竞赛专题第二讲均值柯西排序不等式

1、第二讲 均值、柯西、排序不等式一、知识精讲1. 两个重要的不等式(二元均值不等式)： a2b2 _2ab(a,bR)，当且仅当a = b时等号成立。 -_ _、ab(a,bR*)，当且仅当a=b时等号成立。22. 最值定理：若x, yR ,x y =S,xy = P，贝U：如果P是定值，那么当x二y时，S的值最小;如果S是定值，那么当x二y时，P的值最大。 前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境; 还要注意选择恰当的公式； “和定积最大，积定 和最小”，可用来求最值； 均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致1.均值不等式:设矽总耳冷总

2、是n个正实数，ai2 - a?2 Jllan2V nGn “a&llbn，Hn 二一1?，则 Qn - An - G. 一 H n，其中等号成立的1 + 1 +川+丄 ai a2an条件是a1二a2二川二an。Qn,A,Gn,Hn分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。2. 柯西不等式：柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则(a2 b2)(c2 d2(ac bd)，当且仅当ad =bc时，等号成立。柯西不等式的一般形式：设ai ,a2,a3,.,an， b,b2,b3,.,bn是实数，则佝2a22.an2)e2b22.bn2) -a2b2.anbn)2，当且仅当bi = 0

3、 （i =1,2,n）或存在一个数k，使得印=kb （i =1,2,n）时，等号成立。3. 柯西不等式的几个推论:()当d=b2=lHbn=1 时柯 西不n(a2+a +2 fen亠归名“总2，若)aiR ( i =1,2,山 n )ai2 - a22an2印a?|l a.n此即上面提到的平方平均一算术平均(2) 当 b -( i =1,2|n )时，有(訂 a22 Hlan2)(丄二。aiai a2an(3) 当ai,bR+(i =1,2,川 n)，则各 + f *11弋(D *b2 * II I + 0 )3 (1 十 *7 TH 7)2 0b1 Dbn 丿4. 排序不等式(又称排序定理)

4、：给定两组实数可，a2，|，an ;鸟，b2,，l, bn .如果q _ a2 川an ;d _b2 _川_bn 那么dbn+a2bnlll+anh 乞&心+&2$2 川+%bin 咗 &4+&2鸟 |l+anbn（反序和）（乱序和）（同序和）其中h, i2,l川II, in是1,2川川,n的一个排列.n该不等式所表达的意义是和式 ajb.在同序和反序时分别取得最大值和最小 j 二 J值.二、竞赛题目精练1【2013江苏竞赛】13.设实数a , b满足0 _a b -1.证明：2(b-a) _ cos二a - cos二b . 2证明：设f (x) = 2x+ cos x，欲证不等式转化为 f

5、(b) 0,2 21 1所以fx(在区间0,丄上单调减，在区间丄，1上单调增.2 2因为 f (0)=f (1)2 和 f=2一兀 0,所以存在ot和氏0 v o(v v pv 1,使得f & = f 旬2=0, fx)v 0 当且仅当 x (: , ：)10分于是函数f (x)在区间0, ：和：,1上单调增，在区间：,上单调减.111因为 f (0)二f () =f (1) =1，故对于 x 0, 有 f (x) 对于 x ,1有 f (x) w 1 特别地，f22 2(b) w 1f (a)20分三、典例精讲例1.证明柯西不等式?证法一：若a1,b1，有-ab 8 .b -1 a -1?分

6、析：由对称性，容易算出当a=b=2时等号成立，此时2b2f4(b-1)=4(a-1)=4b -1a -12 2?证明：羔g2:/)a2即4(b -1) _ 4ab -1同理b2a -14(a -1) _ 4b两同向不等式相加得 8， a=b=2时等号成立.b1 a-1?说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找 到证题的入口.本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性.?链接：本题可以稍作引申：2 2 2当 a1、b1、c1 时，证明：12b1 c 1 a1例3.设a b0 ,那么a2 +111 1 的最小值是b(a b)?分析：本题取自人教社版课本的一个习题 (第二

7、册(上)，题中有两个变量a， b,解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数.在这中间我们又注意到和a-b之和为a，因式. b(a-b)二b a -b2?解：b(ab)弓二b(a-b)a2a21 a2 ： 一4，因此a21的最小值是4.b(ab)ab(ab)a =2当 -时取得最小值.b -2?说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等 式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式.2 1?链接：如果题目变为a b0，求a +时 的最小值，你会做吗?例4. a、b为正的常数，0：x， f(x)=a ，求f (x)的最小值.

8、x 1 - x找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和,?分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数， 并寻 -、一可看作 X 1 - Xa：、a；，如再能出现b；、b1 x n x xx n _ (n 1)n nxnn1 nx n个，则可用，注意到1 - X x = 1.?解法一：用柯西不等式a 一 b)，a+F)*/xjE+kJF)21 - X.X1 - X因此 f (X)minb)2，当且仅当a二当仅当x.x 、1-x.、1-x即x=Jb时,取得最小值。?解法二：用平均值不等式a ba(x 1 -x)(x 1 -xbx 1x)b可以算得，当且仅当a(1 X)

9、 也X 1 -xa(1 - x) bx7 + ax 1 -x厂a-b - 2、ab，同时?说明：解法一和解法二都作了凑配等工 Jo时，即 x : 时取得最小值。Ja + Jb1 -x x =1，凑配之后，才能用上相应的不例5.设n是一个正整数，则函数1-飞在正实半轴上的最小值是(nxn 1(A)n?分析与解：由n 1a1 a Hhn 1(C)(D)沽正实数的-n心怛2丨1厲1 知:算术平均根几何平均数，即 n 1，等号成立当且仅当n1 1 _xn，x =1 时，n nx故选C。例6.若a,b满足关系：a.Cb2 - b一厂孑=1，则a2 b2二。?分析与解：由柯西不等式，1=(a J -b2

10、b .1-a2)乞(a2 1 - a2)(b2 1 - b2) = 1 ,当4 =_b时取等号，化简得a2 b1 oad-a2例7. P为 ABC内一点，它到三边 BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3 , S为2ABC的面积。求证：旦d1 d2 d3 2Sb C (a b C)这里 a,b,c 分别表示 BC, CA, AB的长)。?分析与解:如图2-1，易见111S ad1 bd2cd3。222由柯西不等式,abc2(ad1 bd2 cd3)() _ (a b c)2d1d2d3二 2S()d1 d2 d3-(a b c)22-12二旦.B 2 _(a b c)。d1 d2 d32S

11、例8.有小于1的正数X，X2,l|lXn，且% X2X3川Xn = 1求证:1 1X| -X-Ix2 -x2134 oXn _Xn?分析与解: 解 法由 柯 西 不X -x ) IXn (Xn2一-X1注意到:(X1 -X)(X2 -X23)ll(Xn -Xn3)=(咅x2 III xn) -(X； X23 1113Xn )= 1-(XI3 J|Xn3)，而 0 ： X :1， xj vx ( i =1,2,3111 n2X+X 23+眼 X tX +H+Xn=1故 1一仕3 Xi II%) (0,1)13X _xn2 3显然 n _2, 故13X|X11 3H1X -X 2Xn 2 Xn解法

12、二：先证明一个局部不等式:1Xi Xi4x(i =123H)n )(*)事实上，(*) = 1_42-4*4= 4才x 1 _0= (2好-1)2_ 0 ,显然成立。当且仅当1 1 1333 一4(为X2IIIXn) =4XX1X2-X2召Xi2(i =1,2,川n)时等号成立。2例9.设ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b c ,其周长为1.111a b c、求证：亠 亠 ：3( -).ABC ABC?分析：由问题的对称性，不妨设 a_b_c，三角形中大边对大角，于是有A _ B _C 1 1 1=丄一丄一丄(这种形式是题目所需要的)。这样既不改变问题的实质，又增加C B A111了

13、已知条件：两组有序实数a_b_c，及一亠-二一。这就为应用排序原理创设C B A了很好的情境。证法用排序原理。不妨设a 一 b 一 c，于是有A 一 B 一 C =111C由排序不等式a.acaCAAa b a cC Ba b c =12C，b cA1，就得丄A法a bA B证111(111 )-3(ABC111c.- - a.- c.-(同序和大于或等于反序和)AAC同理+ 2旦旦CBBC B A A B -2a 2b 2c，不等式两边同加a b cABCABC丄丄_ 3(旦B 2)B C ABC，也就是并注意到c b e-2a a c-2b c AB_ (b _a) (c _a) (a _

14、b) (c _b)(a _c) (b _c)ABC比较a b - 2cC口 口). (口 .口)A BA Cc-b b-c (a-b)(A-B) (a-c)(A-C) (b-c)(B-C)+( + ) + + 0 ，BCABACBC因此丄丄容丄纠。ABC ABC?说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组。五、真题训练1. 设 x,y,z . 0 满足 xyz y 12，则 log4 x log2 y log2 z 的最大值是()(A) 3(B) 4(C) 5(D) 62.设实数a,b,c = 0, bc,ca,ab成等差数列，则下列一定成立的是( a b c(A) |b

15、|ac|( B) b2 * _|ac|(C) aLb2 乞 C2(D) |b|Ja|c|23.当a和b取遍所有实数时，函数f (a,b) = (a 5 - 3| cosb |)2 (a - 2| sin b |)2 所能取到的最小值为()(A) 1( B) 2(C) 3(D) 44.给定正整数n和正常数a，对于满足不等式a12 - an ,乞a的所有等差数列2n -1a1,a2,a3川和式.一 aii =a卅的最大值为()。(A)乎1)(B)隹 n2(C)(D)互 n25.方程 x2 _ p1x2p20的两根Xi, X2满足为4 X24乞2 2 ， 则p =6.已知 x, y R ,7.若 x

16、, y,z 0 且x2y2 z2 = 1，则x1 1+ +2y2的最小值为 z求 f(x)二xx31的最小值9. 已知x, y,z 0 , a,b,c是x, y,z的一个排列。求证-_3x y z10.比较log 24 25与log 25 26的大小。【参考答案】1. A12 = xyz y z _ 33 xy2z2 : xy2z2 _ 64,故2 2log4 x log2 y log2 z 二 log4 xy z log4 64 = 3 , 当x=, y=z=4时取等号。42. D 显然bc,a,ab同号，不妨设a,b,c .0。取a=1,b2,c 3 ,知A错误。a b c23取= 2,

17、b = 1,c ，知BC不对。下证b _3 22由题意，2 C = bc _ 2b = b2 ， 而ac 也彳，故有b a c4(a c)2, 2, a cb= b，得证。4 23. B由柯西不等式，(均值不等式)2 2 1 2 1 2 f(a,b) =(a 5-3|cosb|) (a-2|sinb|) _ (5-3|cosb| 2|sinb|)(5-3) =22 2，当2n 14.A、 aii 生：1a - -1,=0时取等号。二 ana2n 1 （n 1）4 1 7（ n，1），由柯西不等式2 2(32 12) (a12 am2r10a， 故3為1- 応( 当an 1 一3q,2 2 q

18、- an .1二a时取等号）2n 卅J10a从而 a的最大值是 （n 1）。i亠十25.- 812X-!X2 =。由韦达定理知严2 2p2，故 xj x22 二(x1 x2)2 2x2 二 p2 A，PX14X24,2 丄2、2c 22= (x1X2 ) -2X1 X2（p2 ）A 云p4 A2而 P4 2p1一2、p 2；4=2，故 p4+2p4=2，等号在p4P4时取到，即12 22 26. 6 4.2由柯西不等式，()(x 2y) _(、_2 2)2 =6 4、2，当且x yx y仅当x = . 2 -1, y = 1时取等号。27.9由柯西不等式丄.丄x2一122211-2 =(x2 y2 zj z2 2一xz=33时取等号。8.6x6丄x61 3设 t=x，-_2，贝U xx= (x3 A)22=(t33t)22x13x32=(x 1 )3 3(xx1) =t3 _3txf(x)t _(t _3t)2一2 =3t _6，即f(x)的最小值是6,当且仅当t3 t3 -3tX=1时取最小值。9. 由均值不等式，a+P+33理b - = 3，得证x y z x y z10. 分析与解：解法一：先作差并化为同底，log 24 25 -Iog25 26lg 25l