第八章第八节曲线与方程0001

1、A组考点能力演练1. “点M在曲线y2= 4x上”是点M的坐标满足方程2 .x+ y= 0”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件解析：点M的坐标满足方程2.x + y= 0,则点M在曲线y2= 4x上，是必要条件；但当 y0时，点M在曲线y2= 4x上，点M的坐标不满足方程 2 x+ y= 0,不是充分条件.答案：B2. 若M , N为两个定点，且|MN|= 6,动点P满足PM PN= 0,贝V P点的轨迹是（）A 圆B 椭圆C.双曲线D .抛物线解析：/ PM PN = 0,.PM 丄 PN.点P的轨迹是以线段 MN为直径的圆.答案：A23.

2、 （2018梅州质检）动圆M经过双曲线x2二=1的左焦点且与直线 x= 2相切，则圆心M的轨迹方程是（)A. y2= 8xB. y2= 8xC. y2= 4xD . y2 = 4x解析：双曲线2x2 t = 1的左焦点F（ 2,0），动圆M经过F且与直线x= 2相切，则圆心M到点F的距离和到直线 x= 2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2= 8x.答案：B4. (2018沈阳质检)已知点0(0,0), A(1 , 2)，动点P满足|FA|= 3|PO|,则P点的轨迹 方程是()A . 8x2 + 8y2 + 2x 4y 5 = 0B. 8x2 + 8y2 2x 4y 5 =

3、 0C. 8x2 + 8y2 + 2x+ 4y 5 = 02 2D. 8x + 8y 2x+ 4y 5 = 0解析：设P点的坐标为(x, y)，贝Ux 1 2+ y+ 2 2 = 3 , x2+ y2,整理得8+ 8y2+ 2x -4y- 5= 0,故选 A.答案：A5. 若曲线C上存在点M，使M到平面内两点 A(- 5,0), B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线” 以下曲线不是“好曲线”的是()A . x+ y= 5B . x2 + /= 92 2C.25+ 9 = 1D . x2 = 16y2 2解析：m点的轨迹是双曲线-y9=i,依题意，是“好曲线”的曲线与m点的轨迹

4、必 有公共点.四个选项中，只有圆X2+ y2= 9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆 x2+ y2= 9不是“好曲线”.答案：B6. (2018聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0), B(2,2)，若点C满足OC= OA + t(OB-OA),其中t R，则点C的轨迹方程是 .解析：设 C(x, y),贝 U OC= (x, y), OA+t(OB - OA) = (1 + t,2t)，所以 f= t + 1， 消去 ly= 2t,参数t得点C的轨迹方程为y = 2x- 2.答案：y= 2x- 27. 已知F是抛物线y= -x2的焦点，P是该

5、抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是.解析：本题考查曲线的方程因为抛物线x2= 4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x, y)，则 P(2x,2y- 1)在抛物线 x2= 4y 上，所以(2x)2= 4(2y- 1)，化简得 x2 = 2y- 1.答案：x2 = 2y- 1&已知动点P(x, y)与两定点M( 1,0), N(1,0)连线的斜率之积等于常数X将0).则动点P的轨迹C的方程为.解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kpM kPN =J =人x+ 1 x-12整理得x2- + = 1(入工0, XM1).人2即动点P的轨迹C的方程为x2- = 1(

6、苗0, XM).入2答案：x2- y = 1( 0, XM1)人9. 在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线 x = 2的距离之比是2 .(1)求动点P的轨迹r的方程;设曲线r上的三点a(xi, yi), B 1,孑，C(X2, y0与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与 X轴的交点为T，求直线BT的斜率k.解：(1)设P(x, y).由已知，得亠X_1=，两边同时平方，化简得 X + y2= 1,|x 2|222故动点P的轨迹r的方程是X2 + y2= 1.(2)由已知得 AF|=(2 - X1), |BF|= -2 X (2 - 1),|CF|=-(2 -

7、X2),因为 2|BF|= |AF|+|CF|,所以子(2- X1) + 子(2- X2) = 2X- X (2- 1),所以X1 + X2= 2故线段AC的中点坐标为1 , yi2 ,其垂直平分线的方程为y-yi72 =-X1二竺(x-1).2y1- y2因为A, C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，X1 X2把代入化简，得-X12= y1 + y2.y1 y2把代入,1令y= 0，得x= 1 ,所以点T的坐标为0 .所以直线BT的斜率k=10. 在平面直角坐标系 xOy中，动点P(x, y)到F(0,1)的距离比到直线y= 2的距离小1.(1) 求动点P的轨迹 W的方程；过点E(0,- 4

8、)的直线与轨迹 W交于两点A, B，点D是点E关于X轴的对称点，点 A关于y轴的对称点为A1，证明：A1, D , B三点共线.解：(1)由题意可得动点 P(x, y)到定点F(0,1)的距离和到定直线 y=- 1的距离相等，所 以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，以y= 1为准线的抛物线. 所以动点P的轨迹 W的方 程为x2= 4y.(2) 证明：设直线 I 的方程为 y= kx-4, A(X1, yj, B(X2, 丫2),贝U A1(-X1, y” .ry= kx- 4,o由了2消去y,整理得x2- 4kx+ 16= 0.x = 4y,则= 16k2-640，即 |k|2.xi+ X2

9、= 4k, Xix2= 16.、y2 yi直线 AiB: y y2 = XX1(X X2),所以y-ZX2+ Xi(X X2)+ y2,即y =詁X 宀1x2 ,2X2 X1X2 X1X21 2整理得 y=；一+-x2,444X2 XiX1X2即 y=x+zX2 Xi直线AiB的方程为y=4 _x+ 4,显然直线AiB过点D(0,4).所以A1, D, B三点共线.B组高考题型专练=1(a b 0)的一个焦点为(，5, 0)，离心率2 21. (2018高考广东卷)已知椭圆 C: X2 +(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(xo,轨迹方程.yo)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相

10、互垂直，求点P的解：(1)依题意知c = . 5, a = T5,- a= 3,a 32b2= a2 c2 = 4 ,椭圆C的标准方程为* +(2)若过点P(xo,yo)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P的坐标为(3,2)或(3,2)或(3, 2)或 ( 3, 2).若过点P(xo, yo)的切线的斜率存在且不为0,设切点分别为 A(xi, yi), B(X2, y2)，切线PA的斜率为k,v FAX PB,则切线PB的斜率为一W切线PA的方程为y yo= k(xxo),由丫y yo= k(x X。)2 2XV,_+= 19十4得 4X2 + 9k(x Xo)+ yo2= 36,即(4

11、 + 9k2)x2 + 18k(yo kx)x+ 9(yo kxo)2 36= 0,v切线 PA 与椭圆相切,2 2 2 = 18k(yo kxo) 4(4 + 9k )9(yo kxo) 36 = O,化简得 4 + 9k2 k2xo+ 2kxoyo yo= o.2x0y0-y = 0,即卩 4k2+ 9-X0 2kxoyo-k2y0= 0由 + 得 13(1 + k2)-(1 + k2)(x0 + y0) = 0, 即(1 + k?)(X0+ y0 13)= 0,1 +0,. x2+ y2 13 = 0，即卩 x2 + y0 = 13.经检验可知点(3,2), (3, 2), ( 3,2), ( 3, 2)均满足 X + y0= 13, 故点P(x0, y)的轨迹方程为x2 + y2= 13.222. (2018高考广东卷)已知过原点的动直线I与圆C1： x + y 6x+ 5= 0相交于不同的两点A, B.(1) 求圆C1的圆心坐标；(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程；是否存在实数 k,使得直线L : y= k(x 4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由.-1 0-1解：(1)C1： (x 3)2+ y2= 4,圆心 C1(3,0).由垂径定理知，C1M丄ab,故点M在以06为直径的圆上，即 x； 2+ y2=4.故线段AB的