选修绝对值不等式的解法课堂

1、绝对值不等式的解法,高二数学,选修,4-5,第一讲,不等式和绝对值不等式,复习回顾,1,绝对值的定义,a,a ,a0,a ,a0,0 ,a=0,2,绝对值的几何意义,实数,a,绝对值,a,表示,数轴上坐标为,A,的点,到原点的距离,a,0,a,A,b,a,a,b,A,B,实数,a,b,之差的绝对值,a-b,表示它们在数轴上,对应的,A,B,之间的距离,3,绝对值的运算性质,2,a,a,ab,a,b,a,a,b,b,形如,x|a,和,x|a (a0,的不等式的解集,不等式,x|a,的解集为,x|-axa,不等式,x|a,的解集为,x|x-a,或,xa,0,a,a,0,a,a,想一想,如果,0,a

2、,以上不等式的解集是什么,解含绝对值不等式的四种常用思路,这四种思路将有助于我们有效地解决含绝,对值不等式的问题,方法一,利用绝对值的几何意义观察,方法二,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论,方法三,两边同时平方去掉绝对值符号,方法四：利用函数图象观察,5,探索：不等式,x,1,的解集,方法一：利用绝对值的几何意义观察,方法二,利用绝对值的定义去掉绝对值符,号，需要分类讨论,方法三：两边同时平方去掉绝对值符号,方法四,利用函数图象观察,这是解含绝对值不等式的四种常用思路,6,不等式,x|1,的解集表示到原点的距离小于,1,的点的集合,0,1,1,所以，不等式,x|1,的解集为,x|-

3、1x1,探索：不等式,x|1,的解集,方法一,利用绝对值的几何意义观察,7,探索：不等式,x|1,的解集,当,x0,时，原不等式可化为,x,1,当,x,0,时，原不等式可化为,x,1,即,x,1,0 x,1,1,x,0,综合得，原不等式的解集为,x,1x1,方法二,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论,8,探索：不等式,x|1,的解集,对原不等式两边平方得,x,2,1,即,x,2,10,即,x+1)(x,1)0,即,1x1,所以，不等式,x|1,的解集为,x|-1x1,方法三,两边同时平方去掉绝对值符号,9,o,x,y,1,1,1,探索：不等式,x|1,的解集,从函数观点看，不等式,x

4、|1,的解集表示函数,y=|x,的图象位于函数,y=1,的图象下方的部分,对应的,x,的取值范围,y=1,所以，不等式,x|1,的,解集为,x|-1x1,方法四,利用函数图象观察,10,1,ax,b,c,ax,b,c,c,0,型不等式的解法,只需将,ax,b,看成一个整体，即化成,x,a,x,a,a,0,型,不等式求解,ax,b,c,c,0,型不等式的解法：先化为,再由不等式的性质求出原不等式的解集,不等式,ax,b,c,c,0,的解法：先化为,或,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集,c,ax,b,c,ax,b,c,ax,b,c,c=0? c0,11,ax,b,c,和,ax,b,c,型不

5、等式的解法,当,c,0,时,ax,b,c,ax,b,c,或,ax,b,c,ax,b,c,c,ax,b,c,当,c,0,时,ax,b,c,的解集为,R,ax,b,c,的解集为,当,c,0,时,ax,b,c,的解集为,R,ax,b,c,的解集为,3,2,7,x,解,不,等,式,例,1,2,3,7,x,原,不,等,式,解,2,3,7,2,3,7,x,x,或,2,5,x,x,或,2,5,x,x,x,原,不,等,式,的,解,集,为,或,3,2,1,x,变,解,不,等,式,练,习,式,0,1,U,答,案,2,5,6,x,x,解,不,等,式,例,2,2,6,5,6,x,x,原,不,等,式,解,2,2,5,6

6、,5,6,x,x,x,x,2,2,5,6,0,2,3,1,6,5,6,0,x,x,x,x,x,x,x,或,1,23,6,x,x,或,1,3,4,6,x,解,不,等,式,变,练,习,式,1,0,5,2,1,3,3,3,U,答,案,1,2,3,6,U,原,不,等,式,的,解,集,为,ax,b|c,和,ax+b|c(c0,型不等式比较,类型,化去绝对值后,集合上解的意义区别,ax+b|c,cax+bc,x|ax+b,c,x|ax+bc,交,ax+b|c,ax+b-c,或,ax+bc,x|ax+b-c,x|ax+bc,并,2,34,1,x,x,x,解,不,等,式,例,3,2,2,2,2,34,0,34

7、,0,34,1,34,1,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,原,不,等,式,或,解,1,4,1,1,4,1,3,5,1,x,x,x,x,x,x,或,或,或,1,5,1,3,x,x,x,或,或,1,1,3,5,x,x,xx,原,不,等,式,的,解,集,为,或,或,2,34,1,x,x,x,解,不,等,式,例,3,2,2,3,4,1,3,4,1,x,x,x,x,x,x,原,不,等,式,或,解,2,2,2,23,0,45,0,x,x,x,x,或,1,3,1,5,x,x,x,或,或,1,1,3,5,x,x,x,x,原,不,等,式,的,解,集,为,或,或,1,3,0,1,5,0,x,x,x,x,或

8、,解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含,绝对值符号的不等式,组,常见的类型有,1,0,f,x,a,a,f,x,a,f,xa,或,2,0,f,xa,a,a,f,x,a,3,f,x,g,x,f,x,g,x,f,x,g,x,或,4,f,x,g,x,g,x,f,x,g,x,2,2,5,f,x,g,x,f,x,g,x,18,3,解不等式,1|2,x,1|3,答案,2,1)(0,1,5,解不等式,x,1,x,3,答案,x,x,2,4,解不等式,5,x,6|6,x,答案,0,2,练习,2.|2,x,2,x,1,1,2,1,x,x,1.|2,x,1|5,3,2,x,x,x,或,6.|2,x,1|1,1,x,

9、x,19,2,x,a,x,b,c,和,x,a,x,b,c,型不等式的解法,可采用三种方法,1,利用,绝对值的几何意义,2,利用各绝对值的,零点分段,讨论,3,构造函数,利用函数图像分析求解,例,4,解不等式,x,1|+|x+2|5,方法一,利用绝对值的几何意义,解,如图,数轴上,2,1,对应的点分别为,A,B,原不等式的解集为x|x,3,或,x2,2,1,2,3,1,0,A,A,1,B,B,1,3,2,对应的点分别为,A,1,B,1,A,1,A|+|A,1,B|=5,B,1,A|+|B,1,B|=5,数轴上,点,A,1,和,B,1,之间的任何一点,到点,A,B,的距离之和都小于,5,而,A,1

10、,的左边或,B,1,的右边的任何一点,到点,A,B,的距离之和都大于,5,这种方法体现了,数形结合的思想,方法二,利用,x-1|=0,|x+2|=0,的零点,分段讨论去绝对值,例,4,解不等式,x,1|+|x+2|5,1,2,x,当,时,解,2,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,2,3,3,x,x,x,2,2,1,x,当,时,2,1,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,2,1,3,5,x,x,3,1,x,当,时,1,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,1,2,2,x,x,x,这种解法体现了分类讨论的思想,原不等式的解集为x|x,3,或,x2,方法三,通过构造函数，利用函数的图象求

11、解,1,2,5,0,x,x,原,不,等,式,化,为,解,例,4,解不等式,x,1|+,x,2|5,2,6,2,2,2,1,2,4,1,x,x,y,x,x,x,即,x,1),x,2)-5,x,1,x,1),x,2)-5 -2,x,1,x,1),x,2)-5,x,2,f,x,构造函数,f,x,x,1|+,x,2|-5,则,3,1,2,2,2,x,y,这种方法体现了函数与方程的思想,例,4,解不等式,x,1|+,x,2|5,如,图,作,出,函,数,的,图,象,2,6,2,2,2,1,2,4,1,x,x,y,x,x,x,3,2,0,x,x,y,由,图,象,可,知,当,或,时,函,数,的,零,点,是,3

12、,2,原不等式的解集为,x,x,3,或,x,2,24,x,a,x,b,c,x,a,x,b,c,c,0,型不等式,的三种解法：分区间,分类,讨论法、图像法和几何法,分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和,图像法直观，但只适用于数据较简单的情况,25,解不等式,x,3,x,1|1,2,3,4,3,2,3,4,3,5,2,3,4,2,3,3,2,2,3,4,3,2,5,4,2,3,4,3,2,2,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,解,不,等,式,解,当,时,原,不,等,式,可,化,为,解,得,即,不,等,式,组,的,解,集,是,当,时,原,不,等,式,可,化,为,即,显

13、,然,成,立,所,以,不,等,式,组,的,解,集,为,例,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,3,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,解,不,等,式,解,当,时,原,不,等,式,可,化,为,解,得,即,不,等,式,组,的,解,集,是,当,时,原,不,等,式,可,化,为,即,显,然,成,立,所,以,不,等,式,组,的,例,练习,不等式,2,x,1,x,的解集为,_,x,x,1,或,x,1,3,R,x,2,5,2,1,2,1,x,x,26,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解

14、,2,若不等式解集为,R,3,若不等式解集为,分别求出,m,的范围,思路点拨,解答本题可以先根据绝对值,x,a,的意义或,绝对值不等式的性质求出,x,2,x,3,的最大值和最小值,再分别写出三种情况下,m,的范围,27,解：法一,由,x,2,x,3,x,2,x,3),1,x,3,x,2,x,3,x,2),1,可得,1,x,2,x,3|1,1,若不等式有解，则,m,1,2,若不等式解集为,R,则,m,1,3,若不等式解集为,则,m,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解,2,若不等式解集为,R,3,若不等式解集为,分别求出,m,的范围,28,解,法二,因,x,2,x,3

15、,的几何意义为数轴上任,意一点,P,x,与两定点,A,2,B,3,距离的差,即,x,2,x,3,PA,PB,由图像知,PA,PB,max,1,PA,PB,min,1,即,1,x,2,x,3|1,1,若不等式有解,m,只要比,x,2,x,3,的最大值小,即可，即,m,1,m,的范围为,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解,求出,m,的范围,29,2,若不等式的解集为,R,即不等式恒成立,m,只要比,x,2,x,3,的最小值还小，即,m,1,m,的范围为,1,3,若不等式的解集为,m,只要不小于,x,2,x,3,的最大值即可，即,m,1,m,的范围为,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,2,若不等式解集为,R,3,若不等式解集为,分别求出,m,的范围,1,x,2,x,3|1,30,问题,1,是存在性问题，只要求存在满足条件的,x,即可；不等式解集为,R,或为空集时，不等式为绝对不,等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题,f,x,a,恒成立,f,x,max,a,f,x,a,恒成立