导数复合函数导数练习题

1、函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） ?y?f(x?x)?f(x)；）求函数的增量 （100f(x?x)?f(x)y?00?。 （2）求平均变化率 x?x)x?x)?f(f(x00lim?(xf) （3）取极限求导数 0x?0x?(x)f的导数就是导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点20x?x)(xf时的函数值。，当导函数 03常用的导数公式及求导法则： （1）公式 0C?cosx)x(sin ，（C是常数） nn?1nx(x?(cosx)?sinx xxxxlna(a(e?)?ea 11(ln?x)?(logx) axlnax11cotx)?(tan

2、x)? （ 22xxcossin)(x?f(x)f(x)?g(xg?，）法则： （2(x)f()?gxx)?fx()g(x(f(x)g (x)f?g(x)f)(x)g(x)f(x? 2)(xg(x)g例： sinx?23?y4y?xx? （2（1） x 2?3x?y?2x4sinxy?3cos? 4 ）（3 （） ?2x?lny? ）5（ 1 / 8 复合函数的导数 ?(xx)(处可导，则复合函数)f 如果函数(u在点u=在点x处可导，函数?(x)在点x处也可导，并且 y= f (u)=f ?)(x(xf)x)( (f )= ?uyy= ?或记作 xux 熟记链式法则?)x(?)(x y= f

3、 ，则u若y= f ()，u=?(xu)f)(y =x?(x(v)(x?，v=u=，则y= f )若y= f (u，?(v)(u)(x)fy= x（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 1?y的导数例1函数. 4)3x(1?1?4?y?(1?3x) 解： 4(1?3x)?4u?1?3xu?y，则，设 ?4u?yy)?(1?3?(ux) xxuxu125?5?5?)(121?3x12)?u?4(3?u? 5(1?3x) 2 / 8 x?y 求例2的导数5x1?1x?

4、5?y? 解：， x?1?44?)1?x(1x?1?xx1x ?55?y? 2x15?x1?x1?5)x1?(?4?641x11 ?5 ?)x?x(1?55? 2x?515)x(1? 求下列函数的导数例3 x?2y?3 x2y?3? 解：（1） 3 u=-2x，则有令 u y=，u=3 -2x ?y?uy由复合函数求导法则 xxu?11?)xu3?2(= 有y ?(?2)?u xxu3?22 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量 ，于是前面可以直接写出如下结果：u11 =y?3(?2x)?x2x3?232? 在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导

5、过程：11 =y?)?(?2x2x?232?3 例4求下列函数的导数 3 / 8 2x?1x1?2) ln (x+（ （1）2y=）y= cos x x1?2 cos y=x）解：（1x?21?x1?2x21的乘积，cos x而其中与cos x是两个函数由于y=x1?2导数又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求 时再用复合函数求导法则，于是x1?2x1?2 ysin =(x -x)cos x?cos)2(?x21?x1?2 sin -x= =sin x xcosx1?2x?2122x1?) +ln (（2）y=x22x1?x1复合而成，所以对此函数ln uu= x与+y=

6、由于y=ln (x+)是?u时用函数和的求导法则，而求求导时，应先用复合函数求导法则，在求x2x?1 )的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以(?11x22x?1 1+(=?=)? y?1?222x1?x?xx?1x1?2?21x?x?11 = =?222x1?x1x?x1? ?y 设.求 例 5 )y1x?ln(x? 解 利用复合函数求导法求导，得2?1?xy?ln(x)12?)?11?(x 12?)?(?xx1?21xx?21x?x?111x12?1?(1?x?1)?. 222221?xx1x?1x?x?x21x1?小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括

7、4 / 8 .号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的 22xxyx. sin33求例6的导数=(+2)2222xxxxyxx )+2)(sin3+2)sin3+(解：=(332222xxxxxxxxx )(3+(=2(33+2)(+2)3cos3+2)sin3222xxxxxxx. 33)sin3cos3+3(=2(+2)3+2)(2 . 求下函数的导数1x cosy?1?2xy? 2） ）（1 （ 3 234235 )=(2xx+ x(3)(2) x(1)y=(53) y=(2+3x y=(2 ) (4)y ?112yxyyyx) (2)(1)=) (4)= (3)=cos(1+=s

8、in(34 236(2x?1)3x?1 ?232?x)?s(cyox?siny)2(?y?xy?lnsin(3x?1)； ； 4 1求下列函数的导数 5 / 8 x2sin233?y)x2?log( x；） (3) (1) y =sinx（+sin23 a1?2x 2)ln(2?3x?1x 2.求的导数 分，共30分）5一、选择题（本题共小题，每题61=y1. 函数的导数是（ ） 2)?13(x6666 D. C. A. B. 2233)1)(3x?x(3x?1)(3x?1)(3?1? ）的导数为（ ）33. 函数y=sin（x+ 4? ）x+B. 3cos3A. 3sin（x+） （3 44

9、?22 D. 3cos）（3x+ C. 3sinx（3+） 44nxy? 在x=2处的导数是12，则n=（ ）4. 曲线 D. 4 B. 2 C. 3 A. 1 x ） x5. 函数y=cos2 +sin的导数为（ xcosxcos +A. 2sin2x+B. 2sin2x x2x2xsinxcos 2sin2C. x+ D. 2sin2 x x22x2相切的切线方程是（ ）与曲线y=2x） ，6. 过点P（12A. 4xy2=0 B. 4x+y2=0 D. 4x C. 4x+y=0 y+2=0 二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分） ?，0）处切线的斜率为_（在点=sin3曲线8. yxP。 36 / 8 ?9. 函数y=xsin 。 （2x x+）的导数是 ）cos（2 22 ?)?cos(2x 函数10. y = 。的导数为 3 _x则?_x)?2,)f(x?xlnx,f( 11. 。00 例2计算下列定积分 1?222x2?dx)?e(xdxsinx?1)dxx( 3）； （2） （1） x100 4 x?dxe ）（ 5的值等于 2?2?244244?2e?ee?e?2e?e?2e)(Ae? (D) (C) (B) 32x?y?6xy?x