向量空间的定义、例子和子空间

1、教学目的与要求：理解向量空间的定义 掌握向量空间的性质,第六章 向量空间 6.1定义和例子,重点：向量空间的定义与性质 难点：向量空间的定义 关键：向量空间定义中的两种运算,讲授方式：讲授,一定义和例子,1.定义 令 是一个数域. 中的元素用小写拉丁字母 来表示.令 是一个非空集合. 中元素用小写黑体希腊字母 来表示.我们把 中的元素叫做向量而把 中的元素叫做标量.如果下列条件被满足,就称 是 上一个向量空间,有一个标量与向量的乘法.对于 中每一个数和 中每一个向量 ,有 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的积,并且记作,在 中定义了一个加法。对于 中任意两个向量 有 中一个唯一确

2、定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的和,并且记作,向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律,3)在 中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质：对于 中每一个向量 ,都有,4) 对于 中每一个向量 ,在 中存在一个向量 ,使得 .这样的 叫做的 的负向量,这里 是 中任意向量,而 是 F 中任意数,注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定的条件,2.举例,特别,F上一切 矩阵所成的集合和一切 矩阵所成的集合分别作成F上向量空间.前者成为F上n元行空间，后者称为F上n元列空间.我们用同一个符号 来表示这两个向量空间,例2 数域 上一切 矩阵所成的集合对于矩阵的加法和矩阵的乘法来说作成F上一个

3、向量空间,例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间,事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与一个复数的乘积还是一个复数.条件 显然都被满足,例4 任意数域C总可以看成它自身上的向量空间,例5 数域F上一元多项式环 对于多项式的加法和数与多项式的乘法来说作成上一个向量空间,例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量空间的加法与数乘运算）.令 是实数域，V是全体正实数作成的集合，在V中定义加法为： （实际为数的普通乘法），再规定数乘为 ，则V作成K上的一个线性空间,证明：首先要说明这两种运算的封闭性,因为V中任意两个元素的乘积仍在V中,下验证上述定义的两种运算满足8条,3)V中的零向量

4、为1（而不是通常理解的0），因为,同理可验证也成立，故V作成K上的一个向量空间,注：由例6知向量空间的加法与数乘是一种抽象的运算，并不是我们通常意义下的加法与数乘，比如例6中的加法实质为数的普通乘法，而数乘实质为普通数的乘方运算,要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向量空间，只须对所给的两种运算首先判断其是否封闭.其次，再判断它们是否满足8条运算即可,不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元,向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其它公理推出（证明见高代选讲）. （习题8）向量空间定义中条件中的8）不能由其余条件推出，即条件,不是显然的，也不是多余的,例如，令,在

5、V中定义加法如下,在与中定义数乘如下,可以验证如上定义的加法与数乘运算满足 的其余7条但8）并不满足，事实上，取,二向量空间的性质,性质1：零向量是唯一的,证明：设0和 都是向量空间V的零向量，那么根据零向量的定义，对于 中任意向量 都有,注:通过这种方法要向学生灌输这种证明唯一性的方法,性质2: 每个向量的负向量是唯一的，且把向量,的唯一的负向量记作,于是,定义向量的差,性质3：普通移项规则成立，即,证明：“”设,设,性质4（命题6.1.2,证明（略,三、一些记法,1设是上向量空间V的n个向量，我们把它们排成一行，写成了一个以向量为元素 的矩阵,2设 是数域F上一个 矩阵，我们定义,实质可看

6、成矩阵的乘法,课堂讨论与练习：证明： 不利用向量空间的定义中加法的交换律，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元,作业：P221 2，3，4，5 思考：P221 6，7,6.2子空间,授课方式：课堂讲授 教学目的： 理解子空间的定义 会判断一个非空集合是否是子空间 理解子空间的和与交 教学重点与难点： 子空间的定义 子空间的一些等价刻划 子空间的和与交,1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集，若W对于V的加法与数乘作成一个向量空间，则W称是V的一个子空间（注：给出了W是V的一个子空间的判别方法,2.定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于F

7、的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间,注：由1，2知V的子空间W也是F上的一个向量空间，并且一定含有V中的零向量,由定理6.2.1知，要判断 是否是V的子空间只须验证加法与数乘封闭即可,3.例子,例1：零空间，平凡子空间，真子空间,例3：中一切形如,的向量作成的一个子空间,例4：中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成 的一个子空间,例5：（补充）数域F上齐次线性方程组,的全体解向量作成F上的一个线性空间，称为这个齐次线性方程组的解空间，它是 的一个子空间,下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别法则,定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是的一个子空间，必要且只要对于,证 如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对于 都有,又因为W对于F的加法是封闭的，所以,反过来，如果对于任意,这就证明了W对于V的加法以及标量的乘法的封闭性,4子空间的交与和 交：子空间的交仍是子空间（利用定理6.2.2） 推广到有限、无限子空间的交，结论仍然成立,即：设 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令,仍是V的子空间叫做 与 的和,推广到任意有限个的情形：设,的子空间，则,仍是V的子空间，称为子空间,注： 子