大学物理刚体的定轴转动

1、刚体的定轴转动,第五章,5.1 刚体的运动的描述 5.2 刚体定轴转动 5.3 转动惯量的计算 5.4 转动定律应用 5.5 角动量守恒 5.6 定轴转动中的功和能,5.1 刚体的运动的描述,刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变,刚体（rigid body,或任意两点之间的距离始终保持不变,任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型,只讨论定轴转动,各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相

2、同,定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动,描述刚体整体的运动用角量最方便,5.1.3 刚体的运动及描述,角位移:描写刚体位置变化的物理量,参考方向,刚体初始角坐标,末态角坐标,刚体的角位移,角位移较大时是标量,角位移很小时是矢量,明确,时是矢量,刚体运动学中所用的角量关系如下,角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向,线速度与角速度的关系,角速度,角加速度,在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时， 相应公式,非匀变速转动时,类似于 匀变速直线运动,但是,三、角量与线量

3、的关系,一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向加速度和法向加速度也越大,t =6 0 s 时转过的角度为,则 t =6 0 s 时电动机转过的圈数,角加速度随时间变化的规律为,解：根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 0 s 代入，即得,求： t =6 0 s时的转速 ； 角加速随时间变化的规律； 启动后6 0 s 内转过的圈数,5.2.1力对转轴的力矩,方向：右手螺旋法则,任意方向的力对转轴的力矩,5.2 5.4 刚体的转动定律及应用,1) 力在转动平面内,2) 力在转动平面外,取其在

4、转动平面内的分力 产生力矩,力矩,如果是定轴转动,是各分力产生的力矩的代数和,4） 一对内力对转轴的力矩,由于成对内力大小相等,方向相反,则其力臂必相同.故力矩大小相等,一对内力对转轴的合力矩为零,由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合内力矩为零,3） 几个外力产生的合力矩,由牛顿定律,在自然坐标中,切向分量为,其中,即,变形有,对所有质元求和,这里,定义,叫转动惯量,则刚体转动定律为,上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出,2、刚体定轴转动的转动定律,m反映质点的平动惯性，j 反映刚体的转动惯性,力矩是使刚体转动状态发

5、生改变而产生角加速度的原因。力f 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因,细杆受的阻力矩,由细杆质量,有,例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,第一类问题：已知运动情况和 j ，确定运动学和动力学的联系- ，从而求出 m或 f,如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体，且m1 m2 。设定滑轮是一质量为m ，半径为r的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和绳的张力 。如果略去滑轮

6、的运动，将会得到什么结果,解：分别作出滑轮m、物体m1和m2的受力图,应用牛顿第二定律,对m ：（t1t2）r=j 应用转动定律,第二类问题：已知j 和力矩m ：求出运动情况a和 及f,且由角量与线量的关系，有：a =r,解联立方程组、和 ，可得,如果略去滑轮的运动 ，即t1=t2=t 、j=0 ，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置,5.2.2、刚体定轴转动的角动量,质点对点的角动量为,刚体上的一个质元mi ,绕固定轴做圆周运动角动量为,所以整个刚体绕此轴的角动量为,5.2.3、刚体定轴转动的角动量定理,转动定律,单位： 牛顿米秒,j 改变时,质点系的转动惯量

7、,国际单位制中转动惯量的单位为千克米2（kgm2,5.3 转动惯量的计算,与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 转轴的位置 刚体的形状(质量的分布,实质上与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径,单个质点的转动惯量,质量连续分布的 刚体的转动惯量,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和,例1、求质量为m、半径为r的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心,解,i是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计

8、算出刚体的转动惯量,例2、求质量为m、半径为r、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与厚度l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mr2/2,例3、求长为l、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量,解：取如图坐标，dm=dx,例中jc表示相对通过质心的轴的转动惯量， ja表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距l/2。可见,5.3.2平行轴定理,推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为j，则有：jjcmd2。这个结论称为平行轴定理,证明：如右图示，刚体的二轴分别为z 和 z 轴,由此可知：刚体对各

9、平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小,几种刚体的转动惯量,1.转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度,2.转动惯量与刚体的几何形状(及体密度的分布)有关. (几何形状简单,则与质量m有关)，还与转轴的位置及转轴的取向有关,3.转动惯量具有相对性：同一刚体,转轴不同, 质量对转轴的分布不同,因而转动惯量不同,4.转动惯量具有迭加性：如图,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为j1,j2,j3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为j=j1+j2+j3,5.平行轴定理：刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积,关于刚体转动惯量的

10、说明,5. 5、刚体定轴转动的角动量守恒定律,m = 0的原因，可能 f0；r = 0; fr ； 在定轴转动中还有m 0，但力与轴平行，即mz=0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒,当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。角动量守恒定律,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。j 大 小,j 小 大,c.角动量守恒定律，不仅适用于宏观、低速领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛顿力学理论更为普适的物理定律,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因j 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 即刚体在受

11、合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去,例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水,例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l ,质量为m,解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为,因 ， 由两式得,请问:子弹和棒的总动量守恒吗,不守恒上端有水平阻力,总角动量守恒吗,解 以飞轮a、b和啮合器c作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前

12、者对转轴的,为两轮啮合后共同转动的角速度,例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，a和b两飞轮的轴杆在同一中心线上，a轮的转动惯量为ja，b的转动惯量为jb 。开始时a轮的转速为na，b轮静止。c为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化,力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,5.5.1转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半,第 i 个质元的

13、动能,整个刚体的动能,称刚体的转动动能,定义,对 z轴的转动惯量,5.5 转动中的功和能,5.5.2、力矩的功,式中,对i求和，得,当力持续作用于刚体使其角位置由1到2时,力矩的功为,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积,当力矩为常量时,功为,对于同一转轴,刚体中所有内力矩功的总和为零,二、力矩的功率,单位时间内力矩所做的功,注意,1.当额定功率一定时,力矩与转速成反比; 2.当力矩与与角速度同向时,功和功率皆为正值;反之为负,5.5.3、刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能定理:即合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动动能的增量,设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分

14、别为1和1， 末态的角位置和角速度分别为2和2,则在该过程中力矩的功为,对于系统的动能，除了考虑它的平动动能，还要考虑它的转动动能,5.5.4、刚体的重力势能 质量为m的不太大的整个刚体的重力势能,一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能,结论,六、刚体系统的功能原理,a外力 +a非保守内力=（ek2 +ep2 ）-（ek1 +ep1,当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时,在该过程中系统机械能守恒,解:在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下落 h 时为重力 0 势点,例1：如图所示的物体系中，劲度

15、系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 r、转动惯量为 j，质量为 m 的物体,若绳与滑轮间无相对滑动, 滑轮轴上的摩擦忽略不计。求:（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。(2) 物体的速度达最大值时的位置及最大速率,例 2： 如图一质量为m 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成角时,杆的角速度是多少,1. 研究对象:杆+球+地球=系统,重力mg保守内力; 弹力其功为零,2. 分析系统受力及力的功,3. 取重力势能零点:水平位置,4. 运动过程中系统满足机械能守恒的条件,解,例3、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另