§2.2　函数的基本性质(1)

1、2.2函数的基本性质,高考理数 (北京市专用,A组自主命题北京卷题组 1.(2014北京,2,5分,0.82)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是() A.y=B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1,五年高考,答案Ay=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B; y=2-x=为减函数,排除C; 因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数, 所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D; 因为y=和t=x+1均为增函数, 所以y=在(0,+)上为增函数,故选A,思路分析利用基本函数的性质和复合函数的关系,依次将四个选项中的函数分解成两个简单函数,根据

2、同增异减来判断单调性,2,2.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)() A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数,答案A本题考查指数函数的奇偶性和单调性. 易知函数f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=3-x-=-3x=-f(x), f(x)为奇函数. 又y=3x在R上是增函数,y=-在R上是增函数, f(x)=3x-在R上是增函数.故选A,3,3.(2016北京,5,5分)已知x,yR,且xy0,则() A.-0 B.sin x-sin y0 C.-0,答案C函数y=在(0,

3、+)上为减函数,当xy0时,y0y0时,不能比较sin x与sin y的大小,故B错误;当x0且y0时,ln x+ln y0ln(xy)0 xy1,而xy0 /xy1,故D错误,一题多解解决这个问题可用特殊值法,如取x=1,y=可排除A、D;取x=,y=知B错误.故选 C,4,4.(2018北京,13,5分)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立,则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是,答案f(x)=sin x,x0,2(答案不唯一,5,B组统一命题、省(区、市)卷题组 考点一函数的单调性 1.(2017课标全国,5,5分)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.

4、若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是() A.-2,2B.-1,1 C.0,4D.1,3,答案D本题考查利用函数的性质求解不等式. 已知函数f(x)在(-,+)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f(1)f(x-2)f(-1),则-1x-21,即1x3,故选D,6,2.(2015湖南,5,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是() A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,7,答案A解法一:函

5、数f(x)的定义域为(-1,1), 任取x(-1,1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), 则f(x)是奇函数. 又当x(0,1)时, f (x)=+=0, f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A. 解法二:同解法一知f(x)是奇函数. 当x(0,1)时, f(x)=ln=ln=ln. y=(x(0,1)是增函数,y=ln x也是增函数, f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选A. 解法三:同解法一知f(x)是奇函数. 任取x1,x2(0,1),且x1x2, f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln =l

6、n,8,9,3.(2014课标,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是,答案(-1,3,解析f(2)=0, f(x-1)0, f(x-1)f(2), 又f(x)是偶函数且在0,+)上单调递减, f(|x-1|)f(2), |x-1|2,-2x-12, -1x3,x(-1,3,10,1.(2018课标全国,11,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=() A.-50B.0C.2D.50,考点二函数的奇偶性与周期性,答案C

7、本题主要考查函数的奇偶性和周期性. f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,f(0)=0, f(-x)=-f(x), 又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x), 由得f(2+x)=-f(x), 用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x). 由得f(x)=f(x+4,11,12,2.(2014课标,3,5分,0.82)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数,答案C由题意可知 f(-x)=-f

8、(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C,13,3.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且

9、f(1)=1,则f(8)+f(9)= () A.-2B.-1C.0D.1,答案D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D,4.(2015课标,13,5分,0.593)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a,答案1,解析由已知得f(-x)=f(x)

10、,即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x)=0, ln()2-x2=0,得ln a=0,a=1,14,1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为() A.abcB.cbaC.bacD.bca,考点三函数性质的综合应用,答案C本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较. 奇函数f(x)在R上是增函数,当x0时, f(x)f(0)=0,当x1x20时, f(x1)f(x2)0,x1 f(x1)x2 f(x2),g(x)在(0,+)上单

11、调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1).2log25.13,120.82,由g(x)在(0,+)上单调递增,得g(20.8)g(log25.1)g(3),bac,故选C,解题关键本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得出大小是比较函数值大小的常用方法,15,2.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足 f(2|a-1|)f(-),则a的取值范围是,答案,16,C组教师专用题组 考点一函数的单调性 (2017浙江,17,5分)已知aR,函数f(x)=

12、+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围 是,答案,17,18,1.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是() A.y=B.y=|sin x| C.y=cos xD.y=ex-e-x,考点二函数的奇偶性与周期性,答案Dy=的定义域为0,+),所以y=为非奇非偶函数;y=|sin x|与y=cos x为偶函数;令 y=f(x)=ex-e-x, xR,则满足 f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D,19,2.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(xR)满足f(x+)=f(x)+sin x.当0 x时, f(x)=0,则f = () A.B.C.0D.,答案A

13、f(x+2)=f(x+)+sin(x+)=f(x)+sin x-sin x=f(x),f(x)的周期T=2, 又当0 x时, f(x)=0,f=0, 即f=f+sin=0,f=, f=f=f=.故选A,20,1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x时, f=f.则f(6)=() A.-2B.-1 C.0D.2,考点三函数性质的综合应用,答案D当x时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1 =-2,所以 f(6)=f(1)=2,故选D,21,2.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在

14、R上的奇函数,当x0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若 xR, f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为() A.B. C.D,22,答案B当x0时, f(x)=画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象. xR, f(x-1)f(x), 3a2-(-3a2)1, 即6a21, 即-a,故选B,23,A组20162018年高考模拟基础题组 考点一函数的单调性 1.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为 () A.y=B.y=-x3 C.y=loxD.y=x,三年模拟,答案B由定义可知选项A和C都是非奇非偶函数,可排除

15、.D选项在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,可排除.只有B满足条件,故选B,24,2.(2016北京东城(上)期中)已知函数y=,那么() A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+) B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+) C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+) D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,答案A函数y=的图象可看作y=的图象向右平移1个单位得到的,y=在(-,0)和 (0,+)上单调递减,y=在(-,1)和(1,+)上单调递减,故选A,3.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x22,+),且x1x2,不等式 0恒成立,

16、则实数a的取值范围是() A.B. C.D,答案D由题意知函数f(x)在2,+)上单调递增,则解得a,故选D,25,4.(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),对于任意x1,x20,+),0(x2x1),则() A.f(-1) f(-2) f(3)B.f(3) f(-1) f(-2) C.f(-2)f (-1)f (3)D.f(3)f (-2)f (-1,答案D由f(-x)=f(x),得f(x)为偶函数,对于任意x1,x20,+),0,即当x0时, f(x) 为减函数,则f(3)f(2)f(1),易得f(3)f(-2)f(-1),故选D,5.(201

17、7北京朝阳期中)已知函数f(x)=在(-,+)上具有单调性,则实数m的取值 范围是,26,解析设 h(x)=mx2+1,x0,g(x)=(m2-1)2x,x1时,要使得f(x)在(-,+)上具有单调性, 则要满足m2-11,解得-m, 故10, 所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意. 当0m1时,h(x)在0,+)上递增,g(x)在(-,0)上递减, 所以f(x)在R上不具有单调性,不符合题意. 综上,1m,答案(1,27,1.(2018北京延庆一模,3)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=() A.-2B.0C.1D.2,考点二函数的奇偶性

18、,答案D由函数f(x)是定义域为R的奇函数,得f(-1)=-f(1)=2, f(0)=0,所以f(-1)+f(0)=2,故选D,2.(2018北京门头沟一模,3)对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,bR,cZ),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是() A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2,答案D因为f(1)+f(-1)=2c,且cZ,故选D,3.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是() A.y=B.y=ln xC.y=tan xD.y=ex-e-x,答案D由定义域可得y=和y=ln x是非奇非偶函数,y=tan x的单

19、调增区间是 ,kZ,只有D符合,故选D,28,4.(2018北京西城二模,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是() A.y=B.y=x2C.y=2|x|D.y=cos x,答案DA.y=是奇函数;B.y=x2在(0,1)上单调递增;C.y=2|x|在(0,1)上单调递增;D.y=cos x是偶 函数且在(0,1)上单调递减.故选D,5.(2017北京海淀二模,6)已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案A若x1+x2=0,则x1=-x2

20、, f(x1)=f(-x2)=-f(x2),从而f(x1)+f(x2)=0,故充分性成立; 若f(x)=0,则x1=1,x2=2时, f(x1)+f(x2)=0,但x1+x20,故必要性不成立,所以“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分而不必要条件,29,6.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+)上的增函数的是() A.y=-x3B.y=2|x|C.y= D.y=log3(-x,答案B易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选B,7.(2017北京平谷零模,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是() A.y=

21、x2+1B.y=|lg x|C.y=cos xD.y=ex-1,答案C对于A,函数是偶函数,不存在零点,不正确;对于B,函数不是偶函数,不正确;对于C,既是偶函数又存在零点,正确;对于D,函数不是偶函数,不正确.故选C,8.(2018北京一七一中学期中,12)若函数g(x)=是奇函数,则f(x),答案x+1,解析设x0,结合奇函数的性质可得f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,故填x+1,30,考点三函数的值域 (2017北京西城二模,2)下列函数中,值域为0,1的是() A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y,答案DA选项,y=x2的值域为0,+); B选项,y=sin x的

22、值域为-1,1; C选项,y=的值域为(0,1; D选项,当x=0时,y=的最大值为1,当x=1或-1时,y=的最小值为0,所以y=的值 域为0,1.故选D,31,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:25分钟分值:50分) 一、选择题(每题5分,共35分) 1.(2018北京西城期末,2)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是() A.y=-x+1B.y=|x-1| C.y=sin xD.y,答案D本题考查函数的单调区间. A.y=-x+1在区间(0,+)上单调递减; B.y=|x-1|可化为y=所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增; C.y=sin x在区间

23、(kZ)上单调递减; D.y=在区间(0,+)上单调递增. 故选D,32,2.(2018北京石景山期末,6)给定函数y=,y=lo(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0,1) 上单调递减的函数是() A.B. C.D,答案C本题主要考查函数的单调性. 由幂函数的性质可得,y=在定义域内单调递增,故错误; 由对数函数的性质可知,y=lo(x+1)在定义域内单调递减,故正确; 由函数的图象及性质可得y=|x-1|在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故正确; 由指数函数的性质可得,y=2x+1在定义域上递增,故错误. 故选C,33,3.(2018北京东城期末,5)已知函

24、数f(x)=,则f(x)的() A.图象关于原点对称,且在0,+)上是增函数 B.图象关于y轴对称,且在0,+)上是增函数 C.图象关于原点对称,且在0,+)上是减函数 D.图象关于y轴对称,且在0,+)上是减函数,答案Bf(x)=, f(-x)=f(x), f(x)的图象关于y轴对称. 任取x1,x20,+),且x10,-f(x1), f(x)在0,+)上单调递增,故选B,34,4.(2018北京东城二模,7)已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则实 数a的取值范围是() A.-5,0B.(-,-50,+) C.(-5,0)D.(-

25、,-5)(0,答案A由f(x)=log2x,x,得f(x)-1,1. 若存在x1,x2,使得g(x2)=f(x1), 则g(x)max=g(2)=4+a-1,解得a-5, g(x)min=g=1+a1,解得a0. 综上,-5a0,故选A,解题思路易知函数f(x)=log2x的值域为-1,1,根据题意可得g(x)的值域是-1,1的子集.抓住这一点本题便可轻松得解,35,5.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+)上单调递减的是 () A.y=x2B.y=x+1 C.y=-lg|x|D.y=-2x,答案C选项A:记f(x)=x2,其定义域为R,f(-x)=(-x)2

26、=x2,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x2在(0,+)上单调递增,故A不符合题意. 选项B:记f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0,f(-1)f(1),y=x+1不是偶函数,故B不符合题意. 选项C:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-,0)(0,+), f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数, 当x(0,+)时,y=-lg x.y=lg x在(0,+)上单调递增, y=-lg x在(0,+)上单调递减,故C符合题意. 选项D:记f(x)=-2x,则f(1)=-2, f(-1)=-,f(-1)f(1),y=-2x不是偶函数,故D不符合题意.故选C,36,6.(2017北京海淀一模,4)设a,bR,若ab,则()