示范教案直线与平面平行的性质

1、2.2.3 直线与平面平行的性质 整体设计 教学分析 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用. 三维目标 1.探究直线与平面平行的性质定理. 2.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. 重点难点 教学重点：直线与平面平行的性质定理. 教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用. 课时安排 1课时 教学过程 复习 回忆直线与平面平行的判定定理： （1）文字语言：如果平面

2、外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. ）符号语言为：2 （3）图形语言为：如图1. 图1 导入新课 思路1.(情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？ 思路2.(事例导入) 观察长方体（图2），可以发现长方体ABCDABCD中，线段AB所在的直线与长方体ABCDABCD的侧面CDDC所在平面平行，你能在侧面CDDC所在平面内作一条直线与AB平行吗？ 图2 推进新课 新知探究 1 / 9 提出问题 回忆空间两直线的位置关系. 若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系. 用三种语言描述直线与平

3、面平行的性质定理. 试证明直线与平面平行的性质定理. 应用线面平行的性质定理的关键是什么？ 总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题引导学生回忆两直线的位置关系. 问题借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生用排除法. 问题引导学生找出应用的难点. 问题鼓励学生总结，教师归纳. 讨论结果：空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面. 若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个

4、平面相交，那么这条直线和交线平行. 直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个定理用符号语言可表示为： 这个定理用图形语言可表示为：如图3. 图3 ?，=b.求证：aab. 已知a， 证明： 应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面. 应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”. 应用示例 思路1 例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面AC. 2 / 9 图4 (1)要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与面AC是什么位

5、置关系？ 活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导. 分析：经过木料表面AC内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出. 解：（1）如图5，在平面AC内，过点P作直线EF,使EFBC， 图5 并分别交棱AB、CD于点E、F.连接BE、CF. 则EF、BE、CF就是应画的线. (2)因为棱BC平行于面AC，平面BC与平面AC交于BC，所以BCBC. 由（1）知，EFBC， 所以EFBC.因此 BE、CF显然都与平面AC相交. 变式训练 如图6，a,A是另一侧的点，B、C、Da，线段AB、

6、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG. 图6 ?a，A、a确定一个平面，设为解：A. Ba，B. ?.AB A，又?. ，AD同理AC点A与直线a在的异侧, 与相交. 3 / 9 面ABD与面相交，交线为EG. ?面BAD，面BDBAD=EG, BD，BDEG. AEGABD. EGAF?.(相似三角形对应线段成比例) ACBD205AF?4BD?. EG= 99AC点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的. 例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7. 图

7、7 已知直线a,b,平面,且ab,a,a,b都在平面外. 求证：b. 证明：过a作平面,使它与平面相交,交线为c. ?,=c,a aac. ab,bc. ?,bc.,b 变式训练 如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EHFG. 图8 证明：连接EH. E、H分别是AB、AD的中点, EHBD. ?面EHBCD, 面BCD，BD又EH面BCD. ?、面又EHBCD=FG, EHFG. 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行. 思路2 4 / 9 例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，

8、那么它们的交线和这条直线平行.如图9. 图9 ?，b，=c.已知ab,a 求证：cab. 证明： 变式训练 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行. 图10 已知：如图10,a,a,=b， 求证：ab. 证明：如图10，过a作平面、，使得=c，=d，那么有 点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD面EFGH，AC面EFGH. 图11 证明：EFGH是平行四边形 5 / 9

9、变式训练 如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CDAB. 图12 （1）求证：EFGH是矩形； （2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积. (1)证明：CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCD=EF, CDEF.同理HGCD,EFHG. 同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形. 由CDEF，HEAB，HEF为CD和AB所成的角. 又CDAB，HEEF. 四边形EFGH为矩形. （2）解：由（1）可知在BCD中EFCD，DE=m，EB=n, EFBEn?a. .又CD=a,EF= n?CDDBmDEHE?.

10、HEAB,由 DBABmbHE=又AB=b,. n?m又四边形EFGH为矩形, mnmnb?a?ab. EF=S=HEEFGH矩形 2m?nm?n(m?n)点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用. 知能训练 求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知：a、b是异面直线. 求证：过b有且只有一个平面与a平行. 证明：(1)存在性.如图13， 6 / 9 图13 ?a. AA，显然在直线b上任取一点过A与a作平面, 在平面内过点A作直线aa, 则a与b是相交直线，它们确定一个平面，设为, ?.a a与bb异面，?，a. 又aa，a过b有一个平面与a平行. (2

11、)唯一性. 假设平面是过b且与a平行的另一个平面, ?.Abb，A. 则又A，与相交，设交线为a，则Aa. ?，=a,aa.又a，aa，aa. a这与aa=A矛盾. 假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个. 综上所述，过b有且只有一个平面与a平行. 变式训练 ?.b a.求证：，Ab，且bA 已知：a，?，如图14， 证明：假设b 图14 设经过点A和直线a的平面为，=b,a，ab(线面平行则线线平行). 又ab，bb,这与bb=A矛盾. ?.b 假设错误.故拓展提升 ?,a,b,求证:.已知：a,b为异面直线,a,b 证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面与平面交于直线

12、c，则c与b相交于点P. 图15 7 / 9 变式训练AB. 、BD中点，过EF作平面已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、 ;（1）求证：CD5. 所成角的大小与CD，CD=2AB=4（2）若，求EF=ABGF, G，连接AD交于证明：（1）如图16，连接 16 图?GF. AB，面ADB=GFAB, BD中点又F为. 中点G为ADCD. EGAD中点，G为中点,AD又AC、相交，确定的平面ACD=EG,E为AC ）证明可知：由（1（2）解： 5. EG=1,EF=AB=4,GF=2,CD=2,在EGF中，由勾股定理,得EGF=90,即AB与CD所成角的大小为90. 课堂小结 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，