高中数学选修2 2课后习题答案人教版

1、 高中数学选修2-2课后习题答案 导数及其应用第一章 变化率与导数 练习（P6）1?附近，原油温度它说明在第h时，原油温度的瞬时变化率分别为3 h和3. 在第3 h和5 的速率上升.h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 h大约以1 P8）练习（t?tt?ttt)h(t)h(t附近在附近比在附近单调递增. 函数附近单调递增，在并且，函数在4433 . 说明：体会“以直代曲”的思想.增加得慢 练习（P9）3?)r(V5)?V?(0 的图象为函数3?4 ?0.2(1.2)(0.6)?0.3rr? ，.根据图象，估算出说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几

2、何意 .义估算两点处的导数 ）组（P10习题 A)t?W(tt?t)W(t)(Wt)?W(00211002tW(t)?W(t)?，然而处，虽然、在1 . 01002tt? .所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵(1)h(1?t)?h?h?3.3?4.9?t?3.3?h(1)? 2、，所以，. t?t1t? s 这说明运动员在的速度下降.附近以s ms(t)t?5时的导数. 在3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数?ss(5?t)?s(5)?10?t?(5)?s10. ，所以， ?t?t12?150E3?10?的动能ss，它在第5 5 因此，物体在第s时

3、的瞬时速度为10 m J. k22?(tkt?0)?t.，则、设车轮转动的角度为4 ，时间为?25252?tk20.8?t?，于是 .由题意可知，当 . 所以时， 88?(t)t?3.2时的导数. s时的瞬时角速度就是函数在 车轮转动开始后第?25(3.2)t)?(3.2?20?t?20?(3.2).，所以 8t?t?1?s20 因此，车轮在开始转动后第 s时的瞬时角速度为. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.)f(x5?5x?x?同附近单调递增在处切线的斜率大于零，5、由图可知，函数所以函数在. )f(x4x?2?附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调，0在

4、理可得，函数，2 .递减 .说明：“以直代曲”思想的应用?)f(x的图象6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数?x)(ff(x)x的值也在增加；恒大于零，并且随着如图（1）所示；第二个函数的导数的增加，?xxx)f(x)fx的小于零，当对于第三个函数，当大于零，并且随着小于零时，大于零时，?)(xf . 增加，以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.的值也在增加 .说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 ） B组（P11习题、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是1 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速

5、度.、2 )t)s(t)s(tv这个的相关信息，并据此画出. 的信息获得的图象的大致形状说明：由给出的 .过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换5)?)(1,f(x1?，所以此点附近曲3、由（1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为）3）（. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2线呈下降趋势. . 下面是一种参考答案某点处函数图象的大致形状 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 导数的计算 ）练习（P18?(6)?5?3x?7ff(2)?f)(x?2.1、 ，所以，1x?e2?

6、y?y；（2、1）2） ；（ xln24?x?10xy6?3sinx?y4cosx；4） ；）（ 3 （1x1?ysin?y. （； 6）5（ ） 332x?1 ）P18组（ A习题?SS(r?r)?S(r)?r?2?rr)?lim(2)rS?(r?r?2?. 、，所以，1 ?r?r0r?(t)?9.8ht?6.5. 2、 13?)(Vr.3 、32?V341n?1xnx2?e?x?nxye?y?3x； 4、（1） ； （2） xln223cosx?cosxsinx?x3x98?y1)?99(yx?； ； ）（3（4） 2sinx?x?ey2?2sin(2x?5)?4xycos(2x?5).6

7、） ； （5）（ ?4?(x)fx228)?f?(x22xx?324?8?. 有. 、由 ，解得5000?lnx?1yy?x?1. 6、（1）； （2）x?1?y?.7、 ?t?0.834?ln0.834(t)?500A.1）氨气的散发速度 8、（?(7)?25.5A，它表示氨气在第7天左右时，以克天的速率减少. （2）习题 B组（P19） 1、（1） sin(x?h)?sinx?yy?cosxh. （2）当越来越小时，就越来越逼近函数 hy?cosxx?siny.的导数为（3） xP(0,0)y?00x?.轴交于点 2、当. 所以函数图象与时，x? ?y1e?y?. ，所以0?xy?xP.处

8、的切线的方程为所以，曲线在点 ?(t)?d4sint?0.42m2、h时潮水的速度为；上午9:00时潮水的速度. 所以，上午6:00?0.63?0.83?1.24 h.m时潮水的速度为6:00下午；hm时潮水的速度为12:00中午；hm为 导数在研究函数中的应用 ）练习（P262?4x?x?2f(x)2?2x(x)?f （1）因为，所以.1、2?4?2?xx?(fx)0(x)?f1x? 时，函数当单调递增；，即 2?4?2?xx?f(x)0?(xf)1?x .，即时，函数 当单调递减xx?1e?(x)?e)?xf?f(x 2）因为.，所以 （x?x?x)?ef(0?(x)f0?x 单调递增；时

9、，函数，即 当x?x?x)?ef(0(x)?f0x? 时，函数，即 当单调递减.23?x3?x3f?(x)3f(x)?x? .，所以 （3）因为3?x?3xf(x)0)f?(x1?x?1? 单调递增；时，函数 当，即3?x3x?f(x)?0f?(x)1?x?1x ，即时，函数或.单调递减 当223?1?2)?3?xx?xf?xx(xf(x) （4）因为，所以.123?xx)?x?f(x?x?0?(xf)1?x 或，即单调递增；时，函数 当 3123?xx?x?f(x)1?x0(x)f? ，即. 当时，函数单调递减 3、2 2?0)a?c(axf(x)?bx(x)?2ax?fb. ，所以3、因为

10、注：图象形状不唯一. 0a? 时， （1）当b2?0)a?cx)?ax(?bxf(x?0)f?(x，即单调递增；时，函数 a2b2?0)?c(a)?ax?bx?f(x?x?0f(x)? .时，函数，即单调递减 a20a? ）当（2时，b2?0)?c(axf(x)?a?bx?x0x)?f( 时，函数单调递增；，即 a2b2?0)axf(x)?bx?c(a?x?0f(x)? 单调递减时，函数，即. a2322?12x)?66x?7fx(x?f(x)2x?. ，所以4、证明：因为2?12x?)?6x0f(x(0,2)x?， 时，当32?x7?2x?6)(fx(0,2)内是减函数.因此函数 在 ）P2

11、9练习（x,xy?f(x)的极值点，是函数、 142x?xx?xy?f(xy?f(x)的极小值点是函数.是函数的极大值点， 其中422?2x6x?f(x)?(x)?12x?f1.2、，所以）因为 （11?x0?1?f(x)?12x.，得 令 1211?xx?(x)?0ff(x)f0(x)?f(x)单调递减.，时，时，单调递增；当 ，当 12121111492?2?)?6?()x?f()f(x.有极小值，并且极小值为时， 所以，当 121212122432?27?3fx(xf(x)?x)?27x. （2）因为 ，所以2?27?0x)?3fx(x?3.，得 令 下面分两种情况讨论： ?(x)?0f

12、0fx()?3?3x?3?x?3x?时当.，即或时；当 ，即?x(x)f(x)f变化情况如下表： 当 ，变化时， x (?,?3)(?3,3)(3,?) 3? 3?(x)f 0 0 f(x) ?54 单调递增 单调递增单调递减54f(x)3?x?有极大值，并且极大值为54时，；因此，当 f(x)?54x?3.有极小值，并且极小值为当时， 32?x312?(x)?6?12x?xf?)f(x.）因为 （3 ，所以2?x0?12?f3(x)x?2. ，得令 下面分两种情况讨论： ?(x)?0f(x)?0fx?2x?2?x?2?2时.或时；当，即当 ，即?x(x)ff(x)变化情况如下表： 变化时，

13、当， x (?,?2)(?2,2)(2,?) 22? ?(x)f 0 0f(x) ?10 单调递减 22 单调递增 单调递减f(x)?10?2x?； 因此，当时，有极小值，并且极小值为f(x)2?x有极大值，并且极大值为当22时， 32?x?3)?x?f3(x3f(x)?x. （4）因为，所以 2?x03?f3(x)?x?1.，得 令 下面分两种情况讨论： ?(x)f?0(x)?0fx?1x?1?x?11时.，即 或当，即时；当?x(x)f(fx)变化情况如下表： 当，变化时， x (?,?1)(?1,1)(1,?) 11?单调递单调递单调递 f(x)1x?2；时，有极小值，并且极小值为 因此

14、，当f(x)1x?有极大值，并且极大值为时，当2 练习（P31） 11492?x?6x2f(x)f(x?)?0,2.有极小值，并且极小值为（1）在 上，当时， 121224f(0)?2f(2)?20.， 又由于 4922xx?f(x)?6?0,2. 上的最大值是20在 因此，函数、最小值是 243?27?xxf(x)f(?4,4?3)?543x?；（2）在时， 上，当有极大值，并且极大值为3?27xxf(x)?f(3)?543?x； 当时，有极小值，并且极小值为f(?4)?44f(4)?44.， 又由于 3?27xx)?xf(?4,4?54. 在因此，函数上的最大值是54、最小值是 13x?1

15、2xx()?6?f,3?f(2)?222x?.3（）在有极大值，并且极大值为时，上，当 3155f(?)?f(3)?15.， 又由于 3271553xx12?x)?6?f(?,3上的最大值是22、最小值是.在 因此，函数 3273x?x?xf()32,3 .无极值上，函数）在4（f(2)?2f(3)?18. 因为， 3x?3xf(x)?2,3?182?.上的最大值是、最小值是 因此，函数在习题 A组（P31） ?(x)?2?0x)?2x?1ff(.，所以（1）因为 1、f(x)?2x?1是单调递减函数. 因此，函数?)(0,x?x?(0,0?(x)f(x)?x?cosx?1?sinfx （2）

16、因为，所以.， 22?)(0,x?cosf(x)?x 因此，函数上是单调递增函数.在 2?0?24f?(x)?f(x)?2x? 3）因为，所以.（ 42x?f(x)? 是单调递减函数 因此，函数.23?04?x)?6(x)?2xx?4xf?(f ，所以4）因为. （3x?x)?2x4f( 因此，函数是单调递增函数. 2?4x?2x?f(x)2x?(x)?f2 ，所以.2、（1）因为2?4x?2xf(x)?0(x)?f1x? .，即时，函数单调递增 当2?4?2xf(x)?x0x)f?(1x? . 当单调递减时，函数，即2?3?3xf(x)?2x?3?4xf?(x) ，所以.（2）因为32?3x

17、x?3f(x)?2x?0x)f?(，即. 时，函数当单调递增 432?3x?3f(x)?2x?x0?(x)f .当，即单调递减时，函数 432?03xx)?3(x)?3x?x?f(f.）因为，所以 （33x?3x(x)?f是单调递增函数.因此，函数 322?2xx?1xfx()?f(x)?xx?3?.，所以 （4）因为132?x?x)?xxf(?x0)?f(x1?x?单调递增或. ，即 当时，函数 3132?x?xf(x)?x?1?x0(x?f)单调递减.，即 当时，函数 33、（1）图略. （2）加速度等于0. ?xx?(xfy?) 1（4、有极大值；）在处，导函数2?xx?xx?(x)y?

18、f有极小值；处，导函数和 （2）在 14x?xy?f(x)有极大值； 处，函数 （3）在3x?xy?f(x)有极小值.4）在处，函数 （52?2xx?f(x)?6(x)?12xf?1. （、1）因为，所以51?x?01?x)?12x?f(.令，得 121?x(x)?0ff(x)单调递增； 时， 当 121?x?(x)?0ff(x)单调递减时，. 当， 121?xf(x)有极小，值，并且时，极小值为 所以 12491112?)?2)?6?(?f( . 2412121223?12(x)f?3x?f(x)?x12?x .2）因为，所以 （2?0x)?3x?f12(2x? 令.，得 下面分两种情况讨论

19、：?0(x0?f)f?(x)2x?2x?2x?2? ，即时；当，即当或时.?x)x)f(f(x ， 当变化情况如下表：变化时， x )2,2)(2,?,(?2)(? 22? ?)(fx 0 0)xf( 16? 单调递增16单调递增 单调递减)f(x2x? 时，因此，当有极大值，并且极大值为16；)xf(16?2x 有极小值，并且极小值为时，.当23?x?126?x?x3f(x)?12)f(x? .，所以）因为 （32?0(x)?12?3?xf2x? ，得 令. 下面分两种情况讨论： ?0f)(?f(x)0x?2x?22x2?x? 当.时；当，即时或，即?x)f()(fxx 变化情况如下表：，变

20、化时，当 x (?,?2)(?2,2)(2,?) 22? ?(x)f 00 f(x) ?10 单调递增 单调递增 单调递减 22f(x)2?x有极大值，并且极大值为22；时， 因此，当f(x)?210x?.时，有极小值，并且极小值为 当32?x3?48f?(x)f(x)?48x?x.，所以 （4）因为2?0?3x(x)?f48x?4. 令，得 下面分两种情况讨论： ?(x)?)x?0ff0(?2?x?2x?2x?2时，即时；当.当或，即 ?x(x)ff(x)变化情况如下表：，变化时， 当?44,4(4? ?(x)f 0 0 f(x) ?128 单调递减128单调递增 单调递减 f(x)?412

21、8x?；时， 有极小值，并且极小值为因此，当f(x)4x?有极大值，并且极大值为128. 当时，1472?xx?2(x)?6f?x?1,1?有极小值，并且极小值为时，函数.上，当6、（1）在 1224f(?1)?7f(1)?9， 由于 4722?6xxf(x)1,1?.， 所以，函数 上的最大值和最小值分别为在9 243?12x)?xf(x3,3?2?x?有极大值，并且极大值为16；上，当时，函数 （2）在 3?12xx?f(x)?x?216.时，函数当有极小值，并且极小值为 f(?3)?9f(3)?9， 由于 3?12?xx)f(x?3,3?16.在， 所以，函数 上的最大值和最小值分别为1

22、6113x?x?)6?12xf(,1?,1上无极值3（ ）在上，函数在. 332691?f(?)5f(1)? ， 由于 27326913x?12xf(x)?6?,1?5? ，. 所以，函数在上的最大值和最小值分别为 273)f(x4x? ）当有极大值，并且极大值为128.时， （4115f(5)?f(?3)?117 ， 由于3xx?f(x)?483,5?117? . 所以，函数上的最大值和最小值分别为128，在习题P32） B组（?)xsin?xx?(0,f(x)? 、（1）证明：设，.1?)1?0x?f(0,(x)?cosx? 因为， ?)sinx?x(0,f(x)? 在内单调递减 所以?)

23、x?(0,?x?x?f(0)0x?(0,f(x)?sinx?sinx 图略，即 因此. 2x?x?f(x)(0,1)?x ，（2）证明：设.?(0,1)?xfx(x)?1?2 ， 因为1?)(0,x?)(x?1?2x?0ff(x) ，单调递增， 所以，当时， 220(0)?x?x?ff(x) ；1?,1)?(x)x2x?0f(f(x)?1? ， 当时，单调递减， 220?fx(1)?f(x)?x? ； 1120?x?x0?)?f(0,1)x? 又. . 因此，图略， 42xx?1?f(x)?e0?x .）证明：设，（3x?1ef?(x)?0x? ， 因为x?0)x?e?f1()xf(0?x ，

24、时，单调递增， 所以，当x0?f(0)?(fx)?e?1x ； x?0?(x)?e?f1)xf(0?x ，时，单调递减， 当x0?(0)ex)?1x?f(f ；xx?1?e0x? 图略. ，综上， x?lnxf(x)?0?x （4）证明：设，.1?1?(x)f0?x ， 因为 x1?)(?0fx?1)xf(1?0?x时，单调递增， 所以，当 x01?f(1)?(x)?lnx?xf ； 1?01)?f?(x)(xf1?x 当，时，单调递减， x01?f(1)?)?lnx?x?f(x ； xx?x?1ln1ln1? 因此，.时，显然 当. xx1?xe?0x? ， 由（3）可知，.xex?lnx?

25、x?0 ，图略 . 综上，32?cx?bx(x)?axdf的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. （1）函数2、若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. 322?2bx?c(x)?ax?bx3?cx?dfaxf(x).，所以 （2）因为 下面分类讨论： a?0a?0a?0两种情形：和当时，分 2?3ac?0b0a?时，当，且 2?x?xx,x0?c(x)?3ax?2fbx，的两根分别为 设方程，且2121232?xx?xx?cx?bxdf(fx(x)?3ax?2bxc?0)?ax单调递增； 函数时，当或，即12232?x?x?x?c

26、x?bxf(?3ax?2bx?c0x)?axfd(x)单调递减.当，即 时，函数212?3ac?0b0a?时， ，且当232?cx?)axd?bx?2bx?c?0f(xf?(x)3ax单调递增.，函数 此时2?3ac?b00a?时， 当，且2?x?xxx,03ax?2bx?cf)(x?，且的两根分别为设方程 2121232?x?x?x?cx?axc?0d?bx?f(x)?f(x)3ax?2bx单调递增；时，函数 当，即21232?xx?xx?cxbx0?c?dxf()?ax?bxax?xf()3?2单调递减当即，.或时，函数 122?3acb?00?a 时，且当232?cx?bxd0f(x)f

27、?(x)?3axax?2bx?c?单调递减，函数 此时 生活中的优化问题举例 习题 A组（P37） xl?xxxl?，则这两个正方形的边长分别为1、设两段铁丝的长度分别为，两个正方， 44xl?x12222)l2?lx()?(2xS?f(x)?()?0?x?l.， 形的面积和为 4416l?x?0x)f?(02l?4x?. 令， ，即 2ll?)l?(?(0,),xx(x)f?(x)?0f0.时，时， 当 ；当 22lx?f(x)的极小值点，也是最小值点是函数. 因此， 2l 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小. 2a的正方形铁片的四角截去 2、如图所示，由于在边长为x的小

28、正方形，做成一个无盖方盒，所以无 四个边长为xx2a?. 盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为a2xx)(a?2)V(x?0?x?. ）无盖方盒的容积， （1 2322x?4ax(x)?4xaV， （2）因为22?aax?8(x)?12xV. 所以aa（第2题） ?x?x0V(x)?，得令. （舍去），或 62aaa?)(,xx?(0,)?0)V0)?(xVx( 时，时，当；当. 266a?x)V(x 是函数.的极大值点，也是最大值点因此， 6a?x 时，无盖方盒的容积最大 所以，当. 6hR ，、如图，设圆柱的高为，底半径为32?RRh?22S 则表面积V2?hV?Rh?，得 由. 2?RV

29、V222?RS(?2?R?2RR)?20R?因此， ， . 2?RR VV2?R?0?4R?RS()?. ，解得 令3 ?2R 题）3（第 V?)(0,R?(R)S?0；当时， 3?2 V?)(?,R?(R)?0S.当 时，3?2 VVVh?2R?2R)(RS此时，是函数的极小值点，也是最小值点. . 因此，33 2?22R 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. nn21?2?(x?a(x)?(x?a)f)f(x. 4、证明：由于，所以 iinni?11i?n1?a?x0(x)f?，得 令 ini?1n1?ax?f(x)的极小值点，也是最小值点.是函数 可以得到， ini?1n1?an

30、表示这个物体的长度是合理的， 这个结果说明，用 个数据的平均值 ini?1 这就是最小二乘法的基本原理. 2?xx2xm，半圆的面积为 m，则半圆的半径为5、设矩形的底宽为m 822?xxa2?a(?)mm，矩形的另一边长为矩形的面积为 8x8 ?a8ax2a2x0?x?x?)l(x?x?(1， 因此铁丝的长为 ?x424x ?a8a2?x0?)?1?l(x ，得（负值舍去）.令 2?4x4 a8a88a?)(0,x?,)?(x(x(x)?)0l?0l.；当时，当 时，?4?4 8ax?)l(x因此，.是函数 的极小值点，也是最小值点?4 a8所以，当底宽为m时，所用材料最省. ?4CRRL等

31、于产量乘单价.减去成本，而收入 、利润6等于收入qL .的函数关系式，再用导数求最大利润与产量由此可得出利润 112q?)?25qq?p?q(25?qR? ， 收入 881122100qq?21(100?4q)?L?R?C?(25q?q?)?200q?0? ，利润. 881?21q?L 求导得 41?021?q?84q?0L?，令，即 . 4?(84,200)(0,84)?qq?0L?0L ；时， 当时，当84?qL因此， 是函数.的极大值点，也是最大值点L ,时，利润最大 所以，产量为84 ） B组（P37习题x 1、设每个房间每天的定价为元，1180x?21360?7020)?xxL(x)

32、?(50?)(x?680?180?x 那么宾馆利润.， 10101?0?70x)?Lx(350?x 令，解得. 5?0?x(350,680)L)L(x)?0x?(180,350)x? 时， 当；当.时，)xL(350?x 因此，的极大值点，也是最大值点是函数. 元时，宾馆利润最大. 所以，当每个房间每天的定价为350x 元件时，2、设销售价为b45b?x?xx)ac(x?a)(5?a(x)?(x?)(c?c?4)?L .，利润 4bbb54a?8c4ac5bc?x?0(x)?Lx，解得. 令 8bbb55b5b4a?4a?),)x?(?x(a,0)x)?0L?(xL( . 当时，；当时， 48

33、8b?54a?x)(xL .是函数 当的极大值点，也是最大值点 8b54a? . 所以，销售价为元件时，可获得最大利润 8 定积分的概念 ）练习（P428. 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45） ii1i12?22?)?(?)2?t)vs?s?(?i?1,2,L,n.，、1 iinnnnnnnnni?t?s?v(s?)?s? 于是 iin1?i?1i?1in2i1?2?()? nnn1i?1?11n11n2222)?L?()?()(? nnnnnn1222?2?L?n?1 3n1)1)(2n?1n(n?2? 36n1112)?(1?)

34、(1? nn23 取极值，得 nn511i11?2?(1?)(1v()?lim?)?s?lim n3n3n2n?nn?1i?1?i 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.22 、km.2 3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法 和步骤. P48）练习（23?4?dxx . 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义03xy?0y?4S2?xx?0? ，.，从几何上看，表示由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积 P50）习题 A组（1001?1i2?0.495?)?(x?1)dx1(1 ；）1、（1 10010011?i50011i?2?(1dx(x

35、?1)?)?1?0.499?） （2； 50050011i?100011i?2?(1?1)dx?()?1?0.4995x）3 .（ 1000100011i?说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40（m2、距离的不足近似值为：）； 27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67（m） 距离的过剩近似值为：. a?x?x?L?x?x?L?x?b1)?xf( . 3、证明：令用分点 ni11i0?(i?1,2,L,xx,n)n,ab 在每个小区间将区间 个小区间，等分成上任取一点ii1?innab?a?x?bf(?)? 作和式

36、 ， in1i?i?1nab?b?alim?b?1dx? ， 从而 na?n1?i .说明：进一步熟悉定积分的概念1 2?2dxx1?0y?1x?x?0x?1?y以及曲线根据定积分的几何意义，表示由直线、，40?1 2?dx1?x .所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 40103?x?dx ）.、（15 41?033?dxx0x?0y?1,0?1?0x?x?和曲线上，由于在区间，所以定积分，表示由直线1?3x?y 所围成的曲边梯形的面积的相反数.11110333?0?dxdx?x?dx?xx .（ 2）根据定积分的性质，得 440?1?11333?dxx0?0xx?x1,0?

37、0,1轴上方的上等于位于，所以定积分上由于在区间，在区间1?x 曲边梯形面积减去位于.轴下方的曲边梯形面积151202333?4dx?xdx?xdx?x ）根据定积分的性质，得 （3 440?1?12333?dxx00x?x?x0,2?1,0轴上方的等于位于上，在区间上，所以定积分由于在区间1?x 轴下方的曲边梯形面积.曲边梯形面积减去位于3x0,21,0?上是非负的，如果直接利）中，由于在区间上是非正的，在区间说明：在（3n1,2?等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵分成用定义把区间2203333?dxxxxdxdx?x这样，化为，可以将定积分挡一些项，求和会非常麻烦.

38、 利用性质3011?03?dxx0,21,0?，在区间和区间上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出1?2233?dxxxdx 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.，进而得到定积分的值. 10?）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的32）（在（ .几何意义 ）组（P50习题 B6t?0t? ）之间走过的路程大约为1、该物体在145 m.（单位：到s说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. v?9.81t. 2、（1）89?18i1?9.819.81?88.29? ；）过剩近似值：（）（m 2 24221

39、?i878?111i?68.67?9.81?9.81? m不足近似值： ）（ 22421i?44?78.48t?9.81t9.81tdtd ） （3）.（m；00 1）分割3、（nl0,1?n 个小区间：在区间上等间隔地插入个分点，将它分成 l?2)l(nll2,l,0, ， nnnnilli?1)(i,nLi?1,2,），其长度为 记第 个区间为（ nnlli?1)il(?x? . nnnl2)(n?ll2ll,0, 上质量分别记作：把细棒在小段， nnnnm?L,m,?m,? ，n12n?m?m? . 则细棒的质量i1i? ）近似代替（2il1)l(i?2?x?(x),nx?的值变当很小时

40、，在小区间很大，即上，可以认为线密度 nnil1)l(i?,?处的函数化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点 innllili?1)(22?)(?m?(x),?nLi?1,2,） （上质量值. 于是，细棒在小段. iiiiinnn ）求和（3nnnl?2?m?mx)(? .得细棒的质量 iiin1i?i1i?1 4）取极限（nll?22?dxxm?limm? ，所以. 细棒的质量 in0?n1i? 微积分基本定理 ）练习（P55 52450?） （3； （4）24250（1）； （）； ； 333132ln?2.（ 80）； （）7 ）（；） 56；（ 22说明：本题利用微积

41、分基本定理和定积分的性质计算定积分. ）P55组（ A习题94012?ln2?ln3?3ln ； （1、（1）3）； （2） 2322?31721?2?e2ln?e?）5 4）（.； （6） （ 86 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分?3?3?2?xxdxsin?cos .2、00xx或表述为：它表示位于轴下方的曲边梯形的面积之差轴上方的两个曲边梯形的面积与. xx轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 数和. P55）习题 B组（? 211e31112x ?e?sin2x ；2）原式 ；（1、（1）原式4 ?0222422 6x6

42、23? .（3）原式 122lnln1cosmx?mxdx?m?)0?cosmsin?cos(?）、（1； 2 ?mm?1sinmx?0?sin()?cosmxdx?sinmm ；） （2 ?mm?mx2mxxsin2cos1?2?sinmxdx?dx? 3）； （ ?m224?mxxsin21?cos2mx?2?mxdx?dx?cos .） （4 ?m224?ggggggttkt?0.2?kt?ktt?245?49ts()?t(1?ee)dt?t?245?tee? .、3（1） 0222kkkkkk0t0.2?5000245e?245?49t . （2）由题意得t .的取值范围 这是一个超越

43、方程，为了解这个方程，我们首先估计t0.2?10?e?5245t?5000t?0?49 ，从而 时， 根据指数函数的性质，当，52455000?t . 因此， 494952455000?0.2?0.27?7 10?10245245ee1.24?3.36? ， 因此49497t?70.2101.24?10?245?e3.36? . 所以，t0.20.2t?e245?5000t49?245e245 从而，在解方程时，可以忽略不计.5245?t5000?49t245 因此， .s（） .，解之得 49可视学生的具体情况选做，说明：组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，B .不要求掌握 定

44、积分的简单应用 ）练习（P5832； （2）1. （1） 3 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59） 552?22?3tt?3)dt?ts?(2 ）. （1、m333424?40?4xx?4)dx?W?x(3 ）.2、（J 020习题 A组（P60） 9. 1、（1）2； （2） 2qqqqbb?kkdr?W?kk? 、.2 a2brraav(t)?040?10t?0t?4. 即第4s，即、令. 解得时物体达到最大高度. 3424?5t)dt?40h?80?t(40?10t . 最大高度为（m）00tt2?5tdt1)dt?10(3t?t s后两物体相遇，则

45、 ，4、设00A,B5?t两物体5s. 即 解之得后相遇. 5532?130t?(3tt?1)dt?A .m此时，物体 ）离出发地的距离为 （00F?kl10?0.01kk?1000.，得. 5、由解之得 0.10.12?5500l?W?1000ldl? 所做的功为）.（J0055?0v(t)?5?t?10t?）令6，解之得、（10s. 因此，火车经过后完全停止. 1 t?115510102?55ln1155ln(1?t)?s?dt(5?t?)?5t?t .（）m） （2 02t1?0习题 B组（P60） a 22222?dxx?aax?yx轴所围成的上与 表示圆、（1）1a?2?aa 22?

46、dxa?x 半圆的面积，因此 2a?1 222?dxxx?1)?(1?y?x?1)1(与直线）表示圆 （20y?x所围成的图形（如图所示）的面积， （第1（2）题） 2?1?111 2?dxx1)x?1(?1?1?. 因此， 24420 、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的2hb422axy?aa?()h? ，则方程为，所以. 2b2h42x?y 从而抛物线的方程为 . 2bbb2h4h432? bh?hxS?2?(h?xx)dx?2 于是，抛物线拱的面积. 22 02233bb02?2?y?x 、如图所示.解方程组3?x3y?21?x2?x2?x?yx3y? 与曲线 得曲线.交

47、点的横坐标，122122?1?2)x?(?2)3xdx?xdx3(x 于是，所求的面积为.10MmhMmMmh?RhR?GG?G?dr?W 4、证明：. R2)hrR(rR?R ）组（P65第一章 复习参考题A4?y? .2）1、（1）3； （x?22sinxcosx2?3)x?(3xy?3(x?2)1)(5?y ）； （2、2（1） 2xcosx2x22x?2x?y?22lnxlny ）.（； 3）（4 41)?(2xxGMm2?F .3、 3r?0?(tf) . 4、（1）因为红茶的温度在下降?(3)?4f表明在3附近时，红茶温度约以4（2）min的速度下降. .图略 2 32?)(fxx

48、(x)?f .，所以5、因为 3x32?0?f?(x)(xf0?x 单调递增； 当时，即 3x32?0x()?f)xf(0?x 单调递减当 时，即. 3x32?qpx(fx)?x?p?(x)2xf 、因为6，所以.p?1x?)0px?xf()2?(fx .，即当 有最小值时， 2p?1p?2f(1)?1?2?q?4q?5.，所以 由，得 . 又因为 22322x?2cx?c)x?c?f(x)?x(x， 7、因为22?(3x?c)(cx?cx?fc(x)?3x)?4.所以 c2?)c(xx?f(x)?xcx?0(xf)?可能有极值当，即时，函数. ，或 32)c(x?f(x)?xc?0x?2.

49、有极大值，所以 由题意当时，函数由于 ccc cx )?c,( ),(?)c(, 333 c?)(fx 0 0 ?x时，当所以， 3数 单调递增极小值 极大值 单调递减 单调递增 c2)?c?x(xf(x)2?6?c ，.有极大值. 此时， 3,0)(aAOB?A 8、设当点时，的坐标为的面积最小.(1,1),0)PA(aAB 过点， 因为直线，1?ay?0x)?a?(xy?AB的方程为 . ，即所以直线 a1?ax?01aa)(0,y?0?xB 的坐标是，即点时， 当. 1a?1?a2a1a?a)?SS(aAOB? 的面积 因此，. AOB?1)?2(a2a?12a2?1a?)?(a?0S0

50、)?S(a，即. 令 21)?2(a?0?(aS)02?a?a0a? 时， 当.，或不合题意舍去 由于 x )(2,?2)(0, 2 ?)fx( 0 )xf( 单调递增极小值 单调递减 AOB?a?2135AB 2.，即直线的倾斜角为所以，当的面积最小，最小面积为时，D 、.9x0.5)x?( .因为钢条长为m. ，另一边的长为m、设底面一边的长为1014.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x?3.2?2x.所以，长方体容器的高为 44V 设容器的容积为，则32?1.6x?2.2)?2xx(?V(x)?xx?0.5)(3.2?2xV0?x?1.6. ，2?4.4x?1.6?6x?00V(x

51、)?. 令，即 4?xx?1.，或所以， （舍去） 15?(x)?00x?(1,1.6)x?(0,1)VV(x)?.；当 当时，时， V(x)(0,1.6)1x?的极大值点，也是最大值点.是函数 因此，在 3 .时，容器最大，最大容器为 m 所以，当长方体容器的高为1 mx?100 11、设旅游团人数为时，2100000?5x500(100?x)(1000?5x)?)y?f(x?80)?x(0 .旅行社费用为?0)xf?(50x?500?0?10x ，即. 令，112500(50)?(80)?108000ff(0)?100000f ， 又，.)(xf50?x 的最大值点 所以，是函数. 时，可使旅行社收费最多. 所以，当旅游团人数为150x 时，可使其打印面积最大、设打印纸的长为.cm12623.7x ， 因为打印纸的面积为，长为，所以宽为 x623.73.17)?2.54)(?2?(x?2?S(x) 打印面积 x3168.396?x655.9072?6.34?98.38?x5.08 ，. 2x623.73168.396?27.890?6.34?0S?(x)22.36x? 令，（负值舍去），即.， 222.36x(5.08,98.38)x)S(22.36?x 是函数 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点在. 所以，打印纸的长、宽分别