对坐标的曲线积分的概念与性质

1、YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动,目录,上页,下页,返回,结束,对坐标的曲线积分,第十章,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,一,对坐标的曲线积分的概念与性质,1,引例,变力沿曲线所作的功,设一质点受如下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,A,B,L,x,y,求移,cos,AB,F,W,大化小,常代变,近似和,取极限,变力沿直线所作的功,解决办法,动过程中变力所作的功

2、,W,AB,F,A,B,F,y,x,Q,y,x,P,y,x,F,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,1,k,M,k,M,A,B,x,y,1,大化,小,2,常代变,L,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,k,k,k,k,y,Q,x,P,k,k,所做的功为,F,沿,k,k,k,k,M,M,F,W,1,k,k,k,F,n,k,k,W,W,1,则,用有向线段,上任取一点,在,k,y,k,x,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY

3、,3,近似和,4,取极限,n,k,W,1,k,k,k,k,k,k,y,Q,x,P,n,k,W,1,0,lim,k,k,k,k,k,k,y,Q,x,P,1,k,M,k,M,A,B,x,y,L,k,k,F,k,y,k,x,其中,为,n,个小弧段的,最大长度,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,2,定义,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,k,k,k,x,P

4、,k,k,k,y,Q,n,k,1,0,lim,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,L,x,y,x,P,d,lim,1,0,n,k,k,k,k,x,P,L,y,y,x,Q,d,lim,1,0,n,k,k,k,k,y,Q,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲,线积,分,称为对,y,的曲线积分,若记,对坐标的曲线积分也可写作,d,d,d,y,x,s,L,L,y,y,x,Q,x,y,x,

5、P,s,F,d,d,d,z,y,x,R,z,y,x,Q,z,y,x,P,z,y,x,F,d,d,d,d,z,y,x,s,类似地,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,3,性质,1,若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,k,i,L,i,y,y,x,Q,x,y,x,P,1,d,d,2,用,L,表示,L,的反向弧,则,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,则,定积分是第二类曲线积分的特例,说明,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,机动,目录,上页,下页,返回,结束,k

6、,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,在有向光滑弧,L,上,L,的参数方程为,t,y,t,x,t,则曲线积分,t,t,P,t,t,t,d,t,t,Q,有定义且连续,证明,下面先证,t,t,t,P,d,t,存在,且有,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,对应参数,设分点,根据定义,i,x,i,t,i,由于,1,i,i,i,x,x,x,1,i,i,t,t,i,i,t,t,t,t,P,d,n,i,i,i,P,1,0,lim,i,i,t,n,i

7、,i,i,P,1,0,lim,i,i,t,t,n,i,i,i,i,x,P,1,0,lim,对应参数,因为,L,为光滑弧,同理可证,t,t,t,Q,d,t,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,特别是,如果,L,的方程为,b,a,x,x,y,则,x,x,x,Q,x,x,P,b,a,d,x,对空间光滑曲线弧,类似有,t,t,t,t,t,t,P,t,t,z,t,y,t,x,定理,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,例,1,计算,d,L,x,y,x,其

8、中,L,为沿抛物线,x,y,2,解法,1,取,x,为参数,则,OB,AO,L,0,1,x,x,y,AO,1,0,x,x,y,OB,OB,AO,L,x,y,x,x,y,x,x,y,x,d,d,d,5,4,d,2,1,0,2,3,x,x,y,y,y,y,x,y,x,L,d,d,2,1,1,2,x,y,x,y,解法,2,取,y,为参数,则,从点,的一段,1,1,1,1,B,A,到,1,1,B,1,1,A,o,y,x,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,例,2,计算,其中,L,为,0,a,a,x,y,y,B,A,o,a,a

9、,x,1,半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,2,从点,A,a,0,沿,x,轴到点,B,a,0,解,1,取,L,的参数方程为,x,y,L,d,2,3,2,a,2,取,L,的方程为,t,a,2,0,2,sin,t,t,a,d,sin,1,3,2,3,3,4,a,则,则,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,y,x,o,例,3,计算,其中,L,为,1,抛物线,1,0,2,x,x,y,L,2,抛物线,3,有向折线,AB,OA,L,解,1,原式,x,x,d,4,1,0,3,2,原式,y,y,y,2,2,2,

10、3,原式,1,0,2,d,0,0,2,x,x,x,0,1,A,1,1,B,2,y,x,2,x,y,1,0,y,y,d,4,1,0,d,1,0,2,y,y,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,例,4,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,1,t,t,k,R,2,0,2,2,d,2,的参数方程为,AB,z,z,y,x,x,y,d,d,d,k,t,t,2,0,d,B,A,z,y,x,试求力场对质点所作的功,其中,为,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIV

11、ERSITY,o,z,y,x,例,5,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,解,取,的参数方程,sin,cos,t,y,t,x,0,2,sin,cos,2,t,t,t,z,t,t,t,cos,sin,cos,2,2,t,t,d,cos,4,1,2,2,0,2,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,s,y,s,x,d,d,cos,d,d,cos,则两类曲线积分有如下联系,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,

12、s,s,y,s,x,Q,s,y,s,x,P,l,d,cos,cos,0,L,s,y,x,Q,y,x,P,d,cos,cos,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,z,R,y,Q,x,P,d,d,d,s,R,Q,P,d,cos,cos,cos,令,t,A,R,Q,P,A,d,d,d,d,z,y,x,s,cos,cos,cos,t,s,A,d,s,A,d,s,t,A,d,记,A,在,t,上的投影为,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,

13、YANGZHOU UNIVERSITY,二者夹角为,例,6,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,续,证,s,Q,P,L,d,cos,cos,设,s,Q,P,L,d,cos,cos,说明,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分,在,L,上连,cos,cos,t,Q,P,A,s,t,A,L,d,s,A,L,d,cos,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,例,7,将,积分,化为对弧长的积,分,解,o,y,x,B,2,2,x,x,y,x,x,x,x,y,d,2,1,d,2,s,d,x,y,d,1,2,x,x,x,d,2,1,

14、2,2,2,x,x,x,1,y,y,x,Q,x,y,x,P,L,d,d,2,2,x,x,1,x,其中,L,沿上半圆周,机动,目录,上页,下页,返回,结束,B,到,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,1,定义,k,k,k,k,n,k,y,Q,x,P,lim,k,k,1,0,2,性质,1,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,i,L,k,i,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,1,2,L,表示,L,的反向弧,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,d,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,内容小结,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU

15、 UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,3,计算,t,y,t,x,L,t,t,t,t,Q,t,t,P,d,t,t,对有向光滑弧,对有向光滑弧,b,a,x,x,y,L,x,x,x,Q,x,x,P,b,a,d,x,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,t,t,z,t,y,t,x,t,t,t,P,t,t,t,4,两类曲线积分的联系,L,y,Q,x,P,d,d,z,R,y,Q,x,P,d,d,d,t,t,t,Q,t,t,t,R,t,d,对空间有向光滑弧,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZH

16、OU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,F,原点,O,的距离成正比,思考与练习,1,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,y,M,x,y,o,0,a,A,0,b,B,提示,y,y,k,x,x,k,W,d,d,AB,AB,t,a,x,cos,t,b,y,sin,2,0,t,解见,P139,例,5,y,x,OM,F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,y,x,k,F,F,x,y,k,思考,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,机动,目录,上页,下页,返回,结束,x,YANGZHOU U

17、NIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,0,0,1,A,0,1,0,B,1,0,0,C,o,x,y,z,2,已知,为折线,ABCOA,如图,计算,提示,0,0,1,d,1,y,y,1,0,d,x,2,2,1,1,1,0,1,d,2,x,1,y,x,1,z,y,y,x,AB,d,d,z,y,y,BC,d,d,OA,x,d,机动,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,作业,P141 3,2), (4), (6), (7,4 ; 5 ; 7 ; 8,第三节,目录,上页,下页,返回,结束,YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,备用题,1,解,z,x,o,y,A,B,z,k,2,2,2,z,y,x,k,z,j,y,i,x,z,k,L,z,y,x,z,z,z,y,y,x,x,k,2,2,2,d,d,d,L,2,2,t,x,2,2,t,y,1,t,z,1,0,t,1,0,1,d,3,t,t,k,2,ln,3,k,1,2,2,A,线移动到,2,4,4,B,向坐标原点,其大小与作用点到,xoy,面的距离成反比,