线性代数二次型(第五章)ppt课件

1、第五章,二次型,第五章 二次型,1 二次型及其标准形,2 用合同变换化二次型为标准型,3 用正交变换化二次型为标准型,4 二次型的分类,1 二次型及其标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,二、非退化的线性交换,三、用配方法化二次型为标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,考虑方程,在平面上代表什么曲线,1,将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45,即令,2,则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程,3,从而曲线为一椭圆,o,定义 1,将 n 元二次齐次式,称为 n 元二次型,二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型,取 a i j = a j i ; 则 2ai

2、 j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi,所以,二次型还可以用矩阵表示,则,f (x1, x2, , xn,x1(a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn,x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn,xn (an1 x1 + an2 x2 + + ann xn,(x1, x2, , xn,简记为,f = X T AX,5,其中,X,称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵， 方阵 A 的秩 为 二次型的秩,例1,写出二次型的矩阵及其矩阵表示式,解,则,令,例2,写出二次型的矩阵和矩阵表示式,解,令,则,矩阵是对角矩阵,定义2,只含有平方项的二次

3、型,称为 n 元二次型的标准形,显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵,当,是满秩(可逆)矩阵时,称线性变换(6)为非退化(或 满秩)的线性变换,二、非退化的线性交换,其中,定理1,任一二次型 f,经满秩的线性变换后得到的新变量,化二次型为标准型的方法,1. 配方法,2. 合同变换,3. 正交变换,x12 + 4x1( x2 x3,(x1 + 2x2 2x3)2 2x22 + 4x2x3 5x32,(x1 + 2x2 2x3)2 2(x22 2x2x3 + x32 ) 3x32,(x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32,解,2x22 x32 4x2x3,4(x2 x3)2 +

4、2x22 x32 4x2x3,4(x2 x3)2,三、用配方法化二次型为标准形,其中,是非退化的线性变换,f =(x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32,即,线性变换为,即,则,f = 2 y12 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 6 y1 y3 + 6 y2 y3,2 y12 4 y1 y3 2 y22 + 8 y2 y3,2 ( y12 2 y1 y3 + y32 ) 2 y32 2 y22 + 8 y2 y3,2 ( y1 y3 )2 2 ( y22 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32,2 ( y1 y3 )2 2 ( y2 2 y3 )

5、2 + 6 y32,即,则二次型化为标准型 f = 2 z 12 2 z 22 + 6 z 32,其中,因为,所以所作的线性变换是非退化的,定理2,任意一个二次型都可以用配方法化成标准形,注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的,再作非退化的线性交换,由非退化的线性变换,即,2 用合同变换化二次型为标准型,一、矩阵间的合同关系,二、用合同变换化二次型为标准型,对于二次型,f = X T AX,令非退化线性变换为,X = QY,其中：|Q| 0,则,f = (QY )TA( QY,其中,B = Q T AQ,得,f = Y T

6、BY,Y T (Q T AQ)Y,可以是对角阵,一、矩阵间的合同关系,定义 1,设有两个方阵 A 与 B，若存在一个可逆阵 Q,则称 A 合同于 B，记作,性质,证(ii,若,B = Q T AQ,则,Q T )1 BQ 1 = A,即,A = (Q 1 ) T BQ 1,iii,若,B = Q1 T AQ1,C = Q2 T BQ2,则,C = Q2 T (Q1 T AQ1 ) Q2,即,C = ( Q1 Q2 ) T A ( Q1 Q2,结论：A 可经过一系列同一类型的行列初等变换(也称合同变换)化成对角矩阵B,存在可逆阵Q,由 Q 可逆,则 Q = p1 p2 pm,有,若,p1 p2

7、pm)T A ( p1 p2 pm,问题：求 Q,Q = p1 p2 pm,E p1 p2 pm,例1,化二次型 f = x12 + 2x1x2 4x1x3 + 3x22,为标准型,解,f = ( x1 x2 x3,r2 r1,c2 c1,0,2,1,得,3 用正交变换化二次型为标准型,一、正交矩阵,二、正交变化,三、实对称方阵的特征值、特征向量,四、用正交变换化二次型为标准型,二、正交变化,注1 : 正交变换是非退化 (满秩) 的线性变换,注2 : 若 X = PY 为正交变换，则,X ,即 正交变换保持向量的长度不变,定理,对二次型 f = X T AX 一定存在正交变换 X = PY 化

8、二次型为标准型,f = X T AX,Y T P T A P Y,若存在正交阵 P,使 P T A P,而 P T = P 1,记 P 的列向量组为 1 , 2 , , n,分析：如何求 P ,有,A( 1 , 2 , , n)= ( 1 , 2 , , n,A 1 , A 2 , , A n)= ( 1 1 , 2 2 , , n n,即,A i = i i,i = 1, 2, , n,i 0,i 是 A 的特征值,标准型中的系数 1 , 2 , , n 可由求 A 的特征值得出,而 i 是属于 i 的特征向量,且 1 , 2 , , n是正交的单位向量组,三、实对称方阵的特征值、特征向量,

9、两边取共轭,再两边取转置,得,即,引理2,实对称方阵 A 对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,分别是属于 和 的特征向量,则,T,( A ) T,T A T,T ( A,T,T (,因,故,T = 0,而,) T = 0,即,与 正交,引理3,若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重根，则 A 的对应于 的线性无关特征向量的最大个数恰为 k,四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵,步骤,1) 解特征方程 | A E | = 0,2) 对每个 i ( i = 1, 2, , n )，解齐次线性方程组,A E ) X = 0,求出对应于 i 的特征向量,若 i 是 k 重根，有 k

10、 个线性无关的特征向量,4) 单位化,则正交变换 X = PY，化二次型为标准型,1,解,特征根,标准形式为,2,对 1 = 3,即,得基础解系,X 1,即,系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量,X 2,X 3,X 4,对 2 = 3 = 4 =1,3) 将 X2 , X3 , X4 正交化,3 = X3,4 = X4,4) 单位化,1,2,3,4,故取正交矩阵,P = ( 1 2 3 4,作正交变换 X = P Y, 即,就将二次型 f 化成标准型,f = 3 y12 + y22 + y32 + y42,4 二次型的分类,一、惯性定理,二、实二次型的分类,三、正定二次型的判定,一、惯性定理

11、,其中,且 r 为对角线上非零元的个数,化成标准型 f = Y T BY,定理1(惯性定理,设二次型 f = X T AX 的秩为 r n,若有两个非退化的线性变换将 f 分别化为,则,i 中正数个数与 l i 中正数个数相同,从而负数个数也同,其中,系数 i 中正数的个数 p,负数的个数 g = r p,p g, 称为符号差,f = 1 y12 + 2 y22 + + r yr2,称为二次型 f 的正惯性指数,称为二次型 f 的负惯性指数,例如,二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3,经非退化的线性变换,化成标准型,f = 2 y12 2 y22 + 6 y32,还可经非退化

12、的线性变换,化为标准型,f = z12 z22 + z32,推论,f = z12 + z22 + + z p2 z 2p+1 z r2,且规范型是唯一的,二、实二次型的分类,对于二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = X T AX,如果对于任意一组不全为0的实数 c1 , c2 , , cn,1) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,矩阵 A 为正定矩阵,2) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是负定的,3) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是半正定的,4) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称

13、二次型是半负定的,5) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 有时为正，有时为负,则称二次型是不定的,则称二次型是正定的,定理2,设秩为 r 的 n 元二次型 f = X T AX,经非退化的线性变换 X = QY 化为标准型,且设 f 的正惯性指数为 p ( 1 p r ), 则,1) 当 p = r = n 时,2) 当 p = r n 时,3) 当 p = 0 , r = n 时,4) 当 p = 0 , r n 时,5) 当 0 p r n 时,f 为正定二次型,f 为半正定二次型,f 为负定二次型,f 为半负定二次型,f 为不定二次型,三、正定二次型的判定,1）f = X T

14、 AX 为正定的,2）A 的特征值 都大于零,4）矩阵 A 左上角各阶子式 (称为 A 的顺序 主子式)恒大于零,即,a11 0,设A 为实对称矩阵，则以下4个命题等价,定理3,3）A 与单位阵 E 合同,定理4,1）实二次型 f = X T AX 为负定的,3）A 的顺序主子式的符号为负正相间,即,a11 0,设A 为实对称矩阵，则以下3个命题等价,2）A 的特征值 都小于零,例1,判定下列二次型的正定性,1) f = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1x2 4x2x3,二次型 f 的矩阵为,解,由,3 0,故二次型 f 是正定的,2) f = 5x12 6x22 4x32 + 4x1x2 + 4x1x3,二次型 f 的矩阵为,解,由,5 0,故二次型 f 是负定的,例2,设 A , B 都是正定矩阵，试证 A + B 也是正定矩阵,证,因为 A, B都是正定矩阵，故对任意 X 0， 都有 X T AX 0, X T BX 0,所以,X T ( A + B ) X,即,A + B 是正定矩阵,X T AX + X T BX,0,例3,试证：对于正定的实对称方阵 A，存在非奇异方阵 U, 使 A = UTU,证,因为 A 是实对称矩阵，故存在正交变换 X = P