 如图，O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心 到弦AB的距离,O,A,B,E,解：连接OA，过圆心O作 OEAB，垂足为E，则,又OA=5cm，在RtOEA中，有,一,典例精析,答：圆心到弦AB的距离OE是4cm,圆心到弦的距离叫做 弦心距,变式题】如图，OEAB于E，若O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = cm,解析：连接OA，如图. OEAB,AB=2A

5、E=28=16（cm,16,一,例4 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径,由垂径定理，得 AD = AB = 18.7 m， 设O的半径为R， 在RtAOD中，AO=R， OD=R-7.2，AD=18.7. 由勾股定理，得,解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m,解得 R 27.9,答：赵州桥主桥拱的半径约为27.9m,R2 = (R-7.2)2 +18.72,在圆中，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系,弓形中重要数量关系,d+h=r,归纳总结,a,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为,5cm,2.已知O的直径AB=20cm, BAC=30, 则弦AC=,3. 已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为,14cm或2cm,当堂练习,4.如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧,两种辅助线： 连半径