华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法

1、第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化,一、有界弦的自由振动,令,代入方程,令,代入边界条件,1、 求两端固定的弦自由振动的规律,特征（固有）值问题：含有待定常数的

2、常微分方程在一定条件下求非零解的问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论,1,2,3） 令 ， 为非零实数,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程,2 解的性质,x=x0时,其中,驻波法,t=t0时,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移,解,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,解,例2求下列定解问题,初始条件,例3 求下列定

3、解问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特故原问题的解为,例4 求下列定解问题,令,代入方程,解,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程,解,由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,满足方程,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,

4、令,代入方程,令,例5 求下列定解问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,例6 求下列定解问题,解：令,于是得到一系列分离变量形式的特解,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象,思考,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,若,分离变量流程图,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这

5、些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,例7 求下列定解问题,解,由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,例8 求下列定解问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2 圆域内的拉普拉斯问题,例9 求下列定解问题,解,自然边界条件,周期性边界条件,周期特征值问题,欧拉

6、方程,令,周期特征值问题,故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为,由自然边界条件,由自然边界条件,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,例10 求下列定解问题,解,周期性边界条件,周期特征值问题,欧拉方程,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,其他为零,例11 求下列定解问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,自然边界条件,由自然边界条件,例11 求解下列二维热传导方程的定解问题,解,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特

7、征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,例12 求下列热传导方程的定解问题,解法一：令,解法二：令,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,常用特征值问题,周期特征值问题,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法,思考,由线性方程的叠加原理，令,令,为什么,非齐次方程的特征函数展开法,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初

8、值问题,例13 求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,其特征值和特征函数为,例14 求下列定解问题,解：令,其特征值和特征函数为,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,例15 求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下,周期特征值问题,非齐次方程的特征函数展开法,例16 求定解问题,周期特征值问题,非齐次方程的特征函数展开法,五 非齐次边界条件的处理,解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令,取,其中辅助函数满足,常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数,以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程,例17 求下列定解问题,解：令,可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题,若f(

9、x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x,此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化,若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出,例18 求下列定解问题,解：令,请与例17比较，研究其优缺点,例19 求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题,例20 求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题,例21 求定解问题,解：令,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件 直接用分离变量法,非齐次方程，齐次定解条件 特征函数展开法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,六 关于二阶常微分方程特征值问题的